O’rta osiyoda matematika rivoji tarixidan 5-mashG’ulot. Al-xorazmiy va uning matematik merosi

x

x

x

x











  kabi  ikkihad  va 

birhadlarni ko’paytirish,  

x

x

x

x

x

x

30

3

50

)

2

10

50

(

)

20

100

(!

2

2

2

















 

kabi 

yig’indi  va  ayirmalarning  o’xshash  hadlarini  ixchamlash  yoki 

x

x

x

x

4

1

2

1

,

9

3





 kabi ko’paytuvchilarni kvadrat ildiz ostiga kirtish yoki 

ularni 

9

9

3



kabi  kvadrat  ildiz  ostidan  chiqarish, 

50

10

5





  kabi  ildizlarni 

ko’paytirish  va  h.k.  amallarni  ko’radi.  Qo’shish  va  ayirish  amallarini  Xorazmiy 

kesmalar misolida ko’rsatib u bir jinslilik bo’lishini talab qiladi. 

Xorazmiy  irrasionallik  tushunchasinin    ishllatgan  bo’lsa  ham,  irrasional 

miqdorlar  bilan  ko’p  ish  ko’rmaydi.  U  keltirgan  tenglamalarning  deyarli 

barchasining  koeffisiyentlari  rasional  va  ko’pincha  butun  yechimlarga  egadir. 

Irrasional yechimga ega bo’lgan tenglamalar sanoqli bo’lib, ular

q

x



2

 ko’rinishga 

mansubdir  va  faqat  birgina  to’liq  kvadrat  tenglama 

2

)

10

(

10

x

x





,  ya’ni 

x

x

30

100

2





 ko’rsatilgan bo’lib, uning yechimi 

5

5

15





x

 keltirilmagan. 

   Algebraik hisob haqidagi boshlang’ich ma’lumotlardan keltirilgan boblardan 

keyin  yuqorida  ko’rilgan  6  ta  kanonik  ko’rinishdagi  tenglamalar  uchun  sonli 

misollar  keltiriladi.  Bulardan  to’rttasida  10  ni  turli  shartlarga  ko’ra  ikki  qismga 

ajratish masalasi ko’riladi. U tenglamalarning avvalgi uchtasi mana bulardir: 

2

)

10

(

4

x

x

x





, ya’ni 

x

x

40

5

2



 

---

2

2

10

9

7

2



x

, ya’ni 

100

9

25

2



x

 

4

10





x

x

, ya’ni 

10

5



x

. 

Keyingi  bobda  har  xil  masalalar  ko’riladi.  Bu  masalalar  sistemalarni 

yechishga  bag’ishlangan  bo’lib,  ularning  birinchi  tenglamalarida  yana  oldingi 

bobning  sharti,  ya’ni 

10





y

x

  qaytariladi,  ularning  ikkinchi  tenglamalari  ushbu 

ko’rinishlarga egadir  

x

y

x

y

x

x

y

y

x

y

x

y

x

y

x

xy

81

,

50

5

5

2

1

,

6

1

2

,

54

)

(

,

40

,

21

2

2

2

2

2



























 

   Xorazmiy ikkinchi noma’lumni kiritmagan bo’lsa ham 

x  va 

x



10

 qismlar 

bilan,  ya’ni  narsa  va narsasiz  o’n bilan  ish  ko’radi.  Xorazmiy  keltirgan  masalalar 

orasida odamlar soni x aniqlanishi kerak bo’lgan masala diqqatga sazovordir: uning 

shartini 

6

1

1

1

1







x

x

  tenglama  bilan  ifodalash  mumkin.  Har  xil  masalalar 

bobidan  keyin  risolaning  geometrik  bo’limi    keladi.  Xorazmiy  algebrasining  bu 

bo’limida  yuza  o’lchash,  qoidalari  va  uchburchaklarga  doir  masalalarga 

geometriyaning  tatbiqi  keltirilgan.  Ayrim  qoidalar,  ta’rif  va  isbotlar  bilan,  yoki 

qisqacha tushuntirish bilan keltirilgan. 

Xorazmiy  yassi  shakllardan  uchburchak,  to’rtburchak  va  doira  bilan  ish 

ko’radi. U uch xil uchburchakni (burchagiga ko’ra) qaraydi. Ularni aniqlash uchun  

katta  tomonining  kvadrati  bilan  qolgan  ikki  tomonlari  kvadratlari  yig’indisi 

orasidagi tegishli tenglik yoki tengsizlikni keltiradi. Pifagor teoremasini Xorazmiy 

xususiy hol teng yonli uchburchak uchun isbotladi. Xorazmiyda to’rtburchaklar besh 

xil  turdan  iborat:  kvadrat,  to’g’ri  to’rtburchak,  romblar,  romboid,  ya’ni 

parallelogramm va turli tomonli to’rtburchaklar. Rombning yuzasi diagonal va bir 

tomoni  bo’yicha  aniqlanadi.  Ixtiyoriy  to’rtburchakning  yuzasi  esa  uni  diagonali 

bilan uchburchaklarga ajratilib hisoblanadi. 

Xorazmiy  keltirgan  masalalarning  ayrimlari  Geronning  masalalariga  mos 

kelib, hatto ulardagi son miqdorlari ham ular bilan bir xil. Masalan, tomoni 10 ga 

teng tomonli uchburchak yuzasini aniqlash, asosi 12 va yon tomoni 10 bo’lgan teng 

yonli  uchburchak  ichiga  kvadrat  yasash,  tomonlari  13,  14,  15  bo’lgan  o’tkir 

burchakli uchburchak yuzasini aniqlash. 

Xorazmiy  to’g’ri  prizma,  silindr,  piramida,  konus  hamda  balandligi  va 

asoslari ma’lum kvadratdan iborat kesik piramidaning hajmlarini topish qoidalarini 

ham keltiradi. Bu keyingi hajmni u ikkita to’liq piramida hajmlarining ayirmasi deb 

qaraydi va avval ularning balandliklarini aniqlaydi. 

Bu  yerda  Geron  asarlariga  yondoshgan  adabiyotlar  bilan  hind  geometrik 

nazariyalari  bilan  tanish  ekanligi  seziladi.  Geometrik  qism  juda  kichik  bo’lsada, 

o’sha davr hunarmandlari uchun zarur bo’lgan juda zarur ma’lumotlarni o’z ichiga 

olgan hamda sodda va ravon til bilan bayon etilgan edi. 

---

Xorazmiy 

algebrasining 

vasiyatnomalariga 

bag’ishlangan  uchinchi 

bo’limidagi masalalarning deyarldi barchasi chiziqli tenglamalar bilan ifodalanadi. 

Bu  bo’limda  keltirilgan  qator  masalalarda  aniqmas  va  ko’pincha  birjinsli 

tenglamalar bilan ish ko’riladi. 

   U  o’z  algebrasida  qanday  manbalarga  asoslanganligi  ma’lum  emas.  Uning 

arifmetikasi  hindlardan  olinganligi  aniq,  lekin  algebrasi  qator  xususiyatlari  bilan 

ajralib turadi. Xorazmiy algebrasida kvadrat tenglamalar yechimini yoki algebraik 

miqdorlar  ustidagi  amallarni  geometrik  asoslash  muhim  o’rin  tutadi,  lekin  hind 

algebrasida bunday hol butunlay uchratilmaydi. Xorazmiy hindlardan farqli ravishda 

manfiy  sonlarni  ham,  simvolikani  ham  ishlatmaydi.  Undan  tashqari,  Xorazmiy 

algebrasi  tenglamalar  ildizlari  uchun  geometrik  yasashlar  mavjudligi  bilan  yunon 

algebrasiga  yaqin  bo’lsada,  umuman  bayon  etilish  usuli  bo’yicha  Yevklidning 

"Negizlari" dan jiddiy farq qiladi. Faqat, 2-kitobi 2 jumlasidagi shakli bilan haqiqiy 

o’xshashlik bo’lib, ularning ikkisi ham ikki son yig’indisi kvadrati  formulasining 

geometrik ifodasidan iborat. 

   Xorazmiy  algebrasining  fan  tarixidagi  roli  nihoyatda  ulkandir. Algebrada  u 

boshlab  bergan  yo’nalishni  keyingi  davr  matematiklari  davom  ettirib,  yuqori 

pog’onalarga  ko’tardilar.  Umar  Hayyom  Xorazmiydan  keyin  u  boshlab  bergan 

algebradagi yo’nalishni davom  ettirib geometrik algebra usulini sharq algebrasiga 

kiritadi  va  tenglamalarning  Xorazmiydan  to’laroq  sinfini  keltiradi.  Xorazmiy 

kanonik  ko’rinishlar  6  ta  bo’lgan  bo’lsa,    u  kubik  tenglamalar  hisobiga  25  taga 

yetkazadi. Jamshid Koshiy esa o’zining 1427 yilda yozilgan "Miftoh al-hisob" nomli 

asarida bu usulni yanada takomillashtiridi. Shu bilan birga Koshiy ijodida Xorazmiy 

boshlab  bergan  Sharq  algebrasi  va  umuman,  matematikasi  o’zining  yuqori 

pog’onasiga ko’tariladi.