|
b + о — O C + C B = OB ,
bu ikki tenglikdan esa ä + b = b + 5
kelib chiqadi.
b)
5 II6 bo‘lsin. Bu holda 0 , A , B nuqtalar bitta d to'g'ri chiziqda
yotadi. d to'g'ri chiziqda yotmaydigan С nuqta olaylik, u holda
О С + C B = OB .
(2)
a) holga ко'га O C + C B = C B + О С ■
Lekin, C B = C A + A B , О С = O A + A C bo'lgani uchun:
O B = C A + A B + O A + A C = A B + O A ;
(3)
qarama-qarshi vektorlar yig'indisi о ga teng bo'lgani uchun C A + A C - Ö
ikkinchi tomondan,
O B = O A + A B
(4)
(3) va (4) tengliklardan ä + b = b + 3 tenglikka ega bo'lamiz.
3) har qanday ä vektoiga nol vektor qo'shilsa, ä vektor hosil
boiadi, ya’ni 5 + 6 = 5. Uchburchak qoidasiga ko'ra istalgan 3 =
O A
vektor uchun
O A + A A = O A
tenglik yoki 5 + 0 = 5 tenglik o'rinli.
4) har qanday 5 vektor uchun shunday ä' mavjud-ki, uning uchun:
5 + 5' = 0
(5)
2.2. Vektorlarni ayirish.
T a’rif. 5,6 vektorlaming ayirmasi deb, 5 vektor bilan b vektoiga
qarama-qarshi — b vektoming yig'indisiga
aytiladi. Bu ta’rifdan
66
ko'rinadiki, c =
ci-b
ayirma vektomi yasash
uchun c = a +
(-b)
vektomi yasash kerak
ekan. Agar
á,b
vektorlar bitta
O
nuqtaga
qo‘yilgan (32-chizma) hamda
a - O A
va
t
—
>
b
=
OB
deb belgilangan bo‘lsa, u holda
c = d - b = OA- OB = OA+ O B = B O + OA = BA
Bu holda
a va b
vektorlaming ayirmasini topish uchun boshi
g
nuqtada oxiri
A
nuqtada bo'lgan
BA
vektomi yasash yetarli bo'ladi.
2.3. Vektorlarni songa ko‘paytirish.
a * 0 vektor va ce son berilgan bo'lsin, bu yerda a & R .
T a ’rif. Vektorning
a
songa ko‘paytmasi deb shunday
b
vektorga
aytiladiki
a >
0 boiganda
b
ning yo'nalishi
a
ning yo'nalishi bilan
bir xil, a < 0 da
b
ning yo‘nalishiga teskari bo‘lib,
b
vektorning
uzunligi esa a vektorning uzunligi bilan a son modulining
ko‘paytmasiga teng,
á
ning
a
songa ko‘paytmasi
b = a a
shaklida
belgilanadi. Bu ta’rifdan bevosita quyidagi xulosalar kelib chiqadi:
a) ixtiyoriy a vektor uchun: 0-a = 0
b) ixtiyoriy a e R son uchun: a 0 = 0
d) ixtiyoriy á vektor uchun: 1 • a = 5; (-1) • a = -5
e) a va a a vektorlar o‘zaro kollineardir:
33-a chizmada a vektor 4 so-
a
,
niga ko'paytirilgan; ¿ = 4 a ; 33-b
chizmada c vektor -2 soniga-----
ko'paytirilgan; b = - 2 c . Biror
a *
0 vektomi o‘zining uzunligi-
_1_
ga teskari j^j songa ko'paytirilsa,
shu vektor yo'nalishidagi birlik
4 a
-2c
33-chizma.
vektor (ort) hosil boiadi, ya’ni
_ ^o(|*o| - ').
Teorema. Agar
a\\b
( 5 * 0 ) bo'lsa, u holda shunday
a
son
mavjudki,
67
b - a a
b o ‘ladi.
(6)
Isbot.
3||¿> boMgani uchun quyidagi uch hoi boiishi mumkin:
3)
b = 0 bo‘lganda b = 0 • a bundan a = 0. Demak, vektomi songa
ko'paytirish ta’rifidan va bu teoremadan quyidagi xulosani chiqarish
mumkin:
Shunday qilib (6) munosabat á,b vektorlar kollinearligining zaruriy
va yetarli shartidir.
Vektomi songa ko'paytirish quyidagi xossalarga ega:
a) l-5 = a;(-l)-a = -a;
b) a(/?-5) = (a-/?)5(gruppalash qonuni);
d)
a (a
+ b) =
a a
+ a b (vektorlami qo'shishga nisbatan taqsimot
qonuni);
e) ( a + P )- a - a a + (5-a
(skalyami qo'shishga nisbatan taqsi
mot qonuni).
Ikkinchi xossani, ya’ni tenglikning o'rinli ekanini ko'rsatish bilan
cheklanamiz.
Isbot. M a ’lumki,
a(/3-a)
va
(a
-
P )a
vektorlar bir xil |a|-|/?|-|a|
uzunlikka ega. Vektomi songa ko‘paytirish amali ta’rifiga ko‘ra agar
a-fi
> 0 bo‘lsa,
a(P-a)
va
{ a ■
P )a
vektorlar bir xil yo'nalgan,
agar
a - P
< 0 bo'lsa, bu vektorlar
a
ga qarama-qaishi yo'nalgan bo'ladi.
Shunday qilib, agar
a * 0 , p *
0,
a
* 0 bo‘lsa,
a(P-a) = (a- P )a
ga
ega bo‘lamiz. Agar a
=
0, /3 = 0 yoki a = Q bo‘lsa, u holda a{p-0) = 0
va (a- p)a = 0 bo‘ladi.
1. Vektorlar ustidagi amallami geometrik nuqtayi nazardan kelib chiqqan
holda tushuntirib bering.
2. Vektoming skalyarga ko'paytmasi deganda nimani tushunasiz?
holda a - — rr bo'ladi.
o\
a || b < $ b = a a (a < = R )
0 ‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar.
68
3-§. T o ‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi.
Nuqtaning va vektorning koordinatalari
3.1 .Tekislikda koordinatalar sistemasini kiritish.
y
Tekislikda nuqta, chiziq, kesma, shuningdek, boshqa geometrik
ob’ektlarni o'rinlarini tasvirlash uchun to‘g‘ri burchakli koordinatalar
sistemasi kiritiladi. Buning uchun tekislikda biror 0 nuqtada kesishuvchi
o‘zaro perpendikular ikkita o‘qni olamiz.
Bu o‘qlarning har birida 0 nuqtadan bosh-
lab kollinear boMmagan 7,j vektorlarni
ajratamiz.(34-chizma.)
1-ta’rif. Musbat yo'nalishlari mos rav-
ishda 7, / vektorlar bilan aniqlanuvchi o‘zaro
perpendikular ikkita o'qdan tashkil topgan
sistema tekislikda to‘g‘ri burchakli koordi
natalar sistemasi deyiladi va R = {0,
7,
]}
ko'rinishda belgilanadi.
o
nuqta koordina
talar boshi,
7,j
birlik vektorlar esa koordi-
nata vektorlari deyiladi. T a’rifga asosan,
i,j
vektorlar ortogonal va
birlik vektorlardir: |; | = |./| = *; ^J-7- Musbat yo'nalishlari
7,j
vek
torlar bilan aniqlangan o‘qlar mos ravishda abssissalar va ordinatalar
o‘qlari deb ataladi.
Tekislikda R =
{0,i,j}
koordinata sistemasi berilgan bo'lsin. Shu
tekislikning A nuqtasi uchun OA vektor A nuqtaning radius—vektori
deyiladi. O A vektor uchun quyidagi munosabatni yozish mumkin:
Do'stlaringiz bilan baham: | 
