O‘zbekiston respublikasi

Namunaviy mashqlar va ularning yechimlari

1. 
   misol. Ushbu f(x)=x³–x–1=0 tenglamaning ildizini oddiy iteratsiya usuli yordamida =0,01 aniqlik bilan toping.
   

Yechish. Ushbu f(x)=x³–x–1=0 tenglama [1;2] kesmada yagona ild- izga ega, chunki f(1) = –1 < 0 va f(2) = 5 > 0. Agar berilgan tenglamani x=x³–1 ko‘rinishda yozib olsak, (x)=x³–1 va (x)=3x². Bunda x[1;2] lar uchun (x)3, demak iteratsion jarayon uzoqlashuvchi. Agar berilgan

tenglamani

x  ³

x  1

deb o‘zgartirsak, u holda (x)= ³

^{x  1} va

^(x) 

¹ . Bunda

0  ^(x) 

^{ 1} tengsizlik barcha x[1;2] lar

4

uchun o‘rinli, demak iteratsion jarayon yaqinlashuvchi. Shunga ko‘ra

^xn1 ^{ 3}

x_n 1

iteratsion formuladan foydalanib ildizni topamiz. Topilgan

qiymatlar 1,0; 1,260; 1,312; 1,322; 1,3243 ekanligidan izlangan yechim

=0,01 aniqlik bilan =1,324 ga tengligi kelib chiqadi.

2. 
   misol. Ushbu
   

cos x  ¹ sin x  0

x

tenglamaning eng kichik musbat

ildizini oddiy iteratsiya usuli bilan beshta ishonchi raqam bilan aniqlang.

Yechish. Berilgan tenglamani ^{x  tgx} ko‘rinishda yozib olaylik. y=x

va y=tgx funksiyalarning grafiklarini chizib, dastlabki yaqinlashishni x₀ = 1,54,7 deb olishimiz mumkin, ammo bu hol uchun (x) = (tgx) = 1/cos²x  1 ekanligidan tanlangan iteratsion jarayonning uzoqlashuvchan- ligi kelib chiqadi. Shuning uchun bunda x = arctgx deb olish maqsadga muvofiq, chunki x ≠ 0 da (x)=(arctgx)=1/(1+x²)<1. Demak x_n+1 = arctgx_n formuladan x₀  4,7 uchun x  4,4934 yechimga kelamiz.

3. 
   misol. Ushbu sinx – 2x + 0,5 = 0 tenglamaning [0;/2] kesmadagi ildizini oddiy iteratsiya usuli yordamida =0,001 aniqlik bilan toping.
   

Yechish. Berilgan tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan x=0,25 + 0,5sinx = (x) tenglamaga almashtirib olamiz. Buning uchun x[0;/2] qiymatlarda (x)=0,5cosx va (x)0,5<1 o‘rinli. Demak x_n =0,25 + 0,5sinx_n iteratsion jarayon x₀ = 0,5 boshlang‘ich qiymat uchun ketma-ket 0,4897; 0,4852; 0,4832; 0,4823; 0,4819; 0,48175; 0,48165; 0,4816

qiymatlarni beradi. Bu yerdan berilgan tenglamaning talab qilingan aniqlikdagi yechimi x  0,4816 degan xulosaga kelamiz.