Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк



Download 1,62 Mb.
Pdf ko'rish
bet92/96
Sana24.02.2022
Hajmi1,62 Mb.
#216197
TuriУчебное пособие
1   ...   88   89   90   91   92   93   94   95   96
Bog'liq
Аюпов В.В. Математическое моделирование технических систем


Разделяя здесь переменные, будем иметь: 

.
(11.16) 
Так как 

,
то 

Подставляя этот результат в уравнение (11.16), получаем: 

.
(11.17) 
Чтобы проинтегрировать уравнение (11.17), нужно 
найти квадратуру левой части. Для этого перейдѐм от пере-
менной φ к новой переменнойα, полагая: 
,
(11.18) 
где 
.
Тогда 

откуда 




225 
Кроме того, 

Подставляя все эти величины в уравнение (11.17) и заменяя ω 
его значением (11.3), получим: 


.
(11.19) 
По принятым начальным условиям (11.15) при t=0 угол 
φ=0, а, следовательно, как видно из (11.18), и α=0. Тогда, бе-
ря от обеих частей уравнения (11.19) определѐнные интегра-
лы справа от 0 до t, а слева от 0 до α, получим закон движе-
ния маятника в виде 



.
(11.20) 
Интеграл, стоящий в левой части равенства (11.20), 
представляет собой эллиптический интеграл первого рода
Величина k называется модулем эллиптического интеграла. 
Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е. 



(11.21) 
Если в равенстве (11.21) рассматривать верхний предел 
a как функцию от интеграла u, то такая функция носит назва-
ние амплитуды u и обозначается так: 
, или . 
(11.22) 
Беря от обеих частей равенства (11.22) синус, мы полу-
чим: 
.
(11.23) 
Функция snu (синус-амплитуда u) представляет собой 
так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, 
согласно уравнению (11.20), u=

, то, переходя в равенстве 


226 
(11.23) от α к φ с помощью формулы (11.18), найдѐм закон 
движения маятника, выраженный эллиптическую функцию 
sn, в виде 

.
(11.24) 
11.1.4. Период колебаний математического маятника в 
общем случае 
Найдѐм период T колебания маятника. Из положения
φ = 0 в положение φ = φ
0
маятник приходит за четверть пери-
ода. Так как, согласно равенству (11.18), при φ = 0 и 
= 0, а 
при φ = φ
0
величина
, то из уравнения (11.20) имеем: 




(11.25) 
Таким образом, определение периода колебаний маят-
ника сводится к вычислению величины 


(
) ,
(11.26) 
представляющий собой четверть периода эллиптического ин-
теграла (11.21). 
Известно (формула Валлиса), что 


(11.27) 
Разлагая в выражении (11.26) подынтегральную функ-
цию в ряд, получим: 


Тогда, используя формулу (11.27), будем иметь: 


[ (
)
]
(11.28) 
Подставляя это значение K в равенство (11.25) и учитывая, что 


227 
, получим для периода колебаний плоского матема-
тического маятника выражение 
T=2
𝜋√
[ (
)
]. (11.29) 
Следовательно, чем больше φ
0
(угол размаха), тем 
больше период колебания маятника. Таким образом, матема-
тический маятник свойством изохронности не обладает. Если 
при малых размерах ограничиться в формуле (11.29) только 
двумя первыми членами, то, полагая
, получим 
приближѐнное выражение периода 
T
2𝜋√
.
(11.30) 
Таким образом, получено уравнение простого гармони-
ческого колебания, закон движения для малых колебаний, за-
кон движения маятника через эллиптическую функцию, а 
также выражение для периода колебаний маятника. 

Download 1,62 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   88   89   90   91   92   93   94   95   96




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish