Sonlar nazariyasidan misol va masalalar

Javob: 
                                   
363. Buning uchun berilgan  
 
 
 
 
 
   
 
  
 
 
   
  kasrni uzluksiz kasrlarga yoyib, 
munosib kasrlarini aniqlaymiz. Agar  bunda  
 
 
 
 
 
 
 
 tenglik o‘rinli bo‘lsa, berilgan 
kasr qisqarmas kasr  bo‘ladi.  
 
 
   
 
  
 
 
   
  kasrni  uzluksiz  kasrga  yoyib  munosib  kasrlarini  topamiz.  U  holda 
 
 
    
 
        
 
              
 
        
 
         
 
          
     
 
                                 
Bundan  
 
 
   
 
  
 
 
   
                Endi munosib kasrlarini aniqlaymiz. 
 
 
 
 
 
Bu yerdan  
 
 
 
 
 
 
 
   
 
  
 
 
   
 ni hosil qilamiz.  Demak, berilgan kasr qisqarmas kasr 
ekan. 
 
364. 358-misolga asosan 
 
 
 
   
    
 
   
   
       
 
   Bundan masalaning shartini 
e‘tiborga  olib, 
 
 
 
   
    
 
   
   
       
 
      
 
   
 
       
 
   
 
 
 
 
    ekanligini  hosil 
qilamiz.  
 
 
 
   
 kasr (359-misol) qisqarmas kasr, shuningdek,  
 
 
 
 
  ham qisqarmas kasr 
bo‘lgani uchun oxirgi tenglikdan  
 
   
   
 
 ga ega bo‘lamiz. 
 
365.  Tengsizlikni 
 
 
   
   
 
 
   
   
    
   
  munosabatdan  foydalanib, 
matematik  induksiya  metodi  yordamida  isbotlaymiz. 
        da    yuqoridagi 
munosabatdan   
 
 
   
 
 
 
   
 
    
 
  kelib  chiqadi.  Bunda 
 
 
      
 
    
 
 
 
 
2 
8 
4 
 
 
 
 
 
    
2 
     70 
 
 
 
 
 
      
 
         333 
 
 
 
 
a 
a 
a 
a 
 
 
 
 
 
    
a 
 
 
    
  
 
     
 
 
    
 
    
 
 
 
 
 
      
 
    
a 
 
 
    
  
 
     

---

 
 
280 
 
ekanligini  e`tiborga  olsak,  doimo  bajariladigan   
 
 
   
 
     munosabatga  ega 
bo‘lamiz. 
        da    yuqoridagi  munosabatdan     
 
   
 
 
 
   
 
    
 
  kelib 
chiqadi.  Bunda 
 
 
   
 
   
 
      
 
     ekanligini  e`tiborga  olsak  doimo 
bajariladigan  
 
 
   
 
 
 
        munosabatga ega bo‘lamiz. 
Endi  faraz  qilaylik,  isbotlanishi  talab  etilayotgan  tengsizlik 
 =k  uchun  o‘rinli 
bo‘lsin,  ya‘ni   
 
 
   
   
 
    bajarilsin.    U  holda   
 =k+1    da   
   
   
 
 
  ning 
bajarilishini  ko‘rsatamiz.  Haqiqatan  ham,  induktivlik  farazimizga  asosan 
 
   
 
 
   
 
                 
   
   
 
 
   
   
   
    
   
       
   
 
   
 
 
 
bajariladi. 
Demak,  isbotlanayotgan  munosabat barcha 
 ≥   natural sonlar uchun o‘rinli. 
 
366. 
 
 
 
   
   
   
 
 
      
 
  tenglikdan  foydalanib, 
             
            taqqoslamani  yechich  uchun 
 
 
 
 
 
 
 
  ekanligidan  foydalanamiz.    Bunda 
(
 
 
   
 
       bo‘lganidan   
 
      
 
     kelib  chiqadi.  Bundan  foydalanib, 
yuqoridagi tenglikni quyidagicha yozish mumkin:  
  
   
    
   
      
 
    
   
      
   
    
   
     
   
  
      
   
       
   
             
   
 
   
  
            
   
 
   
    
Oxirgi  tenglikdan  taqqoslamaga  o‘tsak,   
      
   
 
   
              hosil 
bo‘ladi.  Bundan  va  berilgan  taqqoslamadan
                        
   
 
   
        
kelib chiqadi. Javob:
          
   
 
   
         
367.  1). 
   
  
  kasrni  uzluksiz  kasrlarga  yoyib   
          munosib  kasrning  surati 
 
   
  ni  topamiz.  U  holda 
                                                   
                                     
  Bundan  
   
  
                   Endi munosib kasrlarini aniqlaymiz. 
 
 
 
 
Bu 
yerdan 
 
        
   
   
 
      
bo‘lgani 
366-misoldagi 
         
   
 
   
        
formuladan
                           
                                                            
ni hosil qilamiz. 
 Javob: 
                 
2). 
   
  
 kasrni uzluksiz kasrlarga yoyib  
         munosib kasrning surati  
   
 ni 
topamiz.  U  holda 
                                                             
                                            
 
 
 
 
 
3 
4 
7 
1 
2 
 
 
 
 
 
    
3 
13 
94 
      308 

---

 
 
281 
 
 Bundan  
   
  
                      Endi munosib kasrlarini aniqlaymiz. 
 
 
 
Bu yerdan  
        
   
   
 
      bo‘lgani 366-misoldagi 
         
   
 
   
        formuladan                          
                             ni hosil qilamiz.  
 Javob: 
                 
 
VI.2 -§. 
 
368. 1). 
   
   
   
  sonini   
 
 
 
 
 munosib kasr bilan almashtirib, uning natijasida hosil  
bo‘ladigan xatolikni baholashimiz talab etilayapti. Buning uchun, avvalo  
   
   
 ni 
uzluksiz kasrlarga yoyib munosib kasrlarini topamiz: 
                            
                                                                      Demak 
   
   
                ekan. Endi  
 
 
 
 
  munosib kasrni aniqlaymiz: 
 
 
 
 
  larni topish uchun  
quyidagi jadvalni tuzib olamiz: 
 
 
 
 
 
5 
1 
2 
3 
10 
 
 
 
 
 
    
5 
6 
17 
     587 
 
 
 
 
 
    
 
 
    
1 
3 
     103 
 
Demak, 
 
 
 
 
 
  
  
 va xatolik 
     |     |   |
   
   
 
  
  
|   |
         
    
|  
 
    
 
                va shuning uchun ham 
   
   
 
  
  
                  Bu yerda 
xatolikni 
 –    ishora bilan olamiz, chunki 
 
 
 
 
      Taqqoslash uchun 
   
   
 
              ekanligini ta‘kidlab o‘tamiz. Javob: 
  
  
      
 
    
   
Eslatma: Xatolikni 
    
 
 
 
 
 
( 
 
      
 
 
    
) ko‘rinishda baholash ham 
mumkin. 
 
2). 
             sonini   
 
 
 
 
  munosib kasr bilan  almashtirib, uning natijasida 
hosil  bo‘ladigan  xatolikni  baholashimiz  talab  etilayapti.  Buning  uchun  avvalo  
          ni uzluksiz kasrlarga yoyib munosiob kasrlarini topamiz:              
     
      
                                                             
                                                                         
 
 
 
 
1 
2 
4 
1 
1 
4 
 
 
 
 
 
    
1 
3 
13 
16 
     132 

---

 
 
282 
 
                                                 Demak, 
         
                     ekan. Endi  
 
 
 
 
  munosib kasrni aniqlaymiz: 
 
 
 
 
  larni topish uchun  quyidagi jadvalni tuzib olamiz: 
 
 
 
 
 
3 
7 
15 
1 
25 
7 
4 
 
 
 
 
 
    
3 
22 
333 
      9208 
 
 
 
 
 
 
 
      
 
    
7 
106 
      2931 
 
 
 
Demak, 
 
 
 
 
 
   
   
 va xatolik 
     |     |   |         
   
   
|   |         
          |                      va shuning uchun ham          
   
   
                        Bu yerda xatolikni  –    ishora bilan olamiz, chunki 
 
 
 
 
   . 
 Javob: 
   
   
                 
 
Eslatma: Xatolikni 
    
 
 
 
 
 
( 
 
        
 
 
      
         ) ko‘rinishda 
baholash ham mumkin. 
 
3). 
   
   √ 
 
 sonini   
 
 
 
 
 munosib kasr bilan almashtirib, uning natijasida hosil 
bo‘ladigan xatolikni baholashimiz talab etilayapti. Buning uchun, avvalo  
   √ 
 
   ni 
uzluksiz kasrlarga yoyib munosib kasrlarini topamiz: 
   
   √ 
 
     
 
 
   √ 
     
 
 
 
   bunda 
 
 
 
 
   √ 
 
    √  
 
 
  √ 
 
     
(
  √ 
 
   )      
√   
 
     
 
√   
     
 
  √ 
 
     
 
 
 
   Demak, 
   
   √ 
 
 
                    ekan. Endi  
 
 
 
 
  munosib kasrni aniqlaymiz: 
 
 
 
 
  larni topish uchun  quyidagi jadvalni tuzib olamiz: 
 
 
 
 
0 
1 
1 
1 
1 
1 
… 
 
 
 
 
 
    
0 
1 
1 
   
3 
5 
… 
 
 
 
 
 
      
 
    
1 
2 
   
5 
8 
… 
  
 Demak,  
 
 
 
 
 
 
 
  va xatolik  
     |     |   |
   √ 
 
 
 
 
|   |            
          |                va shuning uchun ham
   √ 
 
 
 
 
         
            Bu yerda xatolikni  –    ishora bilan olamiz, chunki 
 
 
 
 
   .  

---

 
 
283