O‘zbekiston respublikasi fanlar akademiyasi

“Ўрам” (свёртка) ҳақидаги теорема: Агар 
бўлса, у ҳолда 
бўлиб, 
(5) 
бўлади. 
(5) формулани умумлашган функциялар учун ҳам қўллаш мумкин. 
Фурье алмаштириши ва дифференциаллаш. Агар 
бўлса, у 
ҳолда 
(6)
(6) формуладан n-тартибли ҳосила формуласини келтириб чиқариш 
мумкин: 
(7) 
(6)-(7)-формулалар умумлашган функциялар учун ҳам ўринлидир. 
Фурье алмаштириши ва кўчиш. 
(8) 
(8)- ва (7)-формулалар “ўрам” тўғрисидаги теореманинг хусусий ҳоллари 
ҳисобланади, чунки аргумент бўйича кўчиш – бу силжиган 


0
x
x


дельта-
функция “ўрам”идир. Дифференциаллаш эса дельта-функция ҳосиласи “ўрам”и 
ҳисобланади. 
Фурье алмаштириши ва чўзилиш. 
 
1
.
ˆ
f ax
a
f
a


 

 
 
(9) 
Умумлашган функцияларнинг Фурье алмаштириши. Фурье алмаштириши 
умумлашган функцияларнинг кенг синфи учун қўлланилиши мумкин. Дастлаб 
тез камаювчи функциялар фазосини аниқлаб оламиз.(Шварц фазоси): 
 
 
 
 


:
:
,
0
x
m
n
S
C
n m
x
x









(10) 

---

83 
Бу фазонинг асосий хусусияти Фурье алмаштиришига нисбатан инвариант 
қисмфазо эканлигидир [4].
Вейвлет-алмаштириши. Узлуксиз ва дискрет сигналларни таҳлил 
қилишда кенг фойдаланиладиган Фурье алмаштириши мураккаб сигналларни 
қайта ишлашда етарлича самарали ҳисобланмайди. Масалан, турли частотали 
иккита синусоидадан иборат сигнал учун улардан биринчиси синусоидалар 
йиғиндиси, иккинчиси эса кетма-кет келган синусоидаларни ўзида акс эттирганда
Фурье спектрлари бир ҳил бўлиб қолади, чунки иккита частотада бир хил 
чўққилар кузатилади (1-расм). Бундан Фурье алмаштириши ўзининг оддий 
кўринишида стационар бўлмаган сигналларни таҳлил қилиш яроқли эмаслиги 
келиб чиқади, яъни сигналнинг вақт билан боғлиқ характеристикалари йўқолиши 
олиб келади. Нутқ сигнали ностационар жараёнга мисол бўла олади. Чунки унда 
информативлик частота-вақт характеристикаларининг ўзгариши ҳисобланади. 
1-расм Фурье алмаштиришининг ноинформативлигига мисол 
 
Бундай жараёнларни таҳлил қилиш учун базисли функциялар талаб 
этилади. Улар частота ва вақт характеристикаларига таъсир эта олиши керак, яъни 
частота-вақт локализация хусусиятига эга функциялар талаб этилади. Бундай 
имкониятлар вейвлетлар ўзида акс эттиради ва улар спектрал таҳлилни 
умумлашмаси ҳисобланади. 
Вейвлетлар – икки аргументли функциялар бўлиб, унда масштаб ва 
силжиш мавжуд. Стандарт Фурье алмаштиришидан фарқи, улар бир вақтда 
сигнални физик фазода – вақт, координата, частота фазосида қайта ишлашга 
имкон беради. 
 
 
1/2
, 
, 
t
x
W f
x a
a
f t
dt
a


















(11) 
бу ерда 
– вейвлет, – масштаб коэффициенти, – силжиш параметри.
Шундай қилиб, вейвлет алмаштириши тадқиқ қилинаётган сигнални 
частотавий соҳада частота-ҳолат текислигида икки ўлчамли ифодалашни 
таъминлайди. Частотанинг аналоги бўлиб, базис функциянинг масштаб аргументи 
хизмат қилади (кўп ҳолларда - вақтнинг), ҳолат эса унинг силжиши билан 
характерланади. Бу сигналларни бир вақтнинг ўзида вақт шкаласи бўйича 
локализациялаб ўзига хос хусусиятларини топишга имкон беради. Бошқача 
айтганда, вейвлет таҳлилни локал бузилишларни спектрал таҳлили деб қараш 
мумкин. Вейвлет таҳлил назариясида кўплаб йўналишлар мавжуд. Масалан, кўп 
масштабли вейвлет таҳлилни қўллаган ҳолда сигнални деталлашнинг ҳар хил 

---

84 
даражалари кетма-кетлиги кўринишида ифодалаш ва бу орқали сигналнинг локал 
хусусиятларини топиш ҳамда уларни интенсивлиги бўйича таснифлаш имкони 
мавжуд. Таҳлил сигнални ортонормаллашган базисни ташкил этувчи 
функцияларга ёйишга асосланади. Ҳар бир функцияни маълум бир масштаб 
поғонасида 
n
j
қатор кўринишида ёйиш мумкин. 
 
2
1
2
1
,
,
,
,
0
0
, 
max
n
n
n
n
j
M
M
j k
j k
j k
j k
k
j j
k
f x
s
d










 
(12) 
бу ерда
ва 
–масштаблаш ва аралаш скейлинг-функцияси (масштаб 
функцияси) 

ва дастлабки вейслет 

, 
– аппроксимация коэффициентлари, 
– деталлаштирувчи коэффициентлар. 
2-5 расмларда ва функцияларнинг берилган вейвлетлардаги таҳлилий 
графиклари келтирилган. 
2-расм. Симлет вейвлетининг ва функцияларнинг таҳлилий графиги 
3-расм. Добеши 8 вейвлетининг ва функцияларнинг таҳлилий графиги 
4-расм. Симлет 8 вейвлетининг ва . функцияларнинг таҳлилий графиги 

---

85 
5-расм. Добеши 4 вейвлетининг ва функцияларнинг таҳлилий графиги 
 
ва
функцияларнинг масштабланиши ва силжиши қуйидаги қонун 
асосида аниқланади. 




/2
/2
,
,
2
2
,
2
2
,
j
j
j
j
j k
j k
x
k
x
k








(13) 
ва функциялар эса қуйидагича аниқланади: 
 


 


2
1
0
2
1
0
2
2
,
2
2
, 
M
k
k
M
k
k
x
h
x
k
x
g
x
k














(14) 
бу ерда 
6-расм. “а” фонемининг максимумлари скелети, “а”фонемининг вейвлет 
алмаштириши коэффициентлари чизиғи 
7-расм. “а” фонемининг максимумлари скелети 
 
Масштаблаш функциясининг ортогоналлик хоссасини бажариб ва М га 
қиймат бериб муайян коэффициентлар қийматларини ортогонал вейвлетларни 
аниқловчи hk ҳисоблаш мумкин. Масалан, М=4 қиймат бериб Добеши 8 
вейвлетини ифодаловчи hk коэффициентлари қаторини аниқлашимиз мумкин. 
Шундай қилиб, ортогонал вейвлет-таҳлил аппроксимация коэффициентлари 
ни ва деталлаш коэффициентлари 
ни аниқлаш орқали амалга оширилади. 
Бунда (11)-формула бўйича f(x) сигнал қаторга ёйилади. 6,7-расмлар “а” 
фонемининг максимумлари скелети келтирилган. 

---

86 
(x, a) оралиқдаги вейвлет алмаштириш локал “чўққилари” да жойлашган 
кўплаб нуқталар максимумлар скелетини ташкил этади. Бу нуқталар кичик 
масштабдаги соҳаларда айниқса, кўп учрайди. Уларнинг пайдо бўлиши билан 
вейвлет алмаштириш ҳар қандай сигналдаги нотекисликка эътибор қаратади. 
Масштаб катталашган сари кичик нотекисликлар йўқолиши ва улар билан бирга 
максимум нуқталар ҳам йўқолади. Қолган нуқталар нисбатан текис эгри 
чизиқларни ташкил этади ва улар ҳам ўз навбатида масштаб катталашгач бир-
бирига қўшилиб кетиши ёки катта масштабларда улар йўқолиши ёки кўпайиши 
мумкин. 
Сигнал ҳақидаги энг асосий ахборотлар 6-расмда келтирилган вейвлет 
алмаштириши максимумлар скелетида ўз аксини топади. Бу механизмларни 
қўллаш нутқ оқимидан фонемларни самарали ажратиб олиш имконини беради. 
Афзалликлари Вейвлет алмаштиришлари Фурье алмаштиришининг барча 
афзалликларини ўз ичига олади, Вейвлет базислари вақт ва частота бўйича яхши 
локаллаштирилади ва сигналларда турли масштабли локаллашган жараёнларни 
ажратишда қизиқтирган қисмларни қараш имконини яратади ҳамда базис 
вейвлетлари функциялари турли текисликда осон жорий этилишидан иборат. 
Камчиликги эса ундаги алмаштириш амалининг мураккаблиги ҳисобланади.