P habibullaev

£
  ni  £  bilan aimashtiramiz):
' 
=  
r  
Z 
- n rE r
 
ey-p[~ 
" 
.u n  
)]  _
ч Ф  
i
 
X   :e x p[“'  R (/',  - Ц » 5)] 
p  
Z ■
 
E r
 exrf~ Pfc - H”r)E 
s ' 4
 exp[- Pte - M»,)] = ^
Izoh.  Agar (4)  ifodada 
E
 ni 
n
 bilan  almashtirilsa,  bizga m a’lum  zarralar 
soni  (д я )2  fluktuatsiyasi  olinadi.
c) 
( A E f
  ni  aniqlang.
Y echish.  Bu  masalani  yechish  uchun  (3)  ifodani 
p
  bo'yicha  differen- 
siallavmiz:
( 2)
b) 
AEAn
  ni  aniqlang. 
Yechish. 
E
 uchun  yozilgan
E
 = Z ■
 
E -
 cxPj" f e  
~
 >l/i- )1 
Z 
c x pI '  P (/; -  ”   .u "  )!
(3)
Bundan:
(4)
1 5 6

---

ч Ф л
Z  
r E
i
E
r 
-   ц »   ) е х р [ -   Р(ff 
-
 
[Л»  )]
£   se x p [-  P ( £ s  -   ц п ,)]
+
+
Z   ^
  е х р [~  
f e   -  
ЦЯГ) Е  
s i E s
 
~   И » ,) е х р [ -  
р(Я ,  -  |ЛПУ)]  =
- ^ ) F  
(5)
=  
- Е ( Е
  - ц я )  +   Ё р Г ^ и Т )   =   - [ ( F   -  
Е 2) -   (
е п
  -   Е п)\
 =
=   -|( А £ ’У  -  ц Д £ Д л ]
(4)  va  (5)  ifodadan  quyidagini  olamiz:
г д Е л 
ч 5 Э л
+   ц
дЕ
1 Ф /0
, 
0   =
Р
(
6
)
дЕ
Izoh. 
Berk  sistem a  uchun  (Д
E)~
  =   0"  —   .  “Ossillyatorlar t o ‘p lam i’
50
m odeliga asosan 
E   =  Q  ■
  D em ak,  ( a e ) 2  =   0 2  •  Klassik holda  0  =  
k T
  bu 
holda taqsim ot  funksiya  kanonik taqsim otdan  iborat  boMadi.  Kvant  holda
A 
fl(S) 
.  fid) 
/   \  
i  r
У  =   —  
cth
 
va  bu holda taqsim ot  funksiya 
f \ E )
  =   |i|/|  ,  bunda 
\\i
  —
ossillyatorning  toMqin  fimksiyasidir.
8 -§ .  Ideal  gaz  zarralari  taqsimoti
Faraz qilaylik,  berilgan  ixtiyoriy  К hajmda  ixtiyoriy  /v'sondagi  zarralar 
boMsin.  Shu  zarralar  soni  ehtim ollari  taqsim otini  topaylik.  Ideal  gazning 
um um iy  hajmi 
Vu
  zarralarining  um um iy  soni 
N
0
  boMsin.
Agar bir jinsli  gaz  m uvozanat  holatda  boMsa,  biror ixtiyoriy zarraning
V
  hajmda boMish ehtim oli
V
  da boMish  ehtim oli esa
r v \" 
V
V  о  У
ga teng boMadi.  Bir vaqtda 
N
ta zarraning
ga teng.  Xuddi shuningdek,  biror ixtiyoriy
V
zarraning 
V
  hajmdaboMmaslik ehtim oli 
у
 
g a te n g ,  ^-/V zarralarning
1 5 ?

---

V 
haimda b o ‘lmaslik ehtim oli  esa
/  
\N»-N
f Vn  -
 V'4
ga teng b o ‘ladi.  Shuning
.  
К  
;
uchun 
V
  hajmda  ixtiyoriy 
N
  ta  zarralarning  b o ‘lish  eh tim oli 
W(N) 
quyidagicha aniqlanadi:
w (y v )  ~
,V„- Л' 
,
v
K
m
0
V 
N
Sistem abirjinsli boiganda  у   ~   д
j
  b olad i,  chunki 
nV  =  N  ■
>
  nVu  =  N
0.
*i) 
^  <)
Bularni  e ’tiborga  olib,  quyidagini  yozamiz:
w
{
n
)
IL
I t ,
—  
\ N „ - N
N
  '
(i  /   V 
x v о  /
yV(), 
va  К  lar  uchun 
N t)
  —>  o c, 
—>  °c  va  у   < 
со 
qabul  qilib, 
W(N) 
uchun  quyidagini  olamiz:
W(yv)  = 
c o n stN Ne f'
 
(49)
Norm allash  sharti
dan
ni  topam iz.  Shunday  qilib,
const
W(;V)  =
/V!
N\
(50)
Bu 
W(N)
  ideal  zarralar  taqsim oti  uchun  olingan  P uasson  taqsimotidir.
M a’lum 
N
  uchun,  leknn  uzluksiz  o ‘zgaruvchi  parametr 
N
  uchun 
ehtim ollar  taqsim oti  (50)  ni  yozish  mumkin:
d W { N ) =   w ( N ) d N   =  C \ . N s e s d N
yoki
158

---

d W ( x ) =   л\{х)с1х —  C Nx Ne xd x
 
(51)
N orm alash  shartidan
CN' \x Nr d x   =  C T ( N
  +  l ) =   1
0
CN
  ni  topam iz,
C,v 
T (N   +
  l ) ’ 
^52)
bunda  ГУЛН-I,)  gam m a-funksiya. 
N
  butun  son  bo'lganda 
G ( N + l ) = №  
bo'ladi;  demak,
d W ( N )  =
  - 7 - ^ ----- г 
N Ne vd N
W   r(7V + l)
bunda  w ( A /) -  
^
e
 
—gam m a-taqsim otdir.
M asai alar.
6 .1 2 . 
N
2
  ni  aniqlang.
Y echish.
N
2
  =  f N
2
W { N ) = e x f
 
+  e ,vY  
= N
2
  + N  
,
 n
fa,
 
7
 
fa{N-
 
2
)  
f a ( N
-
1
)
Shunday  qilib,  ideal  gaz  zarralari  soni  kvadratik  fluktuatsiyasi  uch un  
quyidagini  olamiz:
( a
n
J   =  N
 
(2)
6.1 3 . 
M uvozanatli berk sistem a energiyasi qiymatlari taqsim otini aniq­
lang  va
Ц е ) ж   =  
^
f
' e* d E
 
( i ,
ekanligini  isbot qiling.  Bunda  v —  erkinlik darajalari  soni, 
T(v)
 — gam m a- 
funksiya, 
f}~
  =0  erkinlik  darajasnga t o ‘g ‘ri  kelgan  o ‘rtacha  energiya.
1 5 9

---

Yechish. 
n
  va  v  erkinlik  darajalariga  ega  bo'lgan  sistem alarning  ener- 
giyalari 
En,  Ev
  qiymatiari  tekis  taqsimiangan  va 
n  >
  v,  v   <   со  b o ‘lsirt.
M a’lum  bir erkinlik darajasiga  mos  keluvchi  energiya qiym atining (
0,E) 
intervalda  b o‘lish  eh tim oli,  ehtim ollar  taqsim otining  teng  taqsim lanish 
haqidagi  farazimizga  asosan,  interval  uzunligi  E g a   proporsional  b o ‘ladi, 
ma'lum 
v
  ta  erkinlik  darajalariga  m os  keluvchi  energiya  qiym atining 
intervalda  (0 ,£ )  bo'lish  ehtim oli 
P(E J
  esa  ehtim ollar  k o‘paytmasi 
Ev
  ga 
proporsional,  ya’ni
P {E
V)  ~ 
El
 
(2)
Agar 
E
  uzluksiz  o'zgarsa,  m a’lum  erkinlik  darajalariga  m os  energiya 
qiym atlarining 
Ev,
  £   + 
d E v
  intervalda  bo'lish  ehtim oli 
d P ( E )
  uchun 
(2)  ifodaga  asosan,  quyidagini  yozamiz:
dP [E )
  ~ 
E v  idE  
(bunda  va  bundan  keyin  indeks  v  ni  tushirib  qoldiram iz).
Xuddi  yuqoridagidek,  m a’lum  erkinlik darajasiga  mos  kelgan  energiya 
qiym atining 
(0,E)
  da bo'lm aslik  ehtim oli 
(En-E)
 ga proporsional,  m a ’lum 
n-v
 ta erkinlik darajalariga  mos kelgan energiya  qiymati 
(0,E)
 ga b o‘lmaslik 
ehtim oli  esa 
(EI-E)"'V
  ga  proporsionaldir.
Ixtiyoriy  v ta erkinlik darajali sistema energiyasining 
E,  E+dE
 intervalda 
b o ‘lish  ehtim olligi 
dW (E)
  yuqoridagi  ehtim ollar  ko'paytm asadan  iborat, 
ya’ni
d W { E ) ~ ( E y ~ \ E " - E ) " ' d E
 
(3)
Endi  hisoblaymiz:
n
 
—>
  со,  lim
r E
К п Г 6 
(4)
Bu  farazimiz,  m a’lum  m a’noda  Gibbs  ansambliga  ekvivalent,  0  esa 
bir  erkinlik  darajasiga  to ‘g ‘ri  kelgan  o'rtacha  energiya,  y a ’ni  v  erkinlik 
darajasiga  ega  bo'lgan  sistem aning  ichki  energiyasi 
U=v9
  b o ‘ladi.  (4)  ni 
nazarda  tutib,  (3)  ifodani  o ‘zgartirib  yozamiz:
1-
E
  Y 
f .  
E
  Y '’ 
- -
v 
E  
J
\  
a
  /
1 -
E
dE
 = 
n"'vQ"~vE   e
  8 
dE
dW{E)'~Y\mE",;'Ev
n —
yoki
1
d W { E ) =  C r i " W vE'-[e e dE,
 
( 5)
bunda
1 60

---

ekani  hisobga olindi.
N orm alash  shartidan  С  ni  topamiz:
J
d W ( E ) =  C n - VQ'-V j E v  le~0d E  =
  1
0 
0
Bunda
x  
E
 
x
\ E V  "  -  e «  dE = Qv \ x xe xdE
 =  0 T ( v )
0 
0 
ni  bilgan  holda  С ni  aniqlaymiz:
C = l / V v0 'T ( v )
Shunday  qilib,  (5)  ehtim ollik  uchun:
d W ( E ) =   fpv(E )dE  = щ ^ Е Г ' е ЛЧ Е
 
(6)
Bundan isbot  qilinishi lozim  b o‘lgan eh tim ollik  zichligi  (1)  ni,  0  = —
ekanligini  nazarda  tutib,  olam iz. 
^
6 .1 4 . 
A w a lg i  6 . 13-m asalaning  (6)  ifod asid an   quyidaga  Puasson 
taqsim otini  oling:
Y eeh ish . 
Bu masalada energiya 
9
 m a’lum ,  lekin erkinlik darajalari soni 
v  o'zgaradi:
v  =  0 ,1 ,2 ,...
Bu  holda  erkinlik  darajalari  sonining  bir  birlikka  o ‘zgarishi,  energiya 
E 
ning 
9
 ga  o ‘zgarishiga  olib  keladi,  y a ’ni
A £  =  0 ; P A £  =  1 
(2)
(2)  ni  e ’tiborga  olib,  gam m a-taqsim ot  ifodasini
quyidagicha yozam iz:

---

V   U ’  (   \  V  
' 
f№ 
n 
Ф  E J '   -Pfi 
n r
V  =   Z
v
№
pa
-(v ) = X  
m
 
e  
, - Л   c 
= P £
t t  
\'l  ( v )  
,= !  1  ( v )
D em ak,  v = p £ .   Bu  yerda
CO
I »
) =
l
V —1
ekani  nazarda  tutildi.  Shunday  qilib,  (3)  ifoda  Puasson  taqsim oti  (1) 
bilan  bir  xil.
6 .15 .  Quyidagi  ehtim ollik  ifodasi
r   v   ^
 
( »  
dan  (6.13-m asaiadagi  (6)  formulaga  qarang)  berk sistem a  (ya'ni  berilgan 
m a’lum  son)  uchun  taqsimot  funksiyasini  aniqlang.
Yechish.  i ' o ‘lchovli  fazodagi  radiuslari 
E \ ’a E + d E b o ‘\gan
  gipersferalar 
orasidagi  elem entar  hajm 
dYF
  m a’lumki, 
Ev  idE
 ga  proporsional,  y a ’ni
dT,
  ~  
E " d E
G ipersharning  hajmi  Tf  esa
Г 
=  AE"
л 
(2)
b o ‘!adi  yoki  bundan

■
  v A E   dE.
bunda 
A  —
  har  bir  konkret  hoi  uchun  alohida  aniqianadi.
U m um an, 
dTf
  b o‘yicha  integrallash  o'rniga elem entar  giperkublar 
(katakchalar,  “holatlar”)  hajmlari 
dT=dY(p,q),
  bo‘vicha hisoblash mumkin. 
Bu  holda
d r K  = g d T ( p , q ) t
 
(4)
bunda^/Г giperkub  hajmi, 
E
 energiyaii  holatlar  soni  g g a te n g   deb  olindi.
(3)  va  (4)  iarni  nazarga  olib,  (1)  ifodani  qayta  yozamiz:
v   n i   a n i q l a y m i z :

---

yoki
d W ( E ) = f { E ) d n ,
(5)
bunda
f { E ) = Z - ' e ' <
(
6
)
gW
0 v^ r ( v  +  l )
(7)
dn -  —
  o ‘lcham siz  son, 
h
  —  Plank  doim iysi. 
n
(6)  ifoda  aniqlanishi  zarur  b o ‘lgan  taqsim ot  funksiyasidir; 
Z  —
  shu 
sistem aning  statistik  integrali  (yig‘indisi).
Izoh: 
Puasson taqsim oti,  gam m a-funksiya  hamda berk sistem a uchun 
taqsim ot  funksiyasi
orasida  shunday  b og‘lanish  borki,  ular  m a’lum  shartlar bajarilganda  bir- 
birlariga o'tishlari  mumkin.
9 -§ .  Chiziqli  garmonik  ossillyator  koordinatasi  va  impulsi 
qiymatiari  fluktuatsiyalarining  taqsimoti
S iste m a   h o la tin i  x a ra k te rlo v ch i  har  q and ay  fizik   k a tta lik n in g  
fluktuatsiyalari  taqsim oti  shu  sistem a  holatlari  taqsim oti  funksiyasi  orqali 
a n iq lan ad i,  y a ’ni  holatlar  taq sim oti  funksiyasi  (e h tim o lla r  z ic h lig i) 
fluktuatsiya  nazariyasi  uchun  asos  b o ‘ladi.
Berk  sistem a 
(v
  =  
const)
  uchun
К
f { E ) = Z le
(
8
)
f ( E )
 =   Z “
0  si  p  1  =   —
(53)
v
O ssillyator  uchun

---

2 
2 
к Т
ifodalar  m a’lum.
Ossillyatorlar  ansambli  uchun  (53)  ni  qoMlaymiz.  (54)  va  (55)  larni 
(53)  ga  qo'yam iz:
f [ E ) =  f { x , p x) = C ,
  exp 
yoki  bundan
{ (
e
)  =  C,
  exp
2 (Д х): _
Г ,  exp
p ;
bunda
2 
( A x f
~ ( - V \ )
t l  CO
(ЛхУ  =  (Av(co))2  =  ------
cth
2
mio 
2
kT 
nm
mtno
 
, 
fico
( A p J   =
 (А рх(а)У   = 
c'th
 
= 
m{E) 
C,  va  C,  larni  normalash  shartlari  uchun  yozilgan
f/(.T ) t /.v - l.  J  / ( / ' . ) / !.  =1
ifodalardan  aniqlaymiz:
( Y1 =
nh 
,  Тш
)
—  
c t h
----- ;
i
I
_nm 
2kT _
mm
2
c
  =
nmfoi) cth
ftto
(56)
(57)
(58)
(59)
(60)
(56)  va  (57)  ifodalar x  va 
p x
  fluktuatsiyalari  taqsim oti  funksiyalaridir.  Bu 
taqsimot  funksiyalar  Gauss  taqsimotidir.  Bu  yerda  eslatamiz: 
x
1
 bu 
x
  =   0 
dagi  (.v  -   .v )  ,  ya'ni

---

х
2
  -   (х
  -   дг)‘ , 
X  ~
  О 
Endi  (56)  va  (57)  funksiyalarning xususiy (chegaraviy)  hollarini  ko'raylik.
1.  Klassik  hoi:
  РЛю  «   1,  (3  — 
Bu  holda
,  B/zco 
cth
2.  Kvant  hoi:
  {ЗЙю  »   I 
Bu  holda
cth
?
kT
2
\kT 
tvii
рйсо
1,  { £ )
ЙСО
(61)
(62)
(57)  va  (59)  larga  asosan  idea!  zarralar  impulsi  qiymatiari  taqsim oti  uchun
1
exp
p
:
2 m (E )
\2
twi
I.,E
Bundan  klassik  hoi  uchun  Maksvell  taqsimotini  olamiz:
1 
Г 
p]
2 
mkT
Kvanc  hoi  uchun  (62)  ni  hisobga  oiib,  (63)  dan
P
ti,j=s r !p
n  (62)  ni
Jr
exp
nifjGi
(63)
(64)
(65)
yJn nifjO
ni  topamiz.  Bilamizki, 
f ^ p
)  =  
^   bunda  ц /(р >)  — ossillyator asosiy
hoiatining  to'lqin  funksiyasidir.
K oordinata  qiymatiari  taqsim ot  funksiyasi  (56)  klassik  holda
лАл) -
moi
2-ккТ
exp
n m
2
x
2
2 kT
Bolsm an  taqsim oti  funksiyasidan  iborat  bo'ladi,
ты
ты
  л
( 66)
cvant  holda  esa,
(67)
bo'ladi.  B ilam izki, 
=
 
bunda 
ц){х)
  ~   ossillyator  asosiy
hoiatining  t o iq in   funksiyasidir.
165

---

Masala.  6.16. 
Normal  koordinala va  normal  impuls qiymatlari taqsimoti 
funksiyaiari  aniqlansin.
Ycchish. 
Ossillyator  energiyasini  quyidagicha  yozam iz:
E =
 
-   — 
( p L
  + 
io~qz ')
<** 
^
  v   a  
a.  I u   /
2
m 
1
 
2
Bunda  normal koordinata 
q
  va  normal  impuls 
p
  quyidagi ko‘rinishda aniq- 
ianadi:
l
^ 
Px
qa
  = 
m -x,  p u  =
  —
n r
quyidagi 
f ( q c) d q a  =  f { x
)& \. 
f { p u\ l p a  -   f { p j d p
,  tengliklardan izlana-
yotgan taqsimot  funksiyaiari (ehtimoilik zichliklari)  quyidagicha aniqlanadi:
1 
l 
/  (
m
  ;  /  ( л )   /  (
p u ) =  m
2  /  
( p
x)
1 0-§.  Elektroraagnit  inaydon  fluktuatsiyasining  spektral  zichligi  va 
Plank  fomiulasi
MaMumki,  elektromagnit  m aydon  energivasi  zichligi
4 ( с о ) -  
~ E z{e.})
 
(68)
bo'ladi.
Taqsimot  funksiyasi
/ ( « )   = 
' 
(69)
/Li
ni  m uvozanatli  nurlanish  uchun  tatbiq  etamiz.
(68)  ni  (69)  ga  q o ‘yib,
/ ( 4 )   =  “   e x P
ni  topam iz.
Bundan  elektromagnit  maydon  fluktuatsiyasining  spektral  zichligini 
topam iz:
( £ : (co))  =  2л(?(со)) 
(71)
Bir  ossillyator  uchun,  fluktuatsion-dissipatsion  teo rem a (F D T )  ga (1 3 -