O’zgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differensial tenglamalar

Darsda yechish uchun misollar
Differensial tenglamalarni umumiy yechimini toping.

263.
264 .
265.
266.
267.
268.
269.
270.
271.
272.

Mustaqil uy vazifasi uchun misollar
Differensial tenglamalarni umumiy yechimini toping.

273.
274.
275.
276. shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni toping
277. shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni toping

2-§. Birinchi tartibli bir jinsli va bir jinsliga keltiriladigan differentsial tenglamalar.

1-Ta’rif. f(x,y) funksiya x va u o’zgaruvchilarga nisbatan n- o’lchovli bir jinsli funksiya deb ataladi, agarda ixtiyoriy  uchun
f(x, y)q ⁿf(x,y)
ayniyat o’rinli bo’lsa.
278-misol. f(x, y) funksiya bir o’lchovli bir jinsli funksiya, chunki f(x, y)
279-misol. f(x, y)qxy-y² funksiya 2-o’lchovli bir jinsli funksiya, chunki f (x, y)q (x)∙(y)- (y)²q²(xy- y²) q² f(x,y)
280-misol. funksiya 0- o’lchovli bir jinsli funksiya, chunki
.

2-tahrif. Birinchi tartibli
(3)
differensial tenglama x va u ga nisbatan bir jinsli differensial tenglama deb ataladi, agarda f(x, y) funksiya x va u ga nisbatan 0- o’lchovli bir jinsli funksiya bo’lsa.
Bir jinsli differensial tenglamani yechish. Faraz qilaylik, (3) bir jinsli differensial tenglama berilgan bo’lsin, u holda shartga ko’ra

f(x, y)q f(x,y). Bu ayniyatda deb olsak, f(x, y)q f(1, ) ni hosil qilamiz. Bu holda (3) tenglama quyidagi ko’rinishga keladi:

(4)
(4) da , ya’ni yqu∙x almashtirish bajaramiz.
U holda ni hosil qilamiz. Hosilaning bu ifodasini (4) ga qo’yib, yoki tenglikni hosil qilamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajralgan differensial tenglamadir. Integrallab quyidagini topamiz:
, .
Integrallarni topgandan so’ng u qrniga ni qo’yib, berilgan tenglamaning integralini ko’rinishida topamiz.

Ko’rinib turibdiki, u ni x orqali elementar funksiyalar yordamida ifodalab bo’lmaydi. Biroq x ni u orqali ifodalash mumkin: