O‘zbekiston respublikasi

Mashqlar

Quyida berilgan tenglamalarni Nyuton usuli bilan yeching (bunda a, b, c,  parametrlarni o‘zingiz har xil qilib tanlash orqali turli variantlar hosil qilishingiz mumkin):

1. ^{tg(ax  b)  cx2  0} , a = 3.01; b = 4; c = –1;  = 10^-3.

2. ^{sin ax  bx3  cx  0} , a = 2.23; b = –3.14; c = 1.02;  = 610^-4.

3. ^{(x  a)2  bx  c  0} , a = –2.13; b = 1.47; c = –4.12;  = 10^-5.

4. ^{ax(bx  c)2  14  0} , a = 3.23; b = 1.2; c = 3.22;  = 410^-4.

5. 
   (x  a)³  b sin c^x
   

^{ 0} , a = –3.21; b = –1.45; c = 2.12;  = 210^-4.

5. 
   ^a
   

7.

^{ b lg x  0} , a = 2.06; b = –1.06;  = 410^-5.

^{ b coscx  0} , a = 2.07; b = 1.16; c = 1.02;  = 210^-5.

_8. ax³  b  c

^{ 0} , a = 1.11; b = –10.11; c=–2.03;  = 710^-5.

Izoh: Dastlab funksiyaning grafigini matematik paketlardan birida (Maple, Matlab, Mathcad, Mathematica va boshqa) yoki MS Excel dasturida chizing, haqiqiy ildizlar yotgan oraliqlarni aniqlab oling, hisoblashlarni qo‘lda va dastur yordamida bajaring.

5. Kesuvchilar usuli

Nyuton usulida f(x) funksiyaning hosilasini hisoblash hamma vaqt ham qulay emas yoki ba’zida buning imkoni bo‘lmaydi. Ana shu holda ikkita ketma-ket iteratsiyaning qiymatlaridan foydalanib, birinchi hosilani ayirmali ifodasiga (ya’ni urinmani kesuvchiga almashtirish) almashtirish orqali kesuvchilar usuliga kelinadi. Analitik usullar nuqtai nazaridan approksimatsiyalovchi sifatida oxirgi ikkita x_n va x_n-1 nuqtalar orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq olinadi, ya’ni urinmalar usulidagi hosila o‘rniga quyidagi ifoda olinadi:

f ' (x) 

f (x_n ) 

f (x_n1 ) _,

^xn ^{ x}n1

u holda kesuvchilar usulining formulasi quyidagicha yoziladi:

x  x 

^xn ^{ x}n1

f (x ) _.

n1

ⁿ f (x ) 

f (x

n1 ⁾

Bu yerdan ko‘rinib turibdiki, kesuvchilar usuli ikkiqadamli usul, ya’ni u ikkita boshlang‘ich nuqtalarning berilishini talab qiladi.
n

Usulning geometrik talqini 1.22- rasmda tasvirlangan. Dastlab tanlab olingan ikkita (x0,f(x0)) va (x1,f(x1)) nuqtalar orqali to‘g‘ri chiziqni absissa o‘qi bilan kesishgunga qadar o‘tka- zamiz va bu kesishish nuqtasining absissasi x2 funksiyaning f(x2) qiymatini beradi. endi bunday to‘g‘ri chiziqni (x1,f(x1)) va (x2,f(x2)) nuqtalar orqali o‘tkazib, navbatdagi x3 nuqtani topamiz va hokazo. Bu hisoblashlar Nyuton usulida keltiril gan uchta itera-

1.22-rasm. Kesuvchilar usulining geometrik talqinini ifodalovchi chizma.

tion jarayonlardan birortasi bajarilgunga qadar davom ettiriladi.

Ba’zi adabiyotlarda kesuvchilar usulini vatarlar usulining takomil- lashtirilgan holi deb ham atashadi.

Kesuvchilar usuli ikki qadamli usul hisoblanadi.

Usulning qulayliklari: odatda, kesuvchilar usulida iteratsiyalar soni urinmalar usuliga qaraganda ko‘proq bo‘ladi, ammo bunda har bir iteratsiya tezroq bajarilib boradi, chunki kesuvchilar usulida f '(x) hosilani hisoblash talab etilmaydi; shuning uchun kesuvchilar usulida iteratsiyalar usulida iteratsiyalar sonining ortib borishi bilan yanada yuqoriroq aniqlikdagi yechim topilishiga erishilib boriladi.

Usulning kamchiliklari: iteratsiyalarning yaqinlashishi nafaqat ildiz- dan uzoq nuqtalarda, balki uning kichik atrofida ham monoton bo‘lmasligi mumkin; hisob formulasidagi maxrajda turgan farq ildizdan uzoqroqda uncha ahamiyat kasb etmasligi mumkin, ammo ildiz atrofida funksiyaning qiymati juda kichik va ular bir biriga juda yaqin bo‘lganligi uchun ifodada bu ayirma nolga bo‘linishga olib keladi, ya’ni aniqlik yo‘qoladi.

Usulning algoritmi:

1. 
   [a,b] kesmani va  aniqlikni berish.
   
2. 
   Dastlabki ikkita yaqinlashish x₀ va x₁ berish.
   
3. 
   x₂ ni approksimatsiya formulasi bo‘yicha hisoblash.
   
4. 
   Funksiyaning shu nuqtadagi qiymatini hisoblash.
   
5. 
   Berilgan aniqlikni tekshirib ko‘rish; agar u bajarilsa hisobni to‘xtatish, aks holda navbatdagi qadamga o‘tish.
   
6. 
   x₀ ni x₁ bilan va x₁ ni x₂ bilan almashtirish va 3-qadamga o‘tish.