O`zbеkiston rеspublikasi xalq ta'limi vazirligi a. Qodiriy nomli Jizzax davlat pеdagogika instituti

II BOB. YARIM YEVKLID TEKISLIGIDAGI EGRILIGI O’ZGARMAS CHIZIQLAR.

2.1§ Yarim yevklid tekisligidagi uchburchaklar uchun sinuslar teoremasi.
Ma’lumki, [ ], uchburchaklarga doir metric munosabatlar deganda uchburchaklarning ichki burchaklari yig’in disi tomonlari va burchaklarini o’zoro bog’laydigan munosabatlarni tushunamiz.

1. 
   Yevklid tekisligida har qan day uchburchakning ichki burchaklari yig’indisi 180⁰ ga teng. Tom,onlari a, b, c kesmalarga teng bo’lgan ucvhuburchak mavjud bo’lishligi uchun,
   

(2.1.1)

Tengsizliklar sistemasi yechimga ega bo’lishi shart. Yarim yevklid tekisligidagi uchburchakka doir metric munosabatlarni yevklid tekisligidagi metric munosabatlar bilan parallel o’rganish maqsadida ularni keltiraylik.

Uchburchak maktabda urganiladigan planimetriya kursining asosiy «ishchi» figuralaridan biridir. Uchburchaklarning tenglik alomatlari geometriya kursida urganiladi. Uchburchaklarning tenglik alomatlaridan juda kup geometrik tasdiklarni isbotlashda va masalalarni yechishda foydalaniladi. Uchburchaklarning tengligi aylana buyicha planimetriya kursida urganiladi bayoni turli xil darsliklarda turlichadir.

Teng uchburchaklarni o’rganishning dastlabki boskichida «burchak karshisidagi tomon», «Tomonlar orasidagi burchak» tushunchalarini kayta ishlash zarur.

Uchburchaklar tengligining uch alomati kuydagi ketma-ketlikda urganiladi:

1. 
   Uchburchaklarning ikki tomoni va ular orasidagi burchagi buyicha tenglik alomati
   
2. 
   Uchburchaklarning bir tomoni va unga yopishgan burchaklari buyicha tenglik alomati
   
3. 
   Uchburchaklarning uchta tomonlariga kura tenglik alomati
   

uchburchaklarning tenglik alomatlaridan foydalanishda ;

1. 
   Ularning tengligi xakidagi gipotezaga nisbatan uchburchaklar juftini kursatish;
   
2. 
   Karalayotgan uchburchaklarda mos xolda teng elementlar juftlarini ajratish
   
3. 
   Alomatlardan biri asosida karalayotgan uchburchaklarning tengligi xakida xulosa chikarish;
   
4. 
   Mos elementlardan kaysiningdir tengligi xakida xulosa chikarish
   

« Figuralarning tengligi» mavzusi geometriya [8] kursida urganiladi. Bu mavzuda xarakat natijasida ikki figuradan biri ikkinchisiga utsa, ular teng figuralar deb atalishi, figuralarning tengligini belgilash uchun odatdagi tenglik belgisidan foydalanilishi aytiladi.

Bu mavzuda kuyidagi ikkta tasdik isbotlanadi :

1. 
   agar ikkta uchburchakda mos tomonlari teng va mos burchaklarni teng bulsa, u xolda bu uchburchaklar xarakat natijasida ustma-ust tushishini bildiradi.
   
2. 
   Agar ikkta uchburchak xarakat natijasida ustma-ust tushsa, u xolda bu uchburchaklarning mos tomonlari teng va mos burchaklari teng.
   

3) Figuralarning uxshashligiga oid mavzular [7] ukuv kullanmada.

[7] da «Shakllarning uxshashligi» nomli mavzuda uxshash shakillar uxshaщlik almashtirishi kupburchaklarning uxshashligi, uchburchaklar uxshashligining alomatlari urganiladi. [8] da uxshashlik almashtirishi va uning xossalari, figuralarning uxshashligi, uchburchaklarning uxshashlik alomatlari, tugri burchakli uchburchaklarning uxshashligi urganiladi. Bunda uchburchaklarning uxshashlik alomatlari kuyidagi tartibda urganiladi ;

1. 
   Uchburchaklarning ikkta burchagi buyicha uxshashlik alomati
   
2. 
   Uchburchaklarning ikkta tomoni va ular orasidagi burchak buyicha uxshashligi
   
3. 
   Uchburchaklarning uchta tomoniga kura uxshashlik alomati
   

Figuralarning uxshashligi tushunchasi o’quvchilarning kurgazmali intuytiv tasavvurlariga tayangan xolda xayotiy misollarni keltirish bilan kiritiladi.

Uchburchaklarning uxshashlik alomatlaridan kupgina teoremalarni isbotlashda va masalalarni yechishda foydalaniladi.

1. 
   Kupburchak xakida dastlabki tushuncha [6] ukuv kullanmada beriladi. Unda avvalo sinik chizik, uning tomonlari, uchlari, turlari va perimetri xakida tushuncha beriladi. Shundan sung sinik chizik tushunchasi orkali kupburchakka ta’rif beriladi va kupburchak tomonlari, uchlari, turlari xakida ma’lumot beriladi.
   

Maktab geometriya kursida fakat kavarik kupburchaklar urganilishi ta’kidlanadi.

Uchburchakka tashki va ichki chizilgan aylanalar xakida 7-sinf geometriya [8] kursida ma’lumot beriladi.

Uchburchakning xamma uchlaridan utgan aylana shu uchburchakka tashki chizilgan aylana deyiladi.

Agar aylana uchburchakning xamma tomoniga urinsa, uni uchburchakka ichki chizilgan aylana deyiladi.

Kuyidagi teoremalar isbotlanadi: Teorema. Uchburchakka tashki chizilgan aylananing markazi uchburchak tomonlarining urtalaridan utkazilgan perpendikulyarlarning kesishish nuktasidan iboratdir.

Teorema: Uchburchakka ichki chizilgan aylana markazi uchburchak bissektrisalarining kesishish nuktasidan iborat.

Berilgan uchburchakka ichki chizilgan aylanani va uchburchakka tashki chizilgan aylanani yasash mumkin.

Utkir burchakli, tugri burchakli yoki utmas burchakli uchburchakka tashki chizilgan aylana markazining vaziyati chizma yordamida aniklanadi. Lekin ba’zi o’quvchilarga utkir burchakli uchburchakka tashki chizilgan aylananing markazi gipotenuzaning urtasida yotishni , utmas burchakli uchburchakka tashki chizilgan aylanining markazi uchburchakdan tashkarida yotishini isbot kilishda yoyning burchak kattaligi shu yoyga tiralgan ichki chizilgan burchak kattaligining ikkilanganiga teng ekanligi faktidan foydalaniladi. «Aylanaga ichki chizilgan burchak xakida ma’lumot beriladi.

[7] o`quv qo`llanmada esa bu mavzu uchburchakka tashki va ichki chizilgan aylanalardan oldin urganiladi.

Aylananing bir nuktasidan chikuvchi ikki vatridan tashkil topgan burchak aylanaga ichki chizilgan burchak deb ataladi.

Bunda kuyidagi teorema isbotlanadi;

Teorema: Aylanaga ichki chizilgan burchak uzi tiralgan yoyning yarli bilan ulchanadi (ya’ni burchakning kattaligi uzi tiralgan yoy burchak kattaligining yarimiga teng).

Isbot kilingan teoremadan ushbu muxim natijalar kelib chikadi:

1-natija. Bitta yoyga tiralgan barcha ichki burchaklar uzaro tengdir.

2-natija. Diametrga tiralgan barcha ichki chizilgan burchaklar tugri burchaklardir. Shundan sung kupburchakka tashki chizilgan aylana urganiladi. Ta’rif. Agar kupburchakning xamma uchlari bitta aylana ustida yotsa, kupburchak aylanaga ichki chizilgan deb ataladi. Aylana esa kupburchakka tashki chizilgan deb ataladi.

Uchburchakka tashki chizilgan aylana xakida kuyidagi teorema isbotlanadi:

Teorema: Xar kanday uchburchakka yagona tashki aylana chizish mumkin.

[7] da uchburchakka ichki chizilgan aylana kuyidagicha ta’riflanadi va unga doir teorema isbotlanadi:

Ta’rif: Agar kupburchakning xamma tomonlari aylanaga urinuvchi bulsa, uni aylanaga tashki chizilgan deb ataladi.

Teorema: xar kanday uchburchakka yagona ichki aylana chizish mumkin.

Ma’lumki, xar kanday uchburchakka ichki va tashki aylanalar chizish mumkin. Ammo ixtiyoriy kupburchakka xar doim xam ichki yoki tashki aylanalar chizish imkoniyati bulavermaydi.

Xattoki, ixtiyoriy turtburchakka ichki yoki tashki aylanalar chizish mumkin yoki mumkin emasligini kursatish xam mumkundir.

Aylanaga ichki yoki tashki chizilgan turtburchaklarning xossalari [8] urganilmaydi. [7] da esa quyidagi teoremalar xamda ifodalanadi va isbotlanadi:

1-teorema: Aylanaga tashki chizilgan turtburchakning karama –karshi tomonlari yigindisi uzaro tengdir

2-teorema: Aylanaga ichki chizilgan turtburchakning karama –karshi burchaklari yigindisi 180⁰ ga teng

Maktab geometriya kursida ([7], [8) da muntazam kupburchaklar kuyidagicha ta’riflanadi;

Ta’rif: Xamma tomonlari teng va xamma burchaklari teng bulgan kavarik kupburchak muntazam kupburchak deb ataladi.

O’quvchilarga atrofi olamdan misollar keltirish va tayyor msollarni kursatish maxsadga muvofikdir.

Xar kanday muntazam kupburchakka ichki va tashki aylanalar chizish mumkin va bu aylanalarning markazlari ustma –ust tashishi xakidagi teorema isbotlanadi.

Muntazam kupburchakning markazi apofemasi, radusi va markaziy burchagi xakida ma’lumot beriladi.

Shundan sung muntazam kupburchakning tamoni bilan ichki va tashki chizilgan aylanalarning radiuslari orasidagi boglanish urganiladi .

Muntazam p burchakning tomoni a, unga tashki va ichki chizilgan aylanalarning radiuslari mos ravishda va bulsa,

(2.1.2)

1. 
   formula aylanaga ichki chizilgan muntazam p burchakning tomonini unga tashki chizilgan aylana radiusi orkali xisoblash formulasidir.
   

(2.1.3)

2. 
   formula aylanaga tashki chizilgan muntazam p burchakning tomonini unga ichki chizilgan aylana radiusi orkali xisoblash formulasidir.
   

(2.1.4)

(3) , bu muntazam p burchakka ichki va tashki chizilgan aylanalarning radiuslarini boglovchi formuladir.

Yukoridagi formulalarni tatbik kilib masalalar yechish bilan o’quvchilarning masalalari yechish bilan o’quvchilarning masalalar yechish kunikmalarini yanada shakllantirish mumkin.

Perpendikulyar ogma, proyeksiya mavzusi ham geometriya kursida urganiladi [7] ukuv kullanmada tugri chizikka undan tashkaridagi nuktadan tushurilgan perpendikulyar, perpendikulyarning uzunligi, ogma, ogmaning asosi, ogmaning proyeksiyasi xakida tushuncha beriladi.

Sungra kuyidagi teorema isbotlanadi:

Teorema: ogma perpendikulyardan va uzining proyeksiyasidan kattadir.

Bu teoremani isbotlash o’quvchilarga tugri burchakli uchburchaklar uchun ilgari urganilgan Pifagor teoremasi eslatiladi va undan foydalaniladi.

Uchburchak tengsizligi xakida 8-sinf geometriya kursida,ya’ni [7] ukuv kullanmada ma’lumot beriladi.

Buning uchun kuydagi teorema isbotlanadi: Teorema. Ixtiyoriy uchburchakning xar bir tomoni uzunligi kolgan ikki tomon uzunliklari yigindisidan kichikdir (ularning ayirmasidan kattadir).

Bu teoremani uchburchak tomonlarining eng kattasi uchun isbot kilish yetarlidir. Buning uchun uchburchakning uchidan uning eng katta tomoniga perpendikulyar utkaziladi va oldingi mavzuda urganilgan perpendikulyar, ogma va uning proyeksiyasi xossasi o’quvchilarga eslatilib, unga kura teorema isbotlanadi.

Kuyidagi natijaning urinli jonini isbot kilishni o’quvchilarga topshirik sifatida beriladi:

Natija: Ikki nuktani tutashtiruvchi kesmaning uzunligi bu nuktalarni tutashtiruvchi sinik chizik uzunligidan kichikdir Kesmalar nisbati, proporsional kesmalar xakida [7] ukuv kullanmada ma’lumot beriladi va kuyidagi teorema isbotlanadi:

Teorema: Burchak tomonlarini kesuvchi parallel tugri chiziklar burchak tomonlaridan proporsional kesmalar ajratadi.

Bu teoremani isbotlashda ma’lum bir yasashlar bajariladi va Fales teoremasidan foydalaniladi. Bu teoremadan kelgusida kupgina geometrik masalalarni yechishda foydalaniladi .

«Burchaklari teng bulgan uchburchak tomonlarning xossasi» mavzusi [7] ukuv kullanmada urganiladi.

Bu mavzuda oldingi bulimda urganilganproporsinal kesmalar xakidagi teoremadan kelib chikadigan ushbu natijaviy teorema isbotlanadi:

Teorema: Agar ikki uchburchakning mos burchaklari teng bulsa, mos tomonlari proporsional buladi .

Bizga ma’lumki, oldin urganilganlar keyin urganiladiganlar uchun zamin yaratadi. Shuncha kura yukoridagi tushuncha va xossalardan keyingi mavzularni o’rganishda keng foydalaniladi . Buni o’quvchilarga xam xar darsda ta’kidlash lozim. Masalan, proporsional kesmalar va burchaklari teng bulgan uchburchaklar tomonlarining xossasidan undan keyin urganiladigan burchak sinusi tushunchasini kiritishda foydalaniladi.

Yarim yevklid tekisligida tomonlari a,b,c kesmalar uzunliklariga teng bo’lgan uchburchak mavjud bo’lishligio uchun

a+b=c (2.1.5)

tenglik o’rinli bo’lishligi shart. Buni nuqtalar orasidagi masofa tushunchasidan osongina keltirib chiqarish mumkin.

Kesma uzunligi uning Ox o’qdagi proyeksiyaining uzunligiga teng. Bundan (2.1.2) tenglik osongina kelib chiqadi.

Chizmadagi va lar uchun ekanligidan

(2.1.6)

Demak, galiley tekisligidagi har qanday uchburchakning ikkita burchaklari yig’indisi doimo uning uchinchi burchgi kattaligiga teng. (2.1.3) tenglikni (2.1.1) dan masofa so’zini burchak so’zi bilan almashtirib ham hosil qilish mumkin. Endi 1.1§ dagi burchkka berilgan ta’rifdan foydalanib, galiley tekisligidagi uchburchaklarni tomonlari va burchaklarini bog’lovchi munosabatlarni misol keltiramiz.

ABC uchburchakning A uchidagi burchagi [MN] kesma uzunligiga teng bo’lganligi uchun AMN va ABC o’xshash uchburchaklardan

(2.1.7)

Bu yerda , ekanligidan keli b chiqadi.

Galiley tekisligidagi har qan day uchburchakning balanfligi uning uchlaridan qarama-qarshi tomonlariga tushgan Oy o’qqa parallel kesmalarning uzunligiga teng. Ularni chizmada quyidagicha tasvirlash mumkin.

h_a kesma a-tomonga, h_b-kesma b tomonga, h_c-kesma c tomonga tushirilgan balandliklardir. Chizmadan

(2.1.8)

Kelib chiqadi. Xuddi shuningdek h_b va h_a

(2.1.9)

(2.1.5) va (2.1.6) tengliklardan

(2.1.10)

Munosabatni keltirib chiqarish mumkin.

(2.1.7) munosabatlar yarim yevklid tekisligidagi uchburchaklar uchun sinuslar teorema sini ifodalaydi. Soddaroq qilib aytganda yevklid tekisligidagi uchburchaklar uchun sinuslar teoremasining yarim yevkilid tekisligidagi ko’rinishi (2.1.7) dan iborat.

Yuza affin tushuncha bo’lganligi uchun yarim yevklid tekisligidagi uchbu rchakning yuzasi uchun quyidagi formulani chiqarish mumkin.

(2.1.11)

(2.1.8) munosabatlar galiley tekisligidagi harakatga nisbatan invariantdir. Chunki, ABC uchburchakning a – tomoni galiley harakatlarida Oy o’qi yo’nalishida buriladi, biroq uning proyeksiyasining uzunligi o’zgarmaydi.

(2.1.8) formulalardagi h_a, h_b, va h_c larning o’rinlariga ularning (2.1.12), (2.1.6) tengliklardagi ifodalarni qo’ysak,

(2.1.12)

Formulalar hosil bo’ladi. (2.1.9) munosabatlar yarim yevklid tekisligidagi uchburchak yuzalarini hisoblash formulalaridir.

2.2-§. Uchburchakka ichki, tashqi chizilgan sikl va ular bilan bog’liq metrik munosabatlar
Evklid tekisligida bir to’ri chiziqda yotmagan A(a₁,a₂), B(b₁,b₂) va C(c₁,c₂) nuqtqlarda berilgan bulsin. Shu nuqtalardan o’tuvchi y=ax²+bx=c parabolaning mavjud bo’lishi
(2.2.1)

tenglamalar sistemasining yechimga ega bo’lish shartiga bog’liqdir (2.2.1) ni a,b va c larga nisbatan bir jinsli bo’lmgan tenglamalar sistemasi deb hisoblash mumkin. Bir jinsli bo’lmagan sistema ma’no yechimga ega bo’lishligi uchun uningasosiy determinant noldan farqli bo’lishligi kerak ya’ni

a₁² a₁ 1

b₁² b₁ 1 ≠ 0 (2.2.2)

c₁² c₁ 1
(2.2.2) detirminant Vironiskiy detirminanti deb ataladi va doimo noldan farqli.

Demak A(a₁,a₂), B(b₁,b₂) C(c₁,c₂) nuqtqlardan o’tuvchi yagona parabola mavjud.

2.1§ da ko’rinadiki yarim evklid tekisligidagi sikl bu evklid tekisligidagi parabola ekan. Demak yarim evklid tekisligida bir to’ri chiziqda yotmagan har qanday uchta nuqtadan o’tuvchi parabola mavjud va yagonadir. R₂’ dagi parabolaga tegishli A,B,C nuqtalarni berilgan nuqtalar deb faraz qilsak ular orqali o’tuvchi parabola (sikl) ABC uchburchakka tashqi chizilgan sikl deb ataladi.

Chizmada ko’rsatilgan siklni 2.1-§ da keltirilgaan ta’rif bo’yicha ham chizish mumkin.

Buning uchun │AC│ kesmani berilgan kesma deb faraz qilsak bu kesma bir xil α burchak ostida ko’rinuvchi nuqtalar tuplami ABC uchburchakka tashqi chizilga siklni hosil qiladi [7]

Evklid tekisligida uchburchakka ichki chizilgan aylana uchburchak tomonlariga urinadi [5] Yarim evklid tekisligida ham uchburchakka ichki chizilgan sikl uchburchak tomonlariga urinadi. Urinma quyidagi shaklda bo’ladi. Chizmadagi AB tomonning biror F nuqtasida va AB hamda BC tomonlar orqali o’gan to’g’ri chiziqlarga E va D nuqtalarda urinsin.

Yarim evklid tekisligidagi siklga unga tegishli bo’lmagan C nuqtadan o’tkazilgan CE va CD urinma to’g’ri chiziqlarning│CE│ va │CD│ kesmalarning uzunliklari teng bo’ladi. Buni tezroq tushunish uchun evklid tekisligida berilgan aylana unga tegishli bo’lmagan M nuqtadan o’tkazilgan urinmalarning uzunliklari teng bo’lishini eslash yetarli.

ABC uchburchakning CM balandligi OY o’qqa parallel bo’lib DE kesmani M nuqtada teng ikkiga bo’ladi. Ya’ni CM ham balandlik ham mediana bo’ladi ABC uchburchakka AC+CB=AB ekanligidan AB-eng katta tomondir.

CD+CE=(CB+BD)+(CA+AE)=CB+BF+CA+AF=CB+CA+(BF+AF)=CB+CA+AB U holda CD=CE=

AE=CE-CA=a, BD=CD-CB=b, AF=AE va BF=BD u holda AF=a, BF=b bu munosabatlar D,E va F nuqtalarni joylagan o’rnini tuliq aniqlaydi. Endi har qanday vaziyatda ham DEF uchburchakka tashqi chizilgan uchburchak mavjud ekanligini ko’rsataylik bu yerda teng yonli DEC va FEA uchburchaklardan

Demak DEF=

Ikkinchi tomondan DFB uchburchakdan FDB= shuning uchun DB=a tomon DF vatar bilan FDB= burchak hosil qiladi.

Demak sikl nuqtalarni α= burchak ostida ko’rinuvchi nuqtalar tuplami deb qarash mumkin. Boshqacha aytganda nuqta o’zgarmas burchak ostida ko’rinuvchi nuqtalar tuplamini 1-bobda keltirilgan usulda topilsa sikl hosil bo’ladi. Ma’lumki [7] evklid tekisligida uchburchakka ichki va tashqi chizilgan aylana radiusini shu uchburchak tomonlari va yuzasi orqali ifodalash mumkin ya’ni shumunosabatlarni yarim evklid tekisligida ko’rinishlarini topaylik .Birinchi bobdagi sinuslar teoremasi (1,2,7)dan Bu yerda R tashqi sikl radiusi

R=

(A)dan,a=2AR,b=2BR,c=2CR larni topib

R=

R oxirgi tenglama ABC uchburchakning tashqi chizilgan sikl radiusini shu uchburchak yuzasi ham ichki burchaklari orqali ifodasidir
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
[1] Aleksandrov P .S., Лекйии по аналитеческой геометрии Москва

«Наук»1980 г

[2]. Dadajonov N.D. , Jurayev M.SH. Geometriya. 1-qism Toshkent. 1995 y

[3] Dadajonov N.D., Yunusmetov R., Abdullayev T. Geometriya. 2-qism

Toshkent 1989 У

[4]. Ефимов Н. В. Высше геометрия. М. «Наука» 1971 г.

[5] Latipov X., Tojiyev SH., Rustamov R. Analitik geometriya va chiziqli

algebra. Toshkent. “O’qituvchi”1993 y

[6].Karimov I .A “Jahon moliyaviy-iqtisodi inqirozi, O’zbekiston sharoitida

uni bartaraf etishning yo’llari va choralari” Toshkent 2009 y

[7]. Normanov A. Е. Geometriya asoslari. T. «O’zMU», 2003 y.

[8] Pagarelov A V. Geometriya. Moskva “Hayk”,1989 y

[9]. Яглом. И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова

геометрия Москва 1985 г.

[10]. Кори-Ниёзий., Аналитик геометрия курси, Тошкент. Укитувчи 1975

[11]. J.Israilov, Z. Pashayev. Geomtriya, 1 gism T. 2004.

[12]. К.Х. Абдуллаев и др. Геометрия 1-часть. Т-2002.

[13]. А.Д.Александров, Н.Ю.Нецветаев, Геометрия, М., «Наука» 1990 г.