O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar

O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar.

Ushbu M(x)dxQN(u)duq0 ko’rinishdagi tenglamaga o’zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama deyiladi. Uning o’ziga xos tomoni shundaki, dx oldida faqat x ga bog’liq ko’paytuvchi, dy oldida esa faqat u ga bog’liq ko‘paytuvchi turadi. Bu tenglamaning yechimi uni hadma-had integrallash yo’li bilan aniqlanadi:

 M(x)dx  N(y)dyC
Differensial tenglamaning oshkormas holda ifodalangan yechimi bu tenglamaning integrali deyiladi. Integrallash doimiysi S ni yechim uchun qulay ko’rinishda tanlash mumkin.
260- misol: tgxdx-ctgydyq0 tenglamaning umumiy yechimini toping.
Echish: Bu yerda o’zgaruvchilari ajralgan tenglamaga egamiz. Uni hadma-had integrallaymiz:
 tgxdx - ctgydyC yoki –lncosx-lnsinyq-ln
Bu yerda integrallash doimiysi S ni – ln , ya’ni Sq - ln
orqali belgilash qulaydir, bundan
ln sin y ∙ cos x qln yoki sin y ∙ cos x q umumiy integralni topamiz.
Tahrif.
y' q ₁(x)₂(y) (1)
ko’rinishdagi tenglamalar o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar deb ataladi, bu yerda ₁(x) va ₂(y) uzluksiz funksiyalar.
(1) tenglamani yechish uchun unda o’zgaruvchilarni ajratish kerak. Buning uchun (1) da uni o’rniga dy/dx ni yozib, tenglamaning ikki tomonini ₂(y) 0 ga bo’lamiz va dx ga ko’paytiramiz. U o’olda (1) tenglama
(2)
ko’rinishga keladi. Bu tenglamada x o’zgaruvchi faqat o’ng tomonda, u o’zgaruvchisi esa chap tomonda ishtirok etyapti, ya’ni o’zgaruvchilar ajratildi. (2) tenglikni har ikki tomonini integrallab,

ekanligini hosil qilamiz, bu yerda S ixtiyoriy o’zgarmas.
261-misol. y'qy/x tenglamani yeching.
Echish. Berilgan tenglama (2) ko’rinishdagi tenglama, bu yerda ₁(x) q 1/x va ₂(y)qu. O’zgaruvchilarni ajratib, tenglamani h’osil qilamiz. Uni integrallab , S0 yoki lnyqlnxQlnC va bu tenglikni potentsirlab, yqCx umumiy yechimni topamiz.
Faraz qilaylik, uqSx umumiy yechimdan x₀q1, u₀q2 boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechim topish talab

qilinyapti. Bu qiymatlarni uqS∙x ga x va u larni o’rniga qo’yib, 2qS∙1 yoki Sq 2 ni topamiz. Demak, xususiy yechim yq2x ekan.

262-misol Differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.

Echish: Tenglamani yechish uchun uning har ikki tomonini ifodaga bo’lib yuboramiz va o’zgaruvchilarini ajratamiz.
tenglikni ikkala tomonini integrallaymiz.
s ning ixtiyoriyligidan foydalansak ga almashtirsak , u holda umumiy yechim quyidagicha bo’ladi.