Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

332.  Berilgan  modul  bo‘yicha  indekslarning  bir  sistemasidan  ikkinchi  bir 
sistemasiga o‘tish formulasini keltirib chiqaring. 
333. 
  ning qanday butun qiymatlarida quyidagi munosabatlar o‘rinli: 
     
 
    ⋮            
 
     ⋮               
 
     ⋮     
 
3-§.  Taqqoslamalar  nazariyasining ba’zi tadbiqlari 
 
1.Berilgan songa bo’lishdan chiqqan qoldiqni hisoblash. Taqqoslamalar 
yordamida bo’linish belgilarini keltirib chiqarish. 
A. Birinchi bo‘lib fransuz matematigi B. Paskal berilgan N sonini  m ga bo‘lishdan 
chiqqan qoldiqni hisoblash qulay bo‘ladigan qilib boshqa son bilan almashtirishning 
umumiy  usulini  ko‘rsatgan.  Biz  bu  usulni  o‘nlik  sanoq  sistemasida  berilgan  sonlar 
uchun qarab chiqamiz. Onlik sistemadagi 
  soni      
 
   
 
        
 
    
 
     
  
 
    
 
  ko‘rinishda  bo‘lsin.   
  
 
  ning 
   moduli  bo‘yicha  absolyut  qiymati 
jihatidan eng kichik chegirmasini 
 
 
 bilan belgilaylik, ya‘ni 
  
 
   
 
           
           va  
 
    bo‘lsin. U holda 
     
 
 
 
   
 
   
 
   
 
   
 
       
 
   
 
                                       (1) 
yoki  
     
 
       
bajariladi.  Bu  yerda 
 
 
   
 
 
 
   
 
   
 
   
 
   
 
       
 
   
 
  yuqorida  aytib 
o‘tilgan  almashtirishni  ifodalaydi.  (1)-taqqoslama  Paskalning  bo‘linish  belgisini 
ifodalaydi: 
     
 
 va  
  ni m ga bo‘lishdan bir xil qoldiq qoladi; 
       ning m ga bo‘linishi uchun  
 
 ning m ga bo‘linishi zarur va yetarlidir. 
Endi ba‘zi bir xususiy hollarni qaraymiz: 
1).  Agar 
       bo‘lsa,  u  holda               va    
 
           bo‘lgani 
uchun 
 
 
   
 
   
 
   
 
       
 
    bo‘ladi.    Bundan  berilgan  sonning  3  ga 
bo‘linishi uchun uni tashkil etuvchi raqamlarining yig‘indisining 3 ga bo‘linishi zarur 
va yetarli degan tasdiq kelib chiqadi. 
2).  Shuningdek,  agar 
       bo‘lsa,  u  holda                   
 
          
bo‘lgani  uchun 
 
 
   
 
   
 
   
 
       
 
  bo‘ladi.    Bundan  berilgan  sonning  9 

---

 
 
56 
 
ga  bo‘linishi  uchun  uni  tashkil  etuvchi  raqamlarining  yig‘indisining  9  ga  bo‘linishi 
zarur va yetarli degan tasdiq kelib chiqadi. 
3).  Agar 
        bo‘lsa,  u  holda                       
 
      
 
        
bo‘lgani  uchun 
 
  
    
 
   
 
          
 
   
 
       bo‘ladi.    Bundan  berilgan 
sonning  11  ga  bo‘linishi  uchun  uni  tashkil  etuvchi  juft  o‘rindagi  raqamlari 
yig‘indisidan  toq  o‘rindagi  raqamlarini  yig`indisining    ayirmasi  11    ga  bo‘linishi 
zarur va yetarli degan tasdiq kelib chiqadi. 
4). Agar 
      bo‘lsa, u holda   
 
                           
 
 
           
 
            
   
 
              
 
              
 
          bo‘lgani uchun  
 
 
  
 
    
 
    
 
     
 
    
 
    
 
    bo‘ladi.  Bu yerda endi ifoda biroz 
murakkab. 
B.  Endi 
    soni     moduli  bo‘yicha     ko‘rsatkichga  qarashli  bo‘lgan  holga 
to‘xtalamiz: bu holda 
  
 
          bo‘lgani uchun  
 
     Shuning uchun ham 
 
 
  dan  boshlab  qoldiqlar  takrorlanadi  va 
 
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
       
   
 
 
   
   
 
   
   
   
 
    bo‘ladi. 3,7,9,11 modullari bo‘yicha 10 soni mos ravishda 
1,  6.  1,  2  ko‘rsatkichlarga  tegishli  bo‘lgani  uchun  bu    modullar  bo‘yicha  qoldiqlar 
mos  ravishda 
 
 
   
 
   
 
   
 
  lardan  boshlab  takrorlanadi.  Buni  biz  yuqoridagi  1)-4)- 
misollarda ko‘rdik.