Umumiy fizika kursi (ii-tom)

q
билан белгилайлик. Ма-
салани икки цисмга буламиз:
а) 
сферик 
сиртдан ташцарида
электростатик майдон кучланганлиги- 
ни аницлаш, б) 
сферик сиртнинг ияи-
да
электростатик майдон кучланган- 
лигини аницлаш.
Зарядланган сферик сирт маркази- 
дан 
г
>
R
масофада ётган 
А
нуцтани 
оламиз (29- раем). Бу нуцтадан фик- 
ран маркази зарядланган сфера мар- 
казида ётган, радиуси 
г
булган 5 сфе­
рик 
сиртни 
утказамиз. Симметрия 
мулодазаларига кура, бу сиртнинг 
барча нуцгаларида кучланганлик сон 
жидатдан бир хил булади. Шунингдек, симметрия мулодаза­
ларига кура, кучланганлик вектори дар бир нуцтада радиус- 
нинг давоми буйлаб йуналган булиши керак.
Радиуси 
г
булган шу 5 сферик сиртга Остроградский — 
Гаусс теоремасини татбиц киламиз. Бу сирт кучланганлик чи- 
зицларига перпендикуляр булгани учун сиртдан утувчи тула 
оцимни 
Е
кучланганликни сирт катталигига купайтириб топа- 
миз, демак, тула оцим Z?-4wa га тенг булади.
Остроградсий — Гаусс теоремасига асосан:
29- раем. З арядлан ган сфе- 
ранинг майдон кучланган- 
лигини аницлашга дойр.
£.4icre «4w ?,

---

бундан
г
>
R
булганда 
Е = у 2
(
5
)
яъни 
бир текис за рядланган сферик cuptn шу сферадан таш-
царида вуж удга келт ирган к у ч ла н га н л и к худди бутун заряд
сферанинг марказида ж ойлаш гандагидек булади.
Сферик сиртнинг ичидаги нуцталарни куришга утамиз. Сфе­
ра марказидан 
г '
<
R
масофада жойлашган 
В
нуцтани оламиз 
ва бу нуцтадан маркази зарядланган сфера марказида ётган 
S '
сферик сирт утказамиз (29- раем). Бу сиртнинг барча нуцтала- 
рида кучланганлик сон жидатдан бирдай булиши равшандир. 
Юцорида айтганимиздек, симметрия мулодазаларидан кучлан­
ганликнинг (агар у нолдан фарцли булса) йуналиши фацат 
радиал ва, демак, 
S '
сферик сиртга перпендикуляр булади.
S '
сферик сиртга Остроградский — Гаусс теоремасини тат­
биц цилиб цуйидагини топамиз:
Демак, 
т екис зарядланган сферик сирт ичидаги барча
нуцт аларда элект рост ат ик майдон кучланганлиги нолга
тенгдир.
(5) ва (
6
) формулалар 
q
заряд билан зарядланган 
ут казув-
чан
шар учуй дам тугри эканлигини курсатиш мумкин (132- § 
билан таццоеланг).
4. 
Т е к и с з а р я д л а н г а н с ф е р а д о с и л ц и л г а н м а й ­
д о н н и н г к у ч л а н г а н л и г и . Радиуси 
R
га тенг сфера ола­
миз. Унинг 
q
умумий мусбат заряди сфера дажмида доимий
зичлик билан тацеимланган булсин. 
Зарядланган сферадан
ташцарида
сфера марказидан 
г
>
R
масофадаги ихтиёрий 
А
нуцтада (29- раем) майдон кучланганлиги сферик сирт вужуд­
га келтирган кучланганлик каби цуйидагича ифодаланади:
Симметрия мулодазалари ва дисоблашлар аввалгидек булгани 
учун бу кучланганлик дам радиуснинг давоми буйлаб йунал­
ган булади. Шундай цилиб, 
текис зарядланган сферанинг
узидан т ашкаридаги нуцт аларда вужудга келт ирган куч-
3
С. Э. Фриш, А. В. Т им оре ва
Е -\ъ гп
=> О,
чунки 
S '
сирт ичида заряд нолга тенгдир; бундан 
г ' <. R
булганда 
Е
— 0.
(
6
)

---

л а н га н ли ги худди унинг барка заряди марказига мужассам-
лаш ганда вуж удга келт ирадиган кукланга н лиги сингари бу­
лади.
Зарядланган 
сферанинг икида
сфера марказидан 
г'
<
R
ма­
софада ётган 
В
нуцтадаги кучланганликни аницлаймиз. Бу дол­
да дам симметрия шартлари юцоридагидек булади. Бундан 
маркази зарядланган сфера марказида булган 
г'
радиусли сфе­
рик сиртнинг барча нуцталарида кучланганлик сон жидатдан 
бир хил ва шу билан бирга дар бир нуцтада радиал йуналган 
эканлиги келиб чицади. 
г'
радиусли сирт ичидаги заряднинг 
ифодаси
булгани учун
Остроградский — Гаусс теоремасини 
г ’
радиусли 
сферик 
сиртга татбиц цилсак, цуйидагини досил циламиз:
(7) формулага мувофиц, 
текис зарядланган сфера икида-
ги к у к ла н га н ли к сфера марказигака булган масофага про­
порционал равиш да ортади.
Бунга сабаб шуки, кучланганлик­
ни умумий заряднинг марказдан кучланганлик дисобланаётган 
нуцтагача масофада булган цисми вужудга келтиради. Демак, 
нуцта марказдан цанча узоцда олинса, бу нуцтадаги кучлан­
ганлик шунча купроц заряд томонидан вужудга келтирилган 
булади.
30- 
а
раемда сиртий зарядланган сферанинг, 3 0 -
б
раемда 
дажмий зарядланган сферанинг вужудга келтирган кучланган- 
ликларининг графиклари курсатилган.
5. 
Т е к и с з а р я д л а н г а н ч е к с и з ц и л и н д р и к с и р т
в у ж у д г а к е л т и р г а н м а й д о н к у ч л а н г а н л и г и .
R
ра­
диусли цилиндрик сирт оламиз. Б у сирт доимий -f о сиртий зич-
булади.
N — Е -
4тгг
' 2
=
\~ q '
= 4тс^з 
q,
бундан
(
7
)

---

лик билан зарядланган. Цилиндр уцидан 
г
>
R
масофада ётган 
А
нуцтадаги кучланганликни аницлаймиз (31- раем). Масала- 
даги симметрия мулодазаларига кура, 
А
нуцтадаги кучланган­
лик г радиус-вектор давоми буйлаб йуналиши керак деб ху- 
лоса чицариш мумкин. Уци зарядланган цилиндр уци билан 
устма-уст тушган ва 
А
нуцтадан утказилган цилиндрик сиртга
а)
3 0 -
р а е м ,
а
— сиртий зарядланган сферанинг, 
б
— дажмий заря длан ­
ган сферанинг майдон кучланганлиги.
Остроградский — Гаусс теоремасини татбиц циламиз. Бу сирт- 
нинг юцори ва пастки асослари бир-биридан 
I
масофада жой­
лашган ва уцца перпендикулярдир. Цилиндрик сиртдан утган 
тула оцим фацат ён сиртлардан утган оцимлар билан ифодала- 
нади, чунки кучланганлик асосларга параллел булгани учун 
асослардан утувчи оцим нолга тенг булади.
Кучланганлик чизицлари цилиндрнинг ён 
сиртларига перпендикуляр булгани учун 
N
тула оцим 
Е
кучланганлик цийматининг 
ён сирт катталиги 
2
иг/ га купайтирилгани- 
га тенг булади:
N —
2 я г /
• 
Е.
( 8 )
Остроградский — Гаусс теоремасига асо­
сан 
N
оцим сон жидатдан оцим дисобла- 
наётган сирт ичидаги зарядни 4тг га ку- 
пайтирилганига тенг; сирт ичидаги 
q
заряд 
цилиндрнинг 
I
узунлигига тугри келадиган 
зарядга тенгдир:
q
= а - 2т
:Rl,
демак, Остроградский — Гаусс теоремасига асосан:
N
= 4тг<7 = 4тоз • 
2-RI.
N
учун досил цилинган бу ифодани (
8
) ифода билан таццое- 
ласак, цуйидаги келиб чицади:
а*
—
>
к
>ч
V
31- раем. Зарядланган 
цилиндрнинг майдон 
кучланганлигини 
аницлашга дойр.

---

2
k
R
катталик сон жидатдан цилиндр ён сиртининг цилиндр 
узунлик бирлигига тугри келган юзига тенг булгани учун 
т) =
2
izRa
катталик цилиндр узунлик бирлигига тугри келган 
зарядни ифодалайди. Бундан (9) формулами куйидаги кури­
нишда дам ёзиш мумкин:
Е = 2
Л
(13а)
М айдон куч ла н га н ли ги цилиндр уцигача булган масофага
тескари пропорционал камаяди.
Худди шундай йул билан 
текис зарядланган цилиндрик сирт ичида майдон куч ла нга н ­
л и ги нолга тенг
эканлигини осон курсатиш мумкин.
Куриб чицилган мисоллар майдон симметрик булганда ва 
симметрия мулодазаларига кура кучланганлик чизикларининг 
йуналишини аввалдан курсатиш мумкин 
булган долларда 
Остроградский — Гаусс теоремасидан фойдаланиб электроста­
тик майдонни дисоблаш мумкин эканини курсатади.