Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

 
389. 1). Chunki berilgan  
 
 
   √  
 
        tenglamaning ildizlari  
  
 
   √  
 
    ( 
 
   √  
 
   )     
 
    
 
    
 
   
 
    
 
     
  
 
   
 
    
 
    
 
         tenglamaning  ildizi  bo‘ladi.  Oxirgi  tenglama  esa 
butun koeffitsientli  tenglamadir.  
 
2).  Chunki berilgan  
 
 
               tenglamaning ildizlari  
  
 
             
 
                
 
     
 
    
 
   
 
     
 
       
  
 
       
 
     
 
           tenglamaning  ildizi  bo‘ladi.  Oxirgi  tenglama  esa 
butun koeffitsiyentli  tenglamadir.  
  390.  Buning  uchun  berilgan  tenglamaning  chap  tomonidagi  ko‘phadning 
ratsional  sonlar  maydonida  keltirilmaydigan  ko‘phad  ekanligini  ko‘rsatish  yetarli. 
Buni  ko‘rsatish  uchun  Eyzenshteyin  alomatidan  foydalanamiz.  Unga  ko‘ra  butun 
koeffitsiyentli 
        
 
 
 
   
   
 
   
       
 
     
 
  ko‘phadning  ratsional 
sonlar  maydonida  keltirilmaydigan  bo‘lishi  uchun  ko‘phadning  bosh  hadining 
koeffitsiyentidan  boshqa  barcha  hadlarning  koeffitsiyentlari  biror 
   tub  soniga 
bo‘linib, ozod hadi 
 
 
 esa 
  ga bo‘lingani holda  
 
ga bo‘linmasligi kerak. 
1). 
 
 
    
 
              tenglamaning  chap  tomonidagi         
 
    
 
 
        ko‘phad  ratsional  sonlar  maydonida  keltirilmaydigan  ko‘phad,  chunki  bu 
ko‘phadning  bosh  hadining  koeffitsiyentidan  boshqa  barcha  hadlarning 
koeffitsiyentlari   
          lar   tub soniga bo‘linib, ozod hadi   esa   ga bo‘lingani 
holda 
     
 
    ga bo‘linmaydi.  
2). 
  
 
    
 
    
 
         tenglamaning  chap  tomonidagi           
 
 
  
 
    
 
      ko‘phad  ratsional  sonlar  maydonida  keltirilmaydigan  ko‘phad, 
chunki  bu  ko‘phadning  bosh  hadining  koeffitsiyentidan  boshqa  barcha  hadlarning 
koeffitsiyentlari   
                  lar   tub soniga bo‘linib, ozod hadi     esa   ga 
bo‘lingani holda 
 
 
    ga bo‘linmaydi. 

---

 
 
308 
 
3). 
 
 
    
 
               tenglamaning chap tomonidagi         
 
    
 
 
          ko‘phad ratsional sonlar  maydonida keltirilmaydigan ko‘phad, chunki bu 
ko‘phadning  bosh  hadining  koeffitsiyentidan  boshqa  barcha  hadlarning 
koeffitsiyentlari   
                  lar    tub  soniga  bo‘linib,  ozod  hadi      esa    ga 
bo‘lingani holda 
 
 
     ga bo‘linmaydi. 
 
4). 
 
 
    
 
              tenglamaning  chap  tomonidagi          
 
 
  
 
          ko‘phad ratsional sonlar maydonida keltirilmaydigan ko‘phad, chunki 
bu  ko‘phadning  bosh  hadining  koeffitsiyentidan  boshqa  barcha  hadlarning 
koeffitsiyentlari   
                    lar    tub  soniga  bo‘linib,  ozod  hadi     esa    ga 
bo‘lingani holda 
 
 
    ga bo‘linmaydi. 
  391.  Nazariy  qismda  keltilgan  Liuvill  teoremasining  natijasidan  foydalanamiz. 
Unga  ko‘ra  quyidagi  shartlarni  qanoatlantiruvchi  har  bir  cheksiz  uzluksiz  kasr 
      
 
   
 
   
 
      transendent son bo‘ladi. Bu shartlar  
 
    
   
 
   
            
           va  
 
 lar 
                   ixtiyoriy sonlar bo‘lishi kerak. Agar biz       va  
 
 
      
 
     deb  olsak     
 
    
 
 
 
    
 
 
 
   
 
 
 
      dan     
 
     ni  hosil 
qilamiz. 
 
 
    
 
 
 
    
 
 
 
   
 
 
 
    
 
        dan     
 
        ni  hosil 
qilamiz. Shunday mulohazani davom ettirib  
                         sonni  hosil  qilamiz.  Bu  son  Liuvill  teoremasining 
natijasiga asosan trantsendent son bo‘ladi. 
  392.    Berilgan 
   Liuvil  sonining  trantsendent  ekanligini  ko‘rsatish  uchun  
Liuvill  teoremasining  natijasining  shartlarining  bajarilishini  ko‘rsatamiz.  Liuvill 
teoremasining natijasiga ko‘ra agar α  haqiqiy son bo‘lib, ixtiyoriy, natural son 
      
va ixtiyoriy haqiqiy son 
      uchun  hech bo‘lmasa birorta ratsional kasr 
 
 
  (
 
 
   ) 
mavjud bo‘lib 
|   
 
 
|  
 
 
 
 shart bajarilsa,  
  trantsendent son bo‘ladi. 
Ushbu 
   
 
  
  
 
 
  
  
     
 
  
  
 
 
  
  
  ratsional sonini qaraymiz. U holda  
       
 
  
      
 
 
  
      
       
 
  
      
(   
 
 
 
 
 
 
    )  
 
  
      
    bo‘ladi  va 
       da                Shunday  qilib, 
 
  
      
 
 
   
  
 
 
    bo‘lganda   
       
 
   
  
 
 
 
bajariladi.