|
K o‘rsatma. U ning ifodasidagi yig‘indini integral bilan almashtirish
kerak.
Yechish. 1. Ossillyator kvant soni n ning o‘rtacha qiymati, statistik
fizikaning umumiy metodiga asosan
< n >=z
n
--- 0
bunda
Z =
£ V \ P = U k T
bunda x = pftco = tus; / k T .
* - ? • ..
(6) dan foydalanib, (5) ni yozamiz:
15Z
e *
1
< n >=
( 1)
(3)
Ossillyatorning energiyasi s , kvant mexanikadan ma’lum
£„ = hca{n + 1 /2)
(4)
Demak,
1
1
< n >= 7 A ne
= i—
“
Z
1
- e
(6)
Z,5x
1 - e '
f7' - 1
Demak, o‘rtacha kvant son
!__ ______ 1_
e* _ i ~ e*“ " _ i
2. ЗЛ И а ossillyatorlarning umumiy energiyasi ossillyator energiyalarining
yig‘indisidan iborat:
У
# »(£ , j ) + J ] # °( £ ’
j ) = E 0 + E ,
^
t:,s
5 9
Bunda со chastota k ,s ga, ya’ni k,0, cp,s o‘zgaruvchilarga bog‘liq;
V /(2 nf kattalik jfc, fazodagi birlik hajmdagi to'lqin son.
Masala 2.7. Chastota со bilan to'lqin vektori k, orasidagi dispersiya
munosabati
(0 - a(s,Q,(p)k:, t > 0
bo'iganda issiqlik sig'im (7, aniqlansin.
Yeehish.
.X = рйсо = p flak'; k' = — •
k2dk = f —
1
x*'"
\ x
P
h a ’
\tia)
[ t J
Demak,
f—
\x 'dx
ha j ^
J a 3" J e ' - 1
r,
к TV
h =
8 n i
Bundan
d E
qonuniyat kelib chiqadi.
Izoh. Agar t= I bo'lsa, (12) dan
G v = А Г
Debay qonuni kelib chiqadi.
I l l b o b . F E R M I- D IR A K S T A T IS T IK A S IN IN G T A T B IQ I
l-§. Kirish
Bizga ma’lumki, kvant statistikasining qo‘llanish sohasida
Т < Г = a ^ - n 213
( 1)
mk
shart bajariladi; sistemaning kvant xossalari katta zichlik va past temperatura
larda namoyon boMadi.
Zarralar orasidagi o‘rtacha masofa r0 —
va de Broyl to'iqin
_
п *
uzunligining o'rtachasi X = h I p va p ~ 4 m kT ekanligini nazarda tutib,
(1) shaitni boshqacha tushuntirish ham mumkin. Zarralarning orasidagi
o'rtacha masofa rd e Broyl to'iqin uzunligi X yoki undan kichik bo'isa,
ular orasida odatdagi o'zaro ta’sir kuchidan tashqari kvantoviy korrelatsiya
mavjud bo'ladi. Shu sababli zarralarning harakati maxsus kvant tabiatga
ega bo'ladi. Bu sohada, albatta, kvant statistikadan foydalanish zarur
bo'ladi. Boshqacha aytganda, temperaturaning kamayishi tabiiy ravishda
de Broyl to'iqin uzunligining ortishiga oiib borganligi, shu sababli zarralarda
kvant korrelatsiya almashuv o'zaro ta’sir namoyon bo'lishi na faqat alohida
zarrani kvant mexanika qonuni asosida qarashga majbur etadi, balkim
zarralar sistemasini qarashni ham muhiin o'zgartirishga oiib kelishini biz
yuqorida ta’kidlagan edik.
Bu sohadamuhim rolni Pauli prinsipi o'ynaydi.
M a’lumki, bu prinsipga ko'ra, bir holatda bittadan ortiq fermion
bo'lishi mumkin emas. Shu sababli fermionlar sistemasi boze-sistemadan
muhim farqlidir. Bu farq sistemaning aynish temperaturasidan past
bo'lgandagina namoyon bo'ladi. Bu yerda shuni yana ta’kidlash lozimki,
aynish tem peraturasi T '~ h 2 b o 'lg an lig id an , u (ta b iiy k i) kvant
tushunchadir va T< T sohada zarralar orasidagi o'rtacha masofa r0~ \
ekanligidan Geyzenberg noaniqlik prinsipi rap~h muhim rol o'ynay
boshlaydi.
6 i
Tabiatda (kvant) aynigan fermi sistemalarga metallardagi elektronlar
sistemasi, oq mitti yulduzlar, neytron yulduzlar misol bo‘ladi.
Yana shuni ta’kidiash lozimki, odatdagi gazlar, suyuqliklarning aynish
temperaturasi shunchalik pastki, odatdagi sharoitda ular klassik statistik
fizika bilan to'la tavsiflanadilar.
Biz yuqorida ko'rdikki, Ferm i taqsimoti quyidagicha:
/ (£ ) = ■
1
Bu funksiya
/ ( fc)
tem peratura T
-» 0(/3 =
1
/
kT
- » °o)
bo'iganda
«pog‘ona!i» funksiyaga aylanadi, ya’ni £ < ji bo'iganda f(e ) = \\s >/u
bo'iganda / (e ) = 0 bo'ladi (q. 3.1 rasm).
Agar T>0bo'lsa, «pog'onali» funksiyaning £ = p. dagi qiymati atrofida
к Т sohada Ferm i taqsimot «yemirilgan» bo'ladi. U punktir chiziq bilan
3.1-rasmda ko'rsatilgan.
1
Bir zarraviy holatdagi energiya £л ~ — bo'lganligi uchun hajm Kortishi
bilan sathlar bir-biriga yaqinlashib, zichlashib boraveradi.
Hajm yetarli darajada katta bo'iganda, bir zarraviy holatlarni uzluksiz
deb qarab, s, s —» dz intervaldagi holatlar soni uchun g{a)de ifodani
yozishimiz mumkin; bunda g (e ) — holatlar zichligi. Bu uzluksiz holda
g(z)de yordamida sistema zarralari soni N va energiyasi E uchun
N = J/(6)g(e)cfe
(3)
E = |s/(£)g(e)£/e
(4)
ifodalarni yozish mumkin; bunda / (s ) (2) ifoda bilan aniqlanadi.
62
Temperatura 7M )A'bo‘laganda, / (e ) =(1) va energiya s ning qiymati
jLt = fJ.0 gacha o'zgaradi. s ning eng kichik qiymati
e
(I (xususiy holda e( =0)
bo'isa, (3) va (4) ifodalar quyidagi ko'rinishda bo'ladi:
(5) ifodadan, agar holatlar zichligi g (e ) aniqlangan bo'isa, |л0 ni, so'ng
(6) dan to'la energiya E ni aniqlash mumkin.
2. Agar T>0К bo'isa, Ц, ni va energiya E ni aniqlash uchun (3) va (4)
dan foydalaniladi; bunda
/ (
e
)
Ф 1 va u (2) bilan aniqlanadi.
Download Do'stlaringiz bilan baham: |
