|
= - r r r - e
9
,
(3.55)
аммо
1
IN!
куп
\олда
нормаланадиган доимийга таъсир
Килмайди ва уни тушириб кщ дириш мумкин.
Энди Гиббс каноник такримотининг асосий хоссалари ва
натижалари устида тухталамиз.
1.
(3.54) нормалаш шартидан таш ки
а
параметр буйича
дифференциал олсак, с^нг уни 0 га тенгласак,
(3.56)
( д у
г д н \
дак
в
да/,
ч
/
муносабат келиб чикдди.
бЬ;
\оси л а уртача (термодинамик)
)в
умумлашган А куч ифодасини беради, яъни
'
ЭН
=
-
4
, =
дц/
()ак
в
—
л к
д а к
(3.57)
2. Яна нормалаш шартини 0 буйича дифференциаллаб,
сунг нолга тенгласак,
66
B\if
dair
= y / - H
(3.58)
муносабат келиб чикади. Аммо, системанинг уртача энергияси
И ички термодинамик
U
энергияга тенг булганлиги учун
(3.59)
3. Олдин курганимиздек, к^ндайдир
F (х,а)
ф ункциянинг
уртача киймати
Ч / - Н
F = \ F < x , a ) e
0
(dx )bN ■
г
ифодадан аникутнади.
4. (3.60) ифода буйича:
(3.60)
d F _
1
дв
е 2
■(F - F ) ( Н - Н )
(3.61)
5. Ш унингдек,
[
d
F
]
( d F
\
да
\
/
1
1
д
а
)
j i F - F )
ЭН
д н
д а
д а
(3.62)
К аноник такримотнинг параметрлари
в
ва
у/
нинг ф изик
маъносини аникутйлик.
1.
Гиббс тацсимот крнуни, термодинамиканинг биринчи
крнуни
ва
(3.59)
ифодадан
фойдаланиб,
5Q_
в
=
d
дц/
~дв
булишлигини аникутанади,
в
интегралловчи
купайтувчи эканлиги маълум булади. Демак, мутлок, тем пера
тура Т температуранинг ухшаши (статистик температура)
булади. \и с о б н и н г натижасига кура,
в = кТ
(3.63)
булишлиги топилади.
2.
в=кТ
ва
a = V
деб олинса, (3.59) дан
67
U =iV- T
д у
~дТ
(3.64)
ифода келиб чикади. Буни биринчи конунга куйилса,
' дц!
h
-
1
И
д Т
г
дц/
JF F
эркин энергиянинг
W=F=U-TS ёки F=w=
Н
- TS
S T
(3.65)
ифодаси келиб чикади. Демак,
\j/=F
термодинамик эркин энер
гиянинг узи экан.
3.
Энди (3.53) ни (3.54) нормалаш шартига куйиб,
у/
ни
яккаласак,
н
V
в
In J I
( d x )
bN
-в
In
Z
(3.66)
ифодани оламиз. Бундаги
1 л
*7
(3.67)
Z
г
интегрални
\олатлар
интеграли
д е й и л а д и .
Агар
энергия
К ийм атлари д и с к р е т б у л с а ,
у
\о л д а
(3.67) урнига
z =
(3.67-)
i = l
статистик йигиндидан фойдаланилади, бунда Е, дискрет энер
гия смектрида i — \олат энергияси. Бу \олда \ам (3.66) муно-
сабат уз кучини сакпайди.
М аксвелл-Болцман тацсимоти
Гиббс каноник таксимотидан кинетик энергиядан бошка
потенциал энергияга эга булган газ зарралари учун М аксвелл-
Болцман таксимотини келтириб чикариш мумкин. Бир зарра
нинг энергияси бу \олда
68
Е = Е кш,
+
Е т т
=
р2х+ %1 +- - 1
+ ^ Л
D
(3.68)
Зарранинг
(молекуланинг)
импулси
/W V ^ +Фх.'
py,py+dpy;pz,pz=dpz
ораликда, координаталари х,
x+dx; у, y+dy;
z,
z+dz
орал и кд а булган \олати э^тимоллиги
dw(pх > Ру> Р '> х> У> z) =
const ■ exp
Рх + Ру + Р/
2 т
+ V (x, у, z)
dpjdpydpzfbcdydz
kT
( 3 .6 9 )
булади. Бу М аксвелл-Болцман таксимотидир.
3.7. Гяббснинг катта каноник таксимоти
Термодинамикада зарралар сони узгарувчан булган систе-
малар учун
ц
кимёвий потенциал киритилади, у эркин энер-
гиядан зарралар сони буйича олинган ^осила сифатида ифода-
ланади:
куринишда булади, уни Гиббснинг катта каноник тацсимоти
дейилади.
Q
термодинамик потенциал нормалаш шартидан
аникутанади.
Уртача кийматлар олдин курилган ко и да асосида ифодала-
нади:
( д цг Л
(3.70)
Бундан:
V/ = ц И + Q ( j u , V , Т )
(3 .71)
ифода олинади
( Q -
термодинамик потенциал).
Бу \олда такси мот к°нуни
(3.72)
69
N -
f ± / №е х р £ ± ^ < * Г
,
yv=o
Г
» ■
■
N=0
/V- г
Бу та кс и мот учун ^олатлар интеграли вазифасини
2 =
1
N
= 0
ифода бажаради,
Q
эса
Г ДЛГ 1
ехр
кТ
]
N !
| е кт ( dx )
Г
6 N
Q = - k T
In Z
муносабат op кал и аниьутанади. Яна олинган
'да"
s
1
1
д» ,
- N
VT
( 3 .7 3 )
( 3 .7 4 )
ифодалар Q нинг маъносини ош кор килади.
3.8. Квант статистика асослари
М икрозарралар дунёсида классик ф изика конунлари иш-
ламай к °л ади. Улар макрожисмлардан фаркпи хоссаларга эга:
элементар зарралар (электронлар, протонлар, нейтронлар ва
\оказо) \ам зарра, \а м тулкин табиатга эга булади, бир вактда
уларнинг жойи ва импулсини ан и к улчаб булмайди, биноба-
рин, микрозарралар \олатини бир вактда координаталар ва
импулслар ёрдамида тасвирлаб булмайди.
М икрозарралар
спин моментлари, магнитик моментларга эга, уларнинг энер
гияси кийматлари узук-узук спектр ташкил килади, ф изик
системалар \олатини квант механикада Ш редингер тенгламаси
тасвирлайди.
М икрозарраларнинг
барчаси
бир
биридан
фаркданмайди.
Хуллас,
квант
системаларда
узига
хос
Конуниятлар асосида
махсус хоссалар мавжуд.
70
Квант системаларининг статистик конуниятларини квант
статистикаси урганади.
Бу \олд а фазалар фазоси буйича барча интеграллар урнини
квант
системасининг
барча
хусусий
х;олатлари
буйича
йиг индилар олади:
Статистик йигинди
П
Z
= X ехр
(=1
- Е ,
к Т
(3.75)
булади, аммо £2 =-kTlnZ ифода сак^анади.
Энергиялар буйича тацсимот функцияси
( - Е ■
/
W j
(
Е j )
=
c o n st
exp
' A j
нормалаш шарти
(3.76)
) =
const X ex P
/ = 1
1 = 1
~Ej_
kT
=
1
(3.77)
энергиянинг уртача киймати
E =
< = i
- E i
kT
£ exp
/ = 1
- £ /
kT
(3.78)
куринишда булади.
(3.73)
ифодани бошк^чарок, кдлиб ёзиб олайлик. г-^олат
энергиясини е„ ундаги зарралар сонини
п
, деб олсак, бу
\олатдаги зарралар умумий энергияси
п,е„
энди Л/=я, булади.
Демак, бу \олатга мос термодинамик потенциал
Q. i = - к Т
In £
куринишда булади.
, кТ
(3.79)
71
/ — х;олатдаги зарралар уртача сони
кТ
дО.
п
.
(3.80)
Паули принципига буйсунадиган (яримбутун спинли) зар
ралардан (электронлар учун .$=1/2) таш килланган системада
бир \олатда фа^ат битта зарра булиши ё булмаелиги мумкин,
яъни
п/
= 0,1 цийматлар олади, холос. Бу \олда:
Демак, /' — \олатдаги уртача зарралар сони (тугрироги шу
\олатда зарранинг булиш э\тимоллиги)
Бу ифода
Ф ерм и-Д ирак статистикасига буйсунадиган
(Паули принципига буйсунадиган) идеал газ учун Ферми
таксимот функциясидир.
е х р ( е - ц ) /к Т » \
булган да у Болцман
такримотига утади, яъни
<
булиб олади.
Спини булмаган ёки спини бутун сон билан белгиланади-
ган зарралар \а р кандай \олатда ихтиёрий сонда булиши мум
кин (улар Паули тактик, принципига буйсунмайди).
Бу \олда
(3.81)
(3.82)
72
оо А
а
~
?к
Л",
f
ц-ек
\
£2
j
=
- k T
£
и, =0 \
=
- к Т
1 +
е кГ
+
е 1
*'
+ .
Ц - E i
ифодадаги йигинди ех Р
махражли ва у 1 дан кичик
кТ
булган чексиз геометрик проф есси я булади, шунинг учун
П
, =
кТ
In \ - е кт
(3.83)
Демак, бу \олда
I
(3.84)
е кт
- 1
Бу ифода Бозе-Эйнш тейн статистикасига буйсунадиган
зарралар идеал гази учун тацсимот функциясидир.
Ф ерми-Д ирак квант статистикасининг электронлар айни-
ган газига тадкик килайлик.
Электронлар гази умуман айтганда Ф ерм и-Д ирак стати
стикасига буйсунади. Хусусий \олд а электронлар зичлиги кам
булган, яъни
Do'stlaringiz bilan baham: |
