Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

393.  A.O.Gelfond  teoremasiga  asosanagar 
   soni  0  va  1ga  teng  bo‘lmagan 
algebraik  son, 
   esa  darajasi  2  dan  kichik  bo‘lmagan  algebraik  (irratsional)  son 
bo‘lsa, 
 
 
 soni trantsendent son bo‘ladi. 
1).  Agar 
       algebraik  irratsional  son    bo‘lsa,    Gelfond  teoremasiga 
asosan
   
   
     soni    trantsendent  son  bo‘lishi  kerak  edi.  Lekin  bu  son  algebraik 
son. Demak, 
      trantsendent son  

---

 
 
309 
 
2).  Agar 
   
 
      algebraik  irratsional  son    bo‘lsa,    Gelfond  teoremasiga 
asosan
  
   
 
  
     soni  trantsendent son bo‘lishi kerak edi. Lekin bu son algebraik 
son. Demak, 
   
 
     trantsendent son  
 
3). Agar 
      algebraik irratsional son  bo‘lsa,  Lindeman teoremasiga ko‘ra 
teoremasiga  asosan 
     
 
    tenglamada 
              dan boshqa hollarda   va   
sonlari bir vaqtda algebraic son bo‘la olmaydi. Bizning misolimizda 
 
   
   , ya‘ni 
      algebraik son. Demak,          trantsendent son  
4).  Agar 
 
√ 
  sonining    trantsendent  son    ekanligini  ko‘rsatish  uchun  Gelfond 
teoremasida  
      va     √  deb olish olish kifoya.   
5).  Agar 
 
√ 
  sonining    trantsendent  son    ekanligini  ko‘rsatish  uchun  Gelfond 
teoremasida  
      va     √  deb olish olish kifoya.   
6).  Agar 
 
 √ 
  sonining    trantsendent  son    ekanligini  ko‘rsatish  uchun  Gelfond 
teoremasida   
      va      √   deb  olish  olish  kifoya.  Chunki     
 
           
 
 
       ya‘ni   ikkinchi darajali algebraik irratsionalikdan iborat.  
7).  Agar 
 
   
  sonining    trantsendent  son    ekanligini  ko‘rsatish  uchun  Gelfond 
teoremasida   
      va           deb olish olish kifoya. Chunki         
 
      
           
 
          
 
               ya‘ni     ikkinchi  darajali   
 
          
  tenglamning ildizi .  
8).  Agar 
 
   √ 
  sonining    trantsendent  son    ekanligini  ko‘rsatish  uchun  Gelfond 
teoremasida  
      va          √  deb olish olish kifoya. Chunki        algebraik 
son, 
         √   esa           
 
                  
 
          
 
             
tenglamaning,  ya‘ni 
  ikkinchi darajali  
 
             tenglamning ildizi.