Parametrik tenglama bilan berilgan chiziq urinmasi va normali tenglamalari

Egri chiziq urinmasining burchak koeffitsientini topish masalasi

E ndi G egri chiziq biror oraliqda aniqlangan uzluksiz y=f(x) funksiyaning grafigi bo‘lgan holda urinmaning burchak koeffitsientini topaylik. Qaralayotgan f(x) funksiya grafigini ifodolovchi G chiziqqa tegishli M₀ nuqtaning abssissasi x₀, ordinatasi f(x₀) va shu nuqtada urinma mavjud deb faraz qilaylik.

G chiziqda M₀ nuqtadan farqli N(x₀+x, f(x₀+x)) nuqtani olib, M₀N kesuvchi o‘tkazamiz. Uning Ox o‘qi musbat yo‘nalishi bilan tashkil etgan burchagini  bilan belgilaymiz (6-chizma). Ravshanki,  burchak x ga bog‘liq bo‘ladi: =(x) va tg= o‘rinli
6-chizma Urinmaning absisa o‘qining musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchagini  bilan belgilaymiz. Agar /2 bo‘lsa, u holda tg funksiyaning uzluksizligiga ko‘ra k_urinma=tg = , va N nuqtaning M₀ nuqtaga intilishi x yning 0 ga intilishiga teng kuchli ekanligini e’tiborga olsak, k_urinma = tenglikka ega bo‘lamiz.
Shunday qilib, y=f(x) funksiyaning abssissasi x₀ bo‘lgan nuqtasida novertikal urinma o‘tkazish mumkin bo‘lishi uchun shu nuqtada limitning mavjud bo‘lishi zarur va yyetarli, limit esa urinmaning burchak koeffitsientiga teng bo‘lar ekan.


Urinma va normal tenglamalari. Hosilaning geometrik ma’nosi
Yuqorida biz, agar y=f(x) funksiya grafigining M₀(x₀;f(x₀)) nuqtasida urinma o‘tkazish mumkin bo‘lsa, u holda urinmaning burchak koeffitsienti k_urinma= ekanligini ko‘rsatgan edik. Bundan hosilaning geometrik ma’nosi kelib chiqadi:
y =f(x) funksiya grafigiga abssissasi x=x₀ bo‘lgan nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsienti hosilaning shu nuqtadagi qiymatiga teng
7-chizma 8-chizma k_urinma=f’(x₀).
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya x=x₀ nuqtada uzluksiz va f’(x₀)=+ bo‘lsin. U holda funksiya grafigi abssissasi x=x₀ nuqtada vertikal urinmaga ega bo‘lib, unga nisbatan funksiya grafigi 6-chizmada ko‘rsatilgandek joylashadi.
Xuddi shu kabi f’(x₀)=- bo‘lganda ham x=x₀ nuqtada funksiya grafigi vertikal urinmaga ega bo‘ladi, funksiyaning grafigi urinmaga nisbatan 8–rasmda ko‘rsatilgandek joylashadi.
Agar f’(x₀+0)=+ va f’(x₀-0)=- bo‘lsa, u holda funksiya grafigining x=x₀ nuqta atrofida 4-chizmada tasvirlangandek bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshash, f’(x₀+0)=- va f’(x₀-0)=+ bo‘lganda,
funksiya grafigi x=x₀ nuqta atrofida 3–chizmadagidek ko‘rinishda bo‘ladi. Bunday hollarda (x₀,f(x₀)) nuqtada urinma mavjud, ammo hosila mavjud emas.
Agar x=x₀ nuqtada chekli bir tomonli hosilalar mavjud, lekin f’(x₀+0)f’(x₀-0) bo‘lsa, u holda funksiya grafigi 5–chizmadagiga o‘xshash ko‘rinishga ega bo‘ladi. (x₀,f(x₀)) nuqta grafikning sinish nuqtasi bo‘ladi.