T u r g u n b a y e V r I s k e L d I m u s a m a t o V ic h matematik analiz

2.  Haqiqiy  sonlar  to‘plamining  tartiblanganligi. 
Dastlab,  haqiqiy  sonlar 
to‘plamida teng,  katta va kichik tushunchalarini  kiritamiz.
Aytaylik, 
x
  =   (
A
, 
B)
  v a y   =   (C, 
D)
  haqiqiy sonlar, berilgan boisin.
1.15-ta’rif.  Agar  A=C  bo‘lsa, 
x
  =  y;  agar 
А
  с   С  va 
A  *
  С  bo‘lsa, 
x   <  y;
 
agar 
A
  3   С va 
А  Ф
  С bo‘lsa, 
x   > у
 deyiladi.
Ratsional  sonlar  to‘plamidagi  kabi  ushbu  xossalar  (Haqiqiy  sonlar 
to‘plamining tartiblanganlik xossasi) o‘rinli:
1.16-xossa.
  Ixtiyoriy 
x
  va 
у
  haqiqiy  sonlar  uchun 
x  — y , x   < y , x   >  у
 
munosabatlardan faqat bittasi  o‘rinli bo'ladi.
Isbot. 
0 
x
  =   (Л, 
B ) ,y
  =   (C, 
D)
  bo‘lsin.  Agar 
A
  =  
С
  bo‘lsa,  u holda ta’rifga 
ko‘ra 
x
  =  
у
  bo‘ladi.  Agar 
А  Ф  C,A
  с  
С
  bo‘lsa, 
x  < у
  boladi.  Agar 
А  Ф  C,A
  э  
С
 
bo‘Isa, 
x
  >  
у
 boladi ♦ .
1.17-xossa.
  Agar 
x   <  у
  va 
у   <  z
 bo‘lsa, 
x   <  z
 bo‘ladi.
10

---

Isbot. 
0 Haqiqtan ham, 
x
  =  
(А, В), у
  =   (С, 
D)
  va 
z
  =   (£, F ) bo‘lsin. U holda 
shartgako‘ra,x   <  
у
  dan 
А
  с  
С
  (1), 
у   < z
  dan C c £   (2) kelib chiqadi.  (1) va 
(2) dan А  с  
E,
  bundan x  <   z kelib chiqadi ♦ .
3. Haqiqiy sonlar to*plamining zichligi. 
Haqiqiy sonlar to ‘plamida ratsional 
sonlar to‘plamidadagi  kabi  quyidagi  xossa o'rinli.
1.18-teorema. 
Bir-biridan  farqli  ixtiyoriy ikki  haqiqiy jc va 
у
 sonlari orasida, 
kamida bitta haqiqiy,  xususan  ratsional  son mavjud.
Isbot. 
0  Aytaylik, д;<у bo‘lsin.  Agar 
x
 v a j  laming ikkalasi  ham ratsional  son 
bo‘lsa,  u  holda  ratsional  sonlar  to ‘plamming  zichlik  xosasiga  ko'ra  ular  orasida 
kamida bitta ratsional son mavjud.
Agar 
x
 ratsional son, v irratsional son bo‘lsa,  u holda 
у
 ni aniqlovchi 
(A.B)
  3- 
tur  kesim  mavjud  boMib, 
x
  ekanligidan 
x e A
  bo‘ladi.  Quyi  sinf 
A
  da  eng  katta 
element mavjud boMmaganligi  sababli 
x
 dan katta 
r&A
  ratsional son mavjud: 
x
Shuningdek, 
x
  irratsional  son  va 
у
  ratsional  son  bo'lgan  hoi  yuqoridagiga 
o ‘xshash  isbotlanadi.
Agar 
x
 va j  laming ikkalasi ham irratsional son bo‘lsa,  u holda jc ni aniqlovchi 
(
A ,B ),y
 ni  aniqlovchi  (C,D)  3-tur kesimlar mavjud bo‘lib, 
x
 ekanligidan 
A c C
 va 
A *C
 boMadi.  Bundan esa С da^4  ga tegishli  bo'lmagan 
r
 ratsional  son  borligi  kelib 
chiqadi: 
x
 ♦  .