Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

 
349.  Berilgan chekli uzluksiz kasrlarga mos qisqarmas oddiy kasrni toping: 
                                                                                         
                                                                                        
350. Quyidagi kasrlarni uzluksiz kasrlarga yoyishdan foydalanib qisqartiring: 
   
    
    
           
    
    
       
    
    
        
     
    
 
   
    
      
  
q
i 
 
 
q
0 
q
1 

 
q
k-2 
q
k-1 
q
k 

  q
n 
Р
i 
 
  
    
 
  
     P
0
=q
0 
P
1 

 
P
k-2 
P
k-1 
P
k 

  P
n
 
Q
i 
 
  
    
 
  
     Q
0
=1 
Q
1 

 
Q
k-2 
Q
k-1 
Q
k 

 
Q
n
 

---

 
 
63 
 
351. Tenglamalarni yeching:
                
  
  
                    
            
352.Berilgan kasrlarni uzluksiz kasrga yoying va  uni  
 
 
 
 
  munosib kasr bilan 
almashtirib xatoligini aniqlang hamda almashtirishni taqribiy tenglik yordamida 
xatoligini ko‘rsatgan holda yozing:  
   
  
  
           
   
   
       
   
   
        
    
    
  
353. Berilgan kasrlarni uzluksiz kasrga yoying va  uni 
 
 
 
 
  munosib kasr bilan 
almashtirib xatoligini aniqlang hamda almashtirishni taqribiy tenglik yordamida 
xatoligini ko‘rsatgan holda yozing:  
   
   
   
           
    
    
  
354. Tishlari sonining nisbati  
   
   
 ga teng bo‘lgan ikkita shesterna yordamida tishli 
uzatma  qurish  talab  etiladi.    Tishlari  sonining    berilgan  nisbatini  surat  maxraji  eng 
kichik bo‘lgan va xatoligi 0,001  dan oshmaydigan uzatmani qurish  texnik jihatidan 
mumkinmi?  
355.  
             uzluksiz kasrni 2 ga bo‘lishdan hosil bo‘lgan bo‘linmani toping.  
356.  
                uzluksiz kasrni 2 ga bo‘lishdan hosil bo‘lgan bo‘linmani 
toping. 
357. Tenglikni isbotlang: 
(
 
   
 
 
   )   (   
 
   
 
   
)   (
 
   
 
 
   ) (   
 
   
 
   
)  
358. Agar 
 
 
 va 
 
 
 lar  
 
 
   
 
       
 
    uzluksiz kasrning munosib kasrlarining 
elementlari bo‘lib, 
      bo‘lsa, 
 
 
 
   
    
 
   
   
     
 
     
 
 
 
   
    
 
   
   
     
 
  
ekanligini ko‘rsating. 
359. 
 
 
 
   
   
 
 
 
   
 larning qisqarmas kasr ekanligini isbotlang. 
360. Isbotlang: 
(           
⏟      
   
)  
(    √ )
   
  (    √ )
   
(    √ )
 
  (    √ )
 
 
361. 
 
 
 
   
   
 
 
   
      
   
 munosabatdan foydalanib, ikki noma‘lumli 
birinchi darajali aniqmas tenglamalarni yechish usulini bayon qiling.  
362. 361- misolda bayon qilingan usuldan foydalanib quyidagi tenglamalarni 
yeching: 
                                                          
                                                                     

---

 
 
64 
 
363. Agar 
  natural son bo‘lsa, 
 
 
   
 
  
 
 
   
  ning qisqarmas kasr ekanligini isbotlang. 
364. Simmetrik uzluksiz kasr 
  
 
   
 
   
   
   
 
      lar uchun   
   
   
 
  
munosabatning o‘rinli ekanligini isbotlang. 
365. Agar 
      bo‘lsa,  
 
   
   
 
 ekanligini isbotlang.  
366.  
 
 
 
   
   
 
 
   
      
 
 munosabatdan foydalanib, 
              
taqqoslamaning 
             bo‘lgandagi yechimini topish uchun formula keltirib 
chiqaring.   
367. 366- misolda bayon qilingan usuldan foydalanib quyidagi taqqoslamalarni 
yeching:  
                                            
 
2 -§. Chеksiz uzliksiz kasrlarning yaqinlashuvchanligi. 
 
Munosib kasrlar quyidagi xossalarga ega: 
 
1
0
.   
 
 
 
 
 
 
   
 
   
 
    
   
 
 
 
   
   yoki 
1
1
1
( 1)
.
k
k
ê
k
k
k
РQ
P Q



 

 
 
Bu yеrdan 
k
k
P
Q
qisqarmas kasr dеgan xulosaga kеlamiz, chunki         (Р
k
, Q
k
)=1. 
2
0
. Munosib kasrlarning tartibining o‘sib borishi bilan ularning juft tartiblilari 
o‘sadi, toq tartiblilari esa kamayadi. Bunda har bir juft tartibli munosib kasr ixtiyoriy 
toq tartibli munosib kasrdan kichik bo‘ladi. 
3
0
.     
      
 
   
 
       
 
   
   
   
 
 
 
   
  
   
 
 
 
   
  
   
                   
   
 
  
   
   
   
          
4
0
. 
      
 
   
 
       
 
        irratsional soni uchun  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
               
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 va  
       
   
 
 
 
 
 
munosabatlar  o‘rinli. 
 
 
 
 
   munosib  kasr       haqiqiy  soni  uchun  eng  yaxshi 
ratsional yaqinlashish bo‘ladi, ya‘ni maxraji 
     
 
 shartni qanoatlantiruvchi birorta 
ham  
 
 
  ratsional kasr 
    haqiqiy soniga  
 
 
 
 
  munosib kasrga qaragan yaqin bo‘la 
olmaydi.   
 
 
 
 
 kasr       haqiqiy  soniga   
 
 
 
 
   
    aniqlik  bilan  yaqinlashadi.   
    
haqiqiy  soniga  berilgan 
   aniqlik  bilan  yaqinlashadigan  munosib  kasrni  aniqlash 

---

 
 
65 
 
uchun 
 
 
  √
 
 
  bajariladigan qilib olish kerak bo‘ladi. Shuni ham ta‘kidlash kerakki, 
bunday aniqlikni kichikiroq tartibli munosib kasrlar ham ta‘minlashi mumkin. 
368. Quyidagi sonlarni 4-tartibli munosib kasrlar bilan almashtiring  va buning 
natijasida hosil bo‘ladigan xatolikni baholang:  
     
   
   
                           
     √ 
 
           
    √ 
 
 
   
    √ 
 
        
     √ 
 
  
369.   
    
   
   sonini  imkoni  boricha  kichik  maxrajli  munosib  kasr  bilan 
almashtiringki,  bunda xatolik  0,0001  dan katta bo‘lmasin.  
370.  Berilgan sonlarga 0,001 gacha aniqlikdagi eng yaxshi yaqinlashishni toping: 
    √            √          √         √    
371. Berilgan tenglamalarning ildizlariga 0,0001 gacha aniqlikdagi eng yaxshi 
yaqinlashishni toping:  
     
 
             
     
 
                   
                         
 
             
      
 
              
372. Avvalo  
 
 
 
 
     
 
 
  
   
 
 
  
   
  larning  ikkalasi ham α ning bir tomonida yotishiga 
ishonch  hosil  qiling  va 
|   
 
 
 
 
|  
 
 
 
  
 
  
   
 
  tengsizlikning  o‘rinli  ekanligini 
isbotlang. 
373.  Agar 
 
 
  chala bo‘linma bir necha birlikga ortsa   -tartibli  munosib kasr 
ortadimi yoki kamayadimi? 
374. 
       bo‘lsa,  quyidagi  tengsizliklardan  hech  bo‘lmasa  birtasining  o‘rinli 
ekanligini isbotlang: 
|   
 
 
 
 
|  
 
  
 
 
    yoki    
|   
 
   
 
   
|