A nuqta keyin B

Isbot.  Faraz  qilaylik,  a  va  b  vektorlar o‘zaro  perpendikular bo'lsin, 

u  holda  ular  orasidagi  burchak  90°  ga  teng,  demak  cos(aA 6) = 0 

u  holda

5

 -

 

b

  =| 

à

 | • | 

b

  | 

cos(ô 

A è )

cos(â A ï ) = 0=>5-6 = 0  

demak,  à 

1 b  ^>â-b =0

 

ikkita  à  va  £  vektorlarning  skalyar 

ko'paytmasi  nolga  teng  bo‘lsa,  u  vektorlar  perpendikulardirlar.  Nol 

bo'lmagan  ikkita  5  va  £ vektorlar  skalyar  ko‘paytmasi  nolga  teng 

bo'lishi  uchun  cos(âA 6) 

= 

0  bo‘lishi  kerak,  bu  esa 

(â Ab)

 

burchak 

90°  qiymatni  qabul  qilganda  o‘rinlidir.  Demak, 

3-b 

= 0 = > â  

±b 

Endi  koordinatalari  bilan berilgan  vektorlarning skalyar ko‘paytmasini 

qaraymiz. 

3 = {xa,y a,za\  va  b  = { x h,y h,z h}  vektorlar  koordinatalari 

bilan  berilgan  bo'lsin.

U  

holda 

5 

va 

£ 

vektorlar, 

â - x j + y j  

+ 

zak

 

va 

b = x j  + y j  

+ 

zhk

 

yoyilmalarga  ega  bo‘ladi. 

Skalyar  ko'paytmaning

xossalaridan  foydalanib,  à  va  j  vektorlarni  skalyar  ko‘paytiramiz:

_ 

_ 

_ 

—> 

— 

___ 

_  _

5-b= (xai  + y j  + zak)- (xhi  + y j  + zhk = xaxhii  + xaiy j+

_ 

—► 

—» 

—»  _ 

_ _  

_  _ 

__

+ y j x hi  + y ayhjj

  + x .  

i zhk + y a j z hk + zukxhi + zakyhj + zazhkk. 

Ta’rifga  ko'ra:

7 2  =  1  ; 

j

2  =  1  ; 

k

2

  =  1;  /  • 

j  = j  -k = k- j  = j

 • / 

=i -k=k-j =

 0.

U   holda

â- b=xaxh+ y ayh + zazh.

 

(6)

Demak,  koordinatalari  bilan  berilgan  ikki  vektomi skalyar ko'paytmasi 

bu  vektorlar  mos  koordinatlari  ko‘paytmalarining  yig‘indisiga  teng. 

■Koordinatalari  bilan  berilgan 

â 

= 

{xa,ya,za}

 

vektor uchun 

à -à

 

skalyar 

ko'paytmani  topaylik. 

à

 

ni 

â = x l + y j + z k

 

ko‘rinishda  yozib 

olamiz.

5 ■

 a = ( x j  + y j  + z ak ) ( x j   + y j  + zak )

(6)  tenglikka  asosan

â-5 = x„x,, + yaya + z aza.

M a ’lumki,

|*|  =  

'f e r a   - y fâ 2  =  yjx2

a  +  y ]

  +  

z

] . 

(

7

)

77

---

Bu  esa  koordinatalari  bilan  berilgan  vektoming  uzunligi  uning 

koordinatlari kvadratlarining yig'indisidan olingan arifmetik kvadrat  ildizga 

teng  ekanligini  ko'rsatadi.  (7)  formuladan  foydalanib  ikki  nuqta  orasi- 

dagi  masofani  topish  mumkin.  A (x l;y l;z x)  va  B{x2\y2\z2)  nuqtalar 

berilgan  bo'lsin.  U   holda

bo'ladi,  bunda  p (A ;B )  -  A  va  B   nuqtalar  orasidagi  masofa.

Skalyar  ko'paytmadan  foydalanib  ikki  vektor  orasidagi  burchakni, 

vektorlaming  o'qdagi  proyeksiyalarini  hisoblash  mumkin.  Ikki  vektor  3