O’zgaruvchilar

x
o

1
0.4

x
o

2
0.1
o _y

o

1
1
0.8 _y2
0.5

3
_x ^o 0.6
1
1
0.7
o _y3
o y₄

9. 
   - rasm.
   

R = XxY
munosabatning graf ko`rinishdagi ifodasi.

i

R

j
Bu yerda uchlar - ^{x  X} , ^{y  Y} to`plamlar elementlari, yoylar esa - X va Y

o`rtasidagi NMlarni aks ettiradi. Yoylarning qiymatlari qiymatlarga mos bo`ladi.
 x , y 
tegishli

X RY
ifoda - bu to`g`rilik darajasining qiymati
^{R (x, y)} ga teng bo`lgan

noravshan mantiqiy mulohazadir. Shuning uchun aniq R munosabatni tafsivlash uchun X va Y o`zgaruvchilardan bog`liq bo`lgan aniq noravshan mantiqiy formulani

yoki
X  Y
to`plamda [0,1] oraliqdagi qiymatlarga ega bo`lgan noravshan predikatni

berish kerak. Bu formulalar noravshan mantiqiy amallar (birlashtirish, kesishish, qo`shimcha/noravshan inkor, implikatsiya) kombinatsiyalari yordamida qurilishi mumkin.

Mantiqiy xulosa chiqarishlarni hosil qilishda ko`pincha
R  X Y
implikatsiya

turdagi munosabatdan foydalaniladi. U “Agar ..., u holda” mahsuliy(produktsiya) qoidasini aks ettiradi. Ular quyida keltiriladigan Zade, Lukasevich yoki Mamdani qoidalari bo`yicha belgilanadi.
Dastlabki shartlar va yakuniy xulosalar to`plamlari o`rtasidagi bunday NMlar

X  Y
ko`paytma ko`rinishda beriladi. Uning qiymati

R  n m  (x , y
) / (x , y )

 R i j
i j ^,

i1 j1

j
bo`yicha belgilanadi, bu yerda ^x_i ^{ X}

• 
  shartlar to`plami, ^y
  

Y

• 
  xulosalar
  

to`plami, ^
x , y 0,1
_- x , y
^ elementlarning ^R NMga nisbatan MFsi, -

^{R i i i j} 
to`plamlarni birlashtirishni (yig`indisini emas) anglatadi.

Agar
A  X
va B Y
to`plamlar berilgan bo`lsa, u holda
R  A  B NT

R  A  B  _
i1
_m 

A
j1
(x_i )  _B
( y _j
) / (x_i , y _j
)

yoki Mamdani qoidasi bo`yicha
<sub>R</sub> (x, y)  <sub>A</sub> (x)  <sub>B</sub> ( y)  min(<sub>A</sub> (x),<sub>B</sub> ( y))
qurilishi mumkin.
Misol. Aytaylik X va Y - 1dan 4gacha natural sonlar bo`lsin, ya’ni

X  Y  {1,2,3,4}.
Bu to`plamlarda
" A kichik"
va "B  katta"
NTlar belgilangan,

masalan
A {_A (x_i ) /(x_i )}  {(1/1),(0,6 / 2),(0,1/ 3),(0 / 4)}_;
B {_B ( y _j )/(y_j )}{(0/1),(0,1/ 2),(0,6/ 3),(1/ 4)}

ko`rinishlarda berilgan bo`lsin.
Bu holatda, masalan, “Agar X kichik bo`lsa, u holda Y katta”, ya’ni
R  A  B munosabatni (bu yerda  - noravshan implikatsiya) quyidagicha qurish mumkin.

Avval
^y _j ustun va
x_i satrlardan iborat matritsa quriladi. Keyin matritsa

elementlarining ^{R (xi , y j )} qiymatlari o`rnatiladi. Bu qiymatlar
 _A (x_i ) _ni  _B ( y_i ) _ga

ko`paytirish (yuqorida keltirilgan bilan hosil qilinadi.
min <sub>A</sub> (x), <sub>B</sub> ( y)
amalidan foydalanib) yo`li

Natijada ^R munosanat jadvalini 11.5-jadval ko`rinishida hosil qilamiz.
11.5-jadval.

	y1	y2	y3	y4
x1	0	0.1	0.6	1
x2	0	0.1	0.6	0.6
x3	0	0.1	0.1	0.1
x4	0	0	0	0

R 

Bu yerda
X = {x₁ , x₂ , x₃ , x₄}  {1, 2, 3, 4}; Y = {y₁ , y₂ , y₃ , y₄}  {1, 2, 3, 4}.

Aytaylik U₁={x} va U₂={y} odatdagi to’plamlar bo’lsin. U₁ va U₂ to’plamlarning to’g’ri ko’paytmasi U₁×U₂ tartiblangan juftlilklar ( x, y), ya’ni U₁× U₂= {( x; y)∶ x∈U₁; y∈U₂} to’plamidan iborat bo’ladi.
Aytaylik M - MFlar to’plami bo’lsin. U holda ∀ ( x, y) ∈ U₁× U₂; R ( x,y) ∈ M
NTdan iborat R NT U₁× U₂ UTlarda binary munosabat deb ataladi.
Misol. Bizga ܷ_ଵ = ^{ݔ_ଵ, ݔ_ଶ, ݔ_ଷ^}, ܷ_ଶ = ^{ݕ_ଵ, ݕ_ଶ, ݕ_ଷ, ݕ_ସ, ݕ_ହ^}, ܯ = ^[0,1^] bo’lsin.
U holda noravshan binar munosabatni sub’yektiv ravishda 11.6-jadval
ko’rinishda berish mumkin:
11.6-jadval.

	y1	y2	y3	y4	y5
x1	0	0	0.1	0.3	1
x2	0	0.8	0	0	1
x3	0.4	0.4	0.5	0	0.2

Umumlashtirib, noravshan n-juftli munosabatni, ya’ni ܲ_௡ = ܷ_ଵ × ܷ_ଶ × … × ܷ_௡
da NTni hosil qilamiz.
Endi exstremumni belgilash uchun quyidagi simvollardan foydalanamiz [1, 9]:

x
^ - x element yoki o’zgaruvchiga nisbatan maksimum;

x
^ - x element yoki o’zgaruvchiga nisbatan minimum; U holda

1

1
 (x)   (x, y)  max (x, y) _va  (x)   (x, y)  min (x, y).
y y y y
NMning proyeksiyalari. R ning birinchi proyeksiyasi quyidagi MFsini aniqlaydi:

ߤ^(ଵ)(ݔ⁾ = ^ ߤ
⁽ݔ, ݕ⁾.

_{ோ y} ோ
R ning ikkinchi proyeksiyasi esa quyidagi MFsini aniqlaydi:

ߤ^(ଵ)(ݔ⁾ = ^ ߤ
⁽ݔ, ݕ⁾.

_{ோ y} ோ
Birinchi proyeksiyalarning ikkinchi proyeksiyasini (yoki teskarisini) NMning global proyeksiyasi deb ataymiz va h(R) bilan belgilaymiz:

ℎ⁽ܴ⁾ =
^{ } ߤ ⁽ݔ, ݕ⁾ = ^{ } ߤ ⁽ݔ, ݕ⁾

ோ ோ
x y y x

Misol. R matritsani beramiz va NMning birinchi, ikkinchi va global proyeksiyalarini hisoblaymiz (11.11-rasm).

	y 1	y 2	y 3	y 4	1-proyeksiya
x 1	0.3	0.6	0	0.5	0.6
x 2	0.7	0.8	0.4	0.1	0.8
x 3	1	0.5	0.7	0.6	1
x 4	0.8	0.1	0.3	0	0.8
	2-proyeksiya				Global proyeksiya
	1	0.8	0.7	0.6	1

11.11-rasm. NMning proyeksiyalarini hisoblash.
Noravshan munosabatning merosi. NMning R merosi deb- MFsi musbat bo’lan odatdagi (x, y) juftlilklar to’plamiga aytiladi:
ܵ⁽ܴ⁾ = {(ݔ, ݕ)|ߤ_ோ⁽ݔ, ݕ⁾ > 0}
Bundan keyin birlashma, kesishma, algebraik ko’paytma, yig’indi, to’ldiruvchi,
ikkita munosabatning dizyunktiv yig’indisi va NMga yaqin odatdagi munosabatni qarash mumkin [10].
Ikkita NMning kompozitsiyasi. X×Y dagi R₁ va Y×Z dagi R₂ NMlarning kompozitsiya amali X×Z da NMni aniqlashga imkon beradi.




Max-min kompozitsiya. Aytaylik R₁⊂X×Y va R₂⊂Y×Z bo’lsin. R₁ va R₂ munosabatlarning “max-min” - kompozitsiyasi R₁○R₂ shaklda belgilanadi va quyidagi ifoda bilan aniqlanadi:

R₁oR₂
(x, z)  [

R
y ¹
(x, y)  

R
2
( y, z)]  max[min(
(x, y), 

R

R
1 2
( y, z))].

Bu erda ݔ ∈ ܺ, ݕ ∈ ܻ, ݖ ∈ ܼ.

Misol. Aytaylik
 (x, y), 

R R
1
( y, z)
2
MFlari chegaralangan ݔ ∈ ܺ, ݕ ∈ ܻ, ݖ ∈ ܼ

UTda R₁ va R₂ jadvallar ko’rinishda berilgan bo’lsin. R₁ va R₂ munosabatlarning R₁○R₂ “max-min” – kompozitsiyasini aniqlaymiz (11.12-rasm).

R2		z1	z2	z3	z4
	y1	0.9	0.4	0	1
	y2	0.3	0.5	1	0.4
	y3	0.6	1	0	0.3
	y4	0.4	0	1	0.7

R1		y1	y2	y3	y4
	x1	0.3	0.5	1	0
	x2	0.6	0.7	0	0.2
	x3	0.8	0	1	0.1

ܴଵ^బܴଶ		z1	z2	z3	z4
	x1	0.6	1	0.5	0.4
	x2	0.6	0.5	0.7	0.6
	x3	0.8	0.4	1	0.8

11.12-rasm. Max-min kompozitsiyani hisoblashga misol.
11.12-rasmdagi R₁ va R₂ munosabatlarning matritsalar bilаn berilgan qiymatlaridan foydalanib R₁○R₂ kompozitsiya quyidagicha hisoblanadi:
min(_R (x₁ , y₁ ), _R ( y₁ , z₁))  min(0.3, 0.9)  0.3;
1 2
min( _R (x₁ , y₂ ), _R ( y₂ , z₁ ))  min( 0.5, 0.3)  0.3;
1 2
min( _R (x₁ , y₃ ), _R ( y₃ , z₁ ))  min( 1, 0.6)  0.6;
1 2
min( _R (x₁ , y₄ ), _R ( y₄ , z₁ ))  min( 0, 0.4)  0;
1 2
max[min(_R (x_i , y_i ),_R ( y_i , z_i ))]  max(0.3, 0.3, 0.6, 0)  0.6.
_yi 1 2
min( _R (x₁ , y₁ ), _R ( y₁ , z ₂ ))  min( 0.3, 0.4)  0.3;
1 2
min( _R (x₁ , y₂ ), _R ( y₂ , z ₂ ))  min( 0.5, 0.5)  0.5;
1 2

1

2
min( _R (x₁ , y₃ ), _R ( y₃ , z ₂ ))  min(1, 1)  1;
min( _R (x₁ , y₄ ), _R ( y₄ , z ₂ ))  min( 0, 0)  0;
1 2
max[min(_R (x_i , y_i ),_R ( y_i , z_i ))]  max(0.3, 0.5, 1, 0)  1.
_yi 1 2
min( _R (x₁ , y₁ ), _R ( y₁ , z₃ ))  min( 0.3, 0)  0;
1 2
min( _R (x₁ , y₂ ), _R ( y₂ , z₃ ))  min( 0.5, 1)  0.5;
1 2
min( _R (x₁ , y₃ ), _R ( y₃ , z₃ ))  min(1, 0)  0;
1 2
min( _R (x₁ , y₄ ), _R ( y₄ , z₃ ))  min( 0, 1)  0;
1 2
max[min(_R (x_i , y_i ),_R ( y_i , z_i ))]  max(0, 0.5, 0, 0)  0.5.
_yi 1 2
min( _R (x₁ , y₁ ), _R ( y₁ , z ₄ ))  min( 0.3, 1)  0.3;
1 2
min( _R (x₁ , y₂ ), _R ( y₂ , z ₄ ))  min( 0.5, 0.4)  0.4;
1 2
min( _R (x₁ , y₃ ), _R ( y₃ , z ₄ ))  min( 1, 0.3)  0.3;
1 2

min( _R (x₁ , y₄ ), _R ( y₄ , z ₄ ))  min( 0, 0.7)  0;
1 2
max[min(_R (x_i , y_i ),_R ( y_i , z_i ))]  max(0.3, 0.4, 0.3, 0)  0.4.
_yi 1 2
min( _R (x₂ , y₁ ), _R ( y₁ , z₁ ))  min( 0.6, 0.9)  0.6;
1 2
min( _R (x₂ , y₂ ), _R ( y₂ , z₁ ))  min( 0.7, 0.3)  0.3;
1 2
min( _R (x₂ , y₃ ), _R ( y₃ , z₁ ))  min( 0, 0.6)  0;
1 2
min( _R (x₂ , y₄ ), _R ( y₄ , z₁ ))  min( 0.2, 0.4)  0.2;
1 2
max[min(_R (x_i , y_i ),_R ( y_i , z_i ))]  max(0.6, 0.3, 0, 0.2)  0.6.
_yi 1 2

1

2
min( _R (x₂ , y₁ ), _R
min( _R (x₂ , y₂ ), _R
( y₁ , z ₂ ))  min( 0.6, 0.4)  0.4;