Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

 
VI-BOB. UZLUKSIZ KASRLAR VA ULARNING TADBIQLARI 
 
1 -§. Chekli uzluksiz kasrlar. 
 
Agar  
 
 
 qisqarmas (to‘g‘ri yoki noto‘g‘ri) oddiy kasr berilgan bo‘lsa, uni Evklid 
algoritmi yordamida  
0
1
2
1
                  
1
         
1
                
n
a
q
b
q
q
q





       (1)
 
                                                            
 
ko‘rinishida  ifodalash  mumkin  (I.2-  paragrafga  qarang).  (1)  ga   
à
b
-  ratsional 
sonining chеkli Uzluksiz (zanjirli) kasrga yoyilmasi dеyiladi. Bunda 
 
 
  butun son, 
 
 
   
 
       
 
  lar  natural  sonlar, 
 
 
  larga  chala  bo‘linmalar  ham  deyiladi.  (1)  yozuv 
o‘rniga 
 
 
    
 
   
 
   
 
       
 
                                                                               
qisqa yozuv ham ishlatiladi. Agarda biz q
n
>1, bo‘lishini talab qilsak (2) yagonadir. 
Aks holda yagona bo‘lmaydi, chunki    


1
1
1



n
n
q
q
. 
To‘g‘ri  musbat  kasrni  uzluksiz  kasrga  yoysak, 
 
 
     bo‘ladi.  Agarda  manfiy 
kasrni  uzluksiz  kasrga  yoysak,  birinchi  elеmеnti 
 
 
     bo‘ladi,  chunki  manfiy 
sonning butun qismi manfiy, kasr qismi esa hamma vaqt musbat sondir. 
Shuningdеk,  har  qanday  butun  sonni  m=(m)  bir  elеmеntli  uzluksiz  kasr  dеb,  har 
qanday
m
1
ko‘rinishdagi tog‘ri kasrni esa 


m
m
,
0
1

dеb qarash mumkin. 
Uzluksiz  kasrlarning  tatbiqlarida  munosib  kasrlar  dеb  ataluvchi  ushbu  
0
0
1
0
2
0
0
1
1
1
2
1
1
1
,
,
,
,
1
         
1
                  
n
n
q
q
q
q
q
q
q
q
q














 
yoki 
 
 
   
 
       
 
    
 
   
 
          
 
    
 
   
 
 
 
 
  
      
 
    
 
   
 
   
 
 
     
 
  

---

 
 
62 
 
 kasrlar muhim hamiyatga ega.    Tushunarliki.  
 
 
    
 
   
 
   
 
       
 
   
 
 
  
k

 ga odatda k-tartibli munosib kasr dеyiladi. Endi 
k
k
k
Q
P


 deb olsak, uning surat 
va maxrajini hisoblsh uchun quyidagi  rekurent formula 
{
 
 
   
   
 
 
   
   
 
 
   
   
 
 
   
   
                    
 
o‘rinli. Bunda 
 
  
        
  
         
  
        
  
     deb olinadi.  Munosib 
kasrlarni hisoblashda quyidagi javdal ancha qulay 
 
Munosib kasrlar va  berilgan 
 
 
  kasr orasida quyidagi munosabatlar o‘rinli: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
 
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
Bu yerdan ko‘rinadiki, 
 
 
  kasr doimo  ikkita qo‘shni munosib kasr orasida 
joylashgan bo‘ladi. Bunda munosib kasrlarning tartibi o‘sishi bilan ular orasidagi 
interval kichrayib boradi. 
 
 
  kasrni 
 
 
 
 
  munosib kasr bilan almashtirishdan hosil 
bo‘ladigan  xatolikni baholash uchun 
|
 
 
 
 
 
 
 
|  
 
 
 
 
   
 
munosabatdan foydalanamiz. 
 
348.  Berilgan kasrlarni uzluksiz kasrga yoying: