Nazariy fizika kursi

A f  
=  
— 4 i r e 5 ( x   —  a ) 5 ( y ) 5 ( z )
V i ( S )
 
=  

  0,
(10.41)
(10.42)
(10.43)
220

---

sivalangan  zaryadlarning  y ig ‘indisiga  teng  b o ‘ladi,  y a ’ni2
UJedS
-e.
integral  o'tkazgichning  sirti 
( yO z
  tekisligi)  bcryicha  olinadi.  Bu 
likning  to 'g 'rilig in i  (10.43)  shart  bilan  tekshirib  ko‘rish  mumkin.
Potemsialni  asosiy  va  yordam chi  nuqtaviy  zaryadlar  liosil  qiladigan 
maydon  potensiallarining  y ig in d is i  ko‘rinishida  yozam iz:
e 
e 
e 
e
(10.45)
(10.45)  ifodadagi
I3u  yerda 
r
  asosiy  zaryaddan, 
r '
  csa  yordam chi  zaryaddan  kuzatish 
nuqtasiga  o ‘tkazilgan  radius-vektorlar  ( 10.1-rasm ). 
birinchi  va  ikkinchi  hadlar  va  ularning 
y ig ‘indisi  ham  (10.41)  tenglam aning  yechim i 
bo'ladi. 
Bundan 
tashqari. 
u 
(10.42) 
va  (10.43)  ehegaraviy  shartlarni  qanoat- 
lantirishini tekshirib ko'rish qiyin  ernas  ( 10.1- 
rasmga  qarang). 
Shunday  qilib,  yeehim- 
ning  yagonaligi  haqidagi  teorem aga  asosan 
(10.45)  q o ‘yilgan m asalaning yechim i b o !ladi.
E lektr  m aydon  kuchlanganligi
E
,,3
r —
,./3
(10.46)
10.1-rasm:
S itrda  induksiyalangan  zaryadlar  zichligi
ea
UJe  ~
(
a
2  +  
y2
  +   z 2) 3/2
'10.47)
M a s a la   2.  Radiusi  R   bo‘lgan  o'tkazuvchi  sfera  markazidan  d
  >  
11 
masofada joylashgan  nuqtaviy  e  zaryadning  potensialini  aniqlang.
2Umurnan  olgan da  induksiyalangan  za ry a d la rn in g   y ig ‘ indisi  n o lga   t.eng  b o'lish i 
korak. 
A irm io  sirtda  induksiyalangan  za ry a d la rn in g   ishorasi  b n ilg a n   zaryad n in g
ishorasiga  teskari  b o ‘ ladi.  In du ksiyalan gan   zaryad larn in g  b erilgan   zaryad  ishorasi 
bilan  inos keluvchi qism i m asalanin g q o ‘ y ilish ig a  k o‘ra cheksizda y o ta d i.  Shu  sababli 
nlar  inaydoTiga  q o ‘shim cha  xissa  q o ;slunaydi.
221

---

M asalaning  m atem atik jihatdan  qo'yilishi  birinchi  m asaladagi  kabi 
bo'ladi.  Shuning  uchun  uni  bu  yerda  keltirm aym iz.  Sfera  yerga  ulan- 
gan  bo'lsin.  U  holda, 
e
  zaryad  va  sferadagi  induksiyalangan  zaryadlar 
hosil  qilayotgan  m aydon  potensiali  sferada  (r   =  
R
)  nolga  teng  bo'ladi. 
M asalaning  yechimini
с
p  =   e/r +  e'/ r'
 
(10.48)
ko‘rinishda  yozib  olamiz.  Bu  yerda  yordam chi  zaryad 
e'
  ning  m iqdori 
va  joylashgan  nuqtasi 
A '
  ning  koordinatasi  chegaraviy  shart  -  sferada 
potensialning  nolga  teng  b o ‘lishidan  aniqlanadi.  O d d iy  hisoblarni  ba- 
jarib ,  quyidagilarni  topam iz: 
e'  =   —eyjd'/d,  del' 
R 2,  (d '  <   R ).
  Bu 
yerda 
d  =   О  A
  va 
d!
  =  
О A '.
 
Asosiy  zaryad  joylashgan 
A.
  yordam ­
chi  zaryad  joylashgan 
A '
  nuqtalar  va  sfera  markazi 
О
  bir  t o ‘g ‘ri  chi- 
ziqda  yotadi  ( 10.2-rasm ).  Y u qoridagilarga  asosan  q o ‘yilgan  masalaning 
yechim i  quyidagi  ifodalar  bilan  aniqlanishini  topam iz:
e 
R e
~  
T iV '
E  =
e 
R e  
.
----
7—^ r
(10.40)
d  г 'л
3. 
I n v e r s iy a   m e t o d i.  B a ’zi  hol- 
larda  elektrostatikaning  bir  masalasi- 
ning  yechim i  yordam ida  boshqasining 
yechimini  topish  mumkin.
Laplas  tenglam asining  m a'lum   bir 
almashtirishlarga nisbatan invariantligi 
bunga  asos  bo'ladi. 
Shunday  al­
mashtirishlarga  inversiya  (akslantirisli) 
misol  bo'ladi.
Laplas  tenglam asini  sferik  koordi-
natalarda  ( A . 117)  asosan  yozam iz: 
1 
d
dr
^
 
I  +  
o r
A g a r  o ‘zgaruvchi 
r
  ning  o ‘rniga  yangi
r '
  =  
R 2 j r .
 
(10.50)
o'zgaruvchi  kiritilsa,  shu  vaqtda  nom a’lum  funksiya 
tp(r,6,ij>)
  ni  yangi
R
ф(г',в,-ф)
  =   — 
tp
(10.51)
222

---

Iiuiksiya  bilan  almashtitilsa, 
Laplas  tenglam asi  invariant  qoladi. 
Nliiuulay  cjilib,  agar 
;p
  Laplas  tenglam asining  yechim i  b o is a , 
ф
  ham 
lining  ycchim  b o ‘ladi. 
Bu  ycrda  (10.50) 
inversiyn  tilmashlirishi
, 
R  
ninrrstya  radiusi
  deyiladi.
Q andaydir  zaryadlar  va 
tpo
  potensialga  ega  bo'lgan  o'tkazgichlar 
>u:,i rinasining  m aydoni  bizga  m a!lum  b o ‘lsin  deb  f'araz  qilam iz.  I ’oten- 
ма1  (
p (r )
  odatda,  cheksizga  nolga  deb  olinadi. 
Mu  yerda  potensialni 
nlninday  tanlaym izki,  u  cheksizda 
—ipo
  b o is in ,  bu  hoda  o'tkazgichning 
polensiali  nolga  teng  b o ‘ladi.
(10.50)  va  (10.51)  almashtirish  natijasida  sodir  bo'ladigan   o ‘zga- 
i islilarni  isbotsiz  quyida keltiriladi.  A vvalo,  odchaniga  ega  b o ‘ lgan  bar- 
cha o ‘ tkazgichlarning shakli va o ‘zaro joylashishi o'zga ra di  ( ) ‘ l kazgichlar 
Mi l i da  potensialning o ‘zgarm as  b o ‘lish sharti  a lb a tta  o 'z   kucliini  saqlab 
qoladi.  Masalan,  o ‘tkazgich  sirtida  
 
(I  b o ‘ lndi.  Mu- 
lardan  tashqari,  barcha  nu qtaviy  zaryadlarning joyla.shi.slii  va  ularning 
knttaligi  o'zgaradi. 
M asalan,  Го  nuqtadagi  zaryad 
( R~/r^) i \)
ini(|t.aga  o4 ad i  va  zaryad 
e'  =  
c
R /
tq
  ga  almashadi.
1’otensial 
o { r l )
  ning  koordinata  boshida  qanday  boMishini  ko'rib 
i liiqamiz. 
r ’
  =   0  nuqta  r   —>  oo  ga   mos  keladi.  Lekin, 
r
  —*  no  da  pot.en- 
sial 
-ipo
  ga  intiladi.  Shuning  uchun 
r '
  —>  0  da  funksiya
R
Ф =
  — ; V?o 
r
kqonuniyat  bilan cheksizga intiladi.  Bu 
r '
  =   0 nuqtaga со 
zaryad
Imrligidan  dalolat  beradi.  Bu  natijani  221-betda  ko'rilgan  inasala  bilan 
l;i(|(|oslasak.  natija  birday  ekanligiga  ishonch  hosil  qilisli  mumki n