|
Masshtabni
o’zgartirish
.
Endi,
koordinata
o’qlarining yo’nalishini (holatini) va koordinata boshini
o’zgartirmasdan birlik kesma uzunligini k marta o’zgartirishni
qaraymiz.
Bunday o’zgartirishda nuqtaning yangi va eski
koordinatalari ko’yidagicha bog’lanishda bo’ladi
k
x
x
`
k
y
y
`
1-misol.
Koordinata
boshi
О
(4;-3)
nuqtaga
ko’chirilgan.
А
(5;2)
nuqtaning
yangi
sistemadagi
koordinatalari qanday bo’ladi?
Yechish.
2
,
5
3,
,
4
y
x
b
а
larga ko’ra
5
3
2
1
4
5
b
y
y
a
x
x
.
Demak,
A
nuqtaning yangi koordinatalari 1 va 5 bo’ladi.
2-misol.
Agar koordinata boshi va o’qlarning yo’nalishi
o’zgartirilmasdan birlik kesma (masshtab) 3 marta orttirilgan
(yoki kamaytirilgan) bo’lsa,
A
(9; -3) nuqtaning yangi
koordinatalari qanday bo’ladi?
Yechish.
a) K=3 bo’lgani uchun
3
9
x
=3,
3
3
y
=-1.
Demak,
A
nuqtaning yangi koordinatalari 3 va –1
bo’ladi.
b)
3
1
K
bo’lgan holda esa
17
x
=9:
3
1
=27,
y
=-3:
3
1
=-9. Demak, bu holda
A
nuqtaning yangi koordinatalari 27 va –9 bo’ladi.
3.
Ikki nuqta orasidagi masofa
Faraz
qilaylik
to’g’ri
burchakli
koordinatalar
sistemasida
A(x
1
,y
1
)
va
B(x
2
,x
2
)
nuqtalar berilgan bo’lib, bunda
2
1
x
x
,
2
1
y
y
bo’lsin (5-chizma).
y
)
;
(
1
1
y
x
A
)
;
(
2
2
y
x
B
0
x
5-chizma
A va B nuqtalar orasidagi masofani topish talab etiladi.
Ko’rinib turibdiki,
A
va
B
nuqtalar orasidagi masofa,
)
,
(
B
A
AB
yo’nalgan kesma uzunligiga teng. Bu esa o’z navbatida
ACB
to’g’ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga teng.
Shu gipotenuza uzunligini topsak, masala yechilgan
bo’ladi.
Uchburchakning
Ox
o’qiga parallel tomonining
uzunligi,
CB
kesmaning
Ox
o’qiga proyeksiyasi uzunligiga,
yani
1
2
x
x
ga teng. Xuddi shuningdek, uning
Oy
o’qiga
parallel tomonining uzunligi
СА
kesmaning
Oy
o’qiga
proyeksiyasi uzunligiga, yani
1
2
у
у
ga teng.
To’g’ri burchakli
ACB
uchburchakka
Pifagor
teoremasini tadbiq etib quyidagini topamiz:
2
2
1
2
2
1
2
)
(
)
(
y
y
x
x
C
18
Demak, nuqtalar orasidagi masofa
2
1
2
2
1
2
)
(
)
(
)
,
(
у
у
х
х
B
A
(1)
formula yordamida topiladi.
Garchi, nuqtalar orasidagi masofani beruvchi (1) formula
2
1
x
x
,
2
1
y
y
dan iborat farazda chiqarilgan bo’lsada, u
boshqa hollarda ham o’z kuchini saqlaydi. Haqiqatdan ham,
2
1
x
x
,
2
1
y
y
bo’lsa,
)
,
(
B
A
=
1
2
у
у
ga teng. Agar
2
1
x
x
,
2
1
y
y
bo’lsa
)
,
(
B
A
=
1
2
х
х
ga teng
2
1
x
x
,
2
1
y
y
bo’lsa
A
va
B
nuqtalar ustma-ust tushadi va
)
,
(
B
A
=0 bo’ladi (6-chizma).
y
y
B
A
B
A
0
x
0
x
6-chizma
Misol.
Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan
A
(-1; 2),
B
(5; 6), va
C
(1;3). Uning tomonlari uzunliklarini
toping (7-chizma).
y
B
(5;6)
C
(1;3)
A
(-1;2)
1) AC tomonning uzunligini topamiz:
5
)
2
3
(
)
1
1
(
)
(
2
2
1
C
A
Xuddi shuningdek
2)
5
52
)
B
,
C
(
)
)
AB
(
19
0 x
7-chizma
4.
Kesmani berilgan nisbatda bo’lish
To’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida
A(x
1
,y
1
)
va
B(x
2
,y
2
)
ikki nuqta berilgan bo’lsin. Berilgan
nuqtalar orqali to’g’ri chiziq o’tkazib, unda musbat yo’nalishni
aniqlasak, bu to’g’ri chiziq o’qqa aylanadi. Bu o’q koordinata
o’qlariga parallel emas deb olaylik. Olingan o’qda
A
va
B
nuqtalar
AB
yo’nalgan kesmani aniqlaydi.
Faraz qilaylik,
В
у
х
М
)
,
(
nuqtadan farqli bo’lgan
(aytilgan o’qdagi) nuqta bo’lsin.
AB
kesmani
МВ
АМ
:
nisbatda bo’luvchi M nuqtaning
koordinatasini topish talab etiladi.
Eslatma. Agar
M
nuqta
A
va
B
nuqtalar orasida
yotsa
АМ
va
МВ
kesmalarning yo’nalishi bir xil bo’lib,
musbat son,
M
nuqta
AB
kesmaning tashqarisida
yotsa,
АМ
va
МВ
kesmalarning yo’nalishlari qarama-
qarshi bo’lib
manfiy sondir, va aksincha.
Quyilgan masalani hal etish uchun
A, M
va
B
nuqtalarni koordinata o’qlariga proyeksiyalaymiz: Ular
y
y
y
x
x
x
B
M
A
B
M
A
,
,
,
,
,
lardan iborat bo’ladi.
y
B
B
y
M
y
M
A
y
A
20
0
A
x
M
x
B
x
x
8-chizma
Ko’rinib turibdiki,
x
M
nuqta
х
х
В
А
yo’nalgan
kesmani
nisbatda bo’ladi, yani
)
(
x
x
x
x
B
M
M
A
:
Agar
x
x
B
M
x
x
M
A
x
x
x
x
2
1
,
ekanligini nazarga
olsak,
)
(
tenglikdan
)
(
:
)
(
1
2
1
x
x
x
ekanligini
topamiz.
Xuddi shu yo’l bilan
)
(
:
)
(
1
2
1
y
y
y
ni
topamiz. Shunday qilib, berilgan kesmani
nisbatda bo’luvchi
nuqtaning koordinatalari
1
2
1
х
х
x
,
1
2
1
у
у
y
formulalar yordami bilan topiladi.
Agar
)
;
(
y
x
M
nuqta
AB
yo’nalgan kesmaning
o’rtasida bo’lsa
=1 bo’lib yuqoridagi formulalar quyidagi
ko’rinishni oladi:
2
2
1
х
х
x
,
2
2
1
у
у
y
Tekshirish uchun savollar va mashqlar
Savollar.
1.
Tekislikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi
qanday aniqlanadi?
2.
Nuqtaning dekart koordinatalari deb nimalarga aytiladi?
21
3.
Tekislikda koordinata boshini kuchirish qanday amalga
oshiriladi?
4.
Tekislikda koordinata o’qlarining yo’nalishini uzgartirish
qanday amalga oshiriladi?
5.
Masshtab uzgarishi bilan nuqtaning koordinatalari qanday
uzgaradi?
6.
Tekislikda ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasini
isbotlang.
7.
Kesmani berilgan nisbatda bo’lish formulalarini isbotlang.
22
Mashqlar.
1.
Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan:
A
(-1; 2),
B
(4;7),
C
(0;3). Uning tomonlari uzunliklarini toping.
2.
Absissalar o’qida
M
(2;5) nuqtadan 13 uzunlik birligi
uzoqlikda yotuvchi nuqtani toping.
3.
A
(-5;4) va
B
(5;6) nuqtalar berilgan.
AB
kesmani teng ikkiga
bo’luvchi
)
;
(
y
x
C
nuqtaning koordinatalarini toping.
4.
A
(-5;-7) nuqta hamda
AB
kesmaning o’rtasida yotuvchi
C
(-
9;-12) nuqta berilgan.
B
uchining koordinatalarini toping.
5.
Uchlari
O
(0;0),
A
(8;0) va
B
(0;6) nuqtalarda bo’lgan
uchburchakning
OC
medianasi va
OD
bissektrisasining
uzunliklarini toping.
6.
A
(-2;-4) nuqta to’g’ri chiziq buylab harakatlanib,
B
(4;2)
nuqtaga keladi. O’tilgan yo’lning uzunligi va nuqtaning
trayektoriyasi bilan O
x
o’qning musbat yo’nalishi orasidagi
burchakni toping.
23
7.
AB
kesmaning o’qlardagi proyeksiyalari
ox
ПР
AB
=5
oy
ПР AB
=-4 bo’lib oxirgi uchi
B
(2;-2) nuqtada. Uning
A
nuqtasi koordinatasini toping.
24
Do'stlaringiz bilan baham: |
