O’zbekiston respublikasi oliy va va o’rta maxsus ta’lim vairligi

II – tur egri chiziqli integralni xisoblash.

Aytaylik uzluksiz differentsiallanuvchi funktsiya orqali berilgan bo’lsin; u xolda

Agar parametrik funktsiyalar orqali berilgan bo’lsa,

Bu tenglikni fazoviy xolat uchun xam tadbiq qilish mumkin.(P, Q, R funktsiyalar (x, y, z) argument uchun qisqartirib yozildi)

Bu yerda L egri chiziq parametrik formulalar bilan berilgan.

II – tur egri chiziqli integralni tadbiqlari.

Integralni va vektorlar ko’paytmasi sifatida tassavur qilish mumkin.

U holda

Integral o’zgaruvchi kuchning M= M (x,y) nuqta ning L=AB egri chiziq bo’ylab A nuqtadan dan B nuqtaga o’tganda bajargan ishni ifodalaydi.
Agar A =B bo’lib L yopiq egri chiziq bo’lsa, integral

ko’rinishda belgilanadi.
Aytaylik Oxu tekislikda bir xil tarqalgan (ya’ni teshiklari bo’lmagan) D soha mavjud b-sin, u L= egri chiziq bilan chegaralangan ( ) , shu bilan birga P(x,y) va Q(x,y) D sohada va uning chegarasida xususiy xosilalari bilan uzluksiz funktsiyalar.
Teorema 1. A va B lar -D sohaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin, AmB va AnB –shu 2 nuqtani birlashtiruvchi qandaydir silliq egri chiziqlar. U holda quyidagi shartlar teng kuchli:
1. (Grin sharti)
2.
(ya’ni egri chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq emas).
3.
( yopiq yo’l bo’yicha olingan integral nolga teng)
4. ( qandaydir funktsiyaning to’la diferentsialini ifodalaydi)

Yuqori keltirilgan teorema shartlaridan 1 tasi bajarilsa, integralni Nьyuton-Leybnits formulasi orqali hisoblash mumkin (D sohasidagi (x₀,u₀) va (x₁,u₁) nuqtalarni birlashtiruvchi egri chiziq bo’yicha integral)

bu yerda uchun boshlang’ich funktsiya.
Boshqa tomondan U(x,y) boshlang’ich funktsiya egri chiziqli integral yordamida hisolanishi mumkin.

SHu shartlar bo’yicha yopiq kontur bo’yicha olingan egri chiziqli integralni ikki karrali integralni xisoblashga o’tkazadigan Grin formulasi o’rinlidir.

Aytish joizki, S=S(D) D sohaning yuzasi II tur egri chiziqli integral bo’yicha xisoblanishi mumkin.

Bu Grin formulasidan kelib chiqadi

49. funktsiyalar va

nuqtalar berilgan.

Egri chiziqlilar byicha hisoblansin.
1) L- OA kesma
2) L- OBA siniq chiziq
3) L- OCA siniq chiziq
4) L- o’qqa nisbatan simetrik va O va A nuqtalardan o’tuvchi parabola
5) Grin shartlari bajarilishini tekshiring.
Yechish: Integrallash yo’li quyidagi chizmada ko’rsatilgan:

1) OA kesma y=2x , orqali ifodalanadi; U holda dy=2dx va

2) Alohida OB va BA bo’yicha integralni olib qo’shamiz
a) OB uchun y=0, ya’ni dy=0 bundan

b) BA uchun x=3, 0 dx=0

Nihoyat

3) Bu integralni yuqoridagi kabi xisoblaymiz.
a) OC: x=0: (ya’ni dx=0),

b) CA : 0 y=6 , dy=0 , demak,

Nihoyat

4) ga A(3:6) nuqtalarni qo’yib parobola tenglamasini topamiz bunda va

5. ya’ni Grin sharti bajarilmayapti.
50-misol.
va A(9;4) B(9;0) C(0;4) nuqtalar berilgan. Egri chiziqli integral xisoblansin.

bu yerda:
1) L – OA kesma
2) L – OBA siniq chiziq
3) L – OCA siniq chiziq
4) L – o’qqa nisbatan simmetrik porabolaning O (0;0) A (9;4) nuqta larni birlashtiruvchi qismi.
5. Grin shartini tekshiring.
51.Misol:

O(0;0) , A (2;6) , B (2;0) , C (0;6) xar xil yo’llar orqali:
1) L= OA
2) L= OCA
3) L= OBA
4) L- y= parabolaning OA yoyi
52- misol.

O (0;0) , A (2;1) , B (2;0) , C (6;1) xar xil yo’llar bo’yicha egri chiziqli integral xisoblansin.
1) L- OA kesma
2) L- O va A nuqta dan o’tuvchi o’qqa simetrik parabola
3) L- ga simmetrik va OA nuqta lardan o’tuvchi parabola
4) L- OBA siniq chiziq
5) L- OCA siniq chiziq.
53- misol.
Integralni xisoblang.

L- Elipsning soat strelkasi yo’nalishidan yuqori qismi.
Yechish:
Elipsning parametrik tenglamalaridan foydalanamiz.
Integralga qo’ysak. (t- 0 ga qadar o’zgaradi).

54-misol
Xisoblang.

L- A (R;0) dan B (0;R) ga o’tuvchi X=R Cos³t y=R Sin³t paremetrik tenglamalar bilan berilgan egri chiziq yoyi.
55-misol.
Xisoblang.

L- (0;0) dan ( ) nuqta ga o’tuvchi sinusonda yoyi.
56-misol.

L- t/chiziqning A (a; 0) va V (0; v) kesmasi.
57-misol.

ellipsning (soat strelkasiga teskari) musbat yo’nalishi bo’yicha integralni xisoblang.

58-misol.

t- 0 dan 2 gacha vint chizig’i yoyi bo’yicha xisoblang.
Yechish:
Avval o’zgaruvchilar differentsialini topamiz. . Integral ostidagi ifodani t orqali belgilaymiz.

59-misol.
Hisoblang.

L-
Tenglamalar bilan berilgan.
60. L- (0;0), A(2;8) nuqtalarni birlashtiruvchi parabola yoyi bo’yicha integralni hisoblang.

61. Hisoblang.

L- parametrning kamayish yo’nalishida
.

62.

Integral integirallash yo’nalishiga bog’liq emasligini ko’rsating.
Yechish: Aytaylik ,
Sharti o’rinli bo’ldi. OB kesma y=x, x [0;10] dy=dx



64. Hisoblang.


65. Hisoblang.


66. Hisoblang.
L-C(2;3;-1) va D(3,-2,0) nu nuqtalarni tutashtiruvchi to’g’ri chiziq kesmasi.
Yechish: Bu kesma uchun to’g’ri chiziq tenglamasini tuzamiz.




Javob:

67.Hisoblang.

L-C(4;0), D(0;2) nuqtyalarni tutashtiruvchi egri chiziq.

1. 
   CD- To’g’ri chiziq kesmasi
   
2. 
   CD- Ox ga nisbatan simmetrik parabola
   
3. 
   CD- OY o’qqa nisbatan simmetrik parabola
   
4. 
   CD- markazi koordinata boshida bo’lgan ellips yoyi.
   

To’la diferensialdan iborat integralni hisoblang (68-71).
68.

69.

70.

71.

72.

Ifoda to’la differensialliginia tekshiring va U(x,y) funksiyani toping.
Yeshish: P=3x²y+ , Q= x³-
=3x²- , =3x²- y 0
Tenglik sharti bajarilmoqda ( ) Demak yuqoridagi ifoda qandaydir U(x,y) funksiyadan olingan to’la differensial va uni egri chiziqli integral sifatida topamiz.

Bu yerda (x₀,y₀) – tekislikdagi o’qda yotmaydigan tayin nuqta Masalan (x₀,y₀)=(0,1) L=ABC sifatida rasmda ko’rsatilgan yo’lni tanlaymiz. U holda qisqacha quyidagicha yozishimiz mumkin.
1) (A,B): y=1 ya’ni

2) (BC) : x-tayin nuqta, dx=0

3) Demak
Tekshirsak dU=d(x³+ )= (3x²y+ )dx+( x³+ )dy
Integral ostidagi funksiyaning boshlang’ich funksiyasini topish orqali egri chiziqli integralni hisoblash (73-76)

73.

74.
y
75.
, (x+y)
76.

Fazodagi egri chiziqlar konturidan olingan egri chiziqli integrallarni hisoblang. (77-78)
77.
, bu yerda vint chizig’i o’rami.
78.
tenglama bilan berilgan aylana
to’la differensialdan olingan egri chiziqli integral hisoblansin(oldindan boshlang’ichini topib hisoblang ).
79.

80.

81.

82. Grin formulasi yordamida egri chiziqli integralni ikki karraliga o’tkazib hisoblang.

L-ABCD to’g’ri burchakli to’rt burchak, bu yerda A(1,1) , B(7,1), C(7,4), D(1,4)


Yechish: P= , Q= y[xy+ln(x+ )]
=y[(y+ (1+ )]=y[y+ ]=y ;
,
Demak Grin formulasi yordamida egri chiziqli integral y² bo’yicha ABCD to’g’ri burchakli to’rtburchak orqali olingan ikki karrali integralga teng.

83.Grin formulasi yordamida hisoblang.

Bu yerda L- ABCD konturi A(1,1), B(2,2), C(1,3) olingan natijani egri chiziqli integralni hisoblash yordamida tekshirish.
To’la differensiallar bo’yicha funksiyani topping (84-88).
84. du=x²dx+y²dy
85. du=u(x²-y²)(xdx-ydy)
86.
87.
88.
Grin formulasi yirdamida egri chiziqli integralni hisoblang.(89-92)
89.
L :(x-1)² +(y-1)²=1 aylana bo’yicha soat strelkasiga teskari yo’nalish.
90.
, L- ellips
91.
, L-x²+y²=ax aylana
92.
, va nuqtalarni tutashtiruvchi - =1 giperbola yuqori qismli yoyi va AB kesmani tutashtiruvchi to’g’ri chiziq qismi.
93. Egri chiziqli integral yordamida ellips yuzasini hisoblang.
Yechish: ellipsni parametric ko’rinishda yozamiz:

Quyidagi chiziqlar bilan chegeralangan fugura yuzalarini hisoblang (94-98)
94. Astroida
95. Kardioida
96. Dekart yaprog’i tuguni
97. Tugun (x+y)⁴=x²y
98. Bernulli lemniskatasi
99. C(a,0) dan B(-a,0) nuqtaga +
Ellips orqali o’tishda kuchli maydonda material nuqtaning bajargan ishini hisoblang.
Yechish: kuchli maydonda M nuqtaning CB chiziq bo’yicha bajargan A ishi
ga teng. CB ellips yoyini quyidagicha yozamiz va

100. kuch berilgan. Material nuqtaning A(9,4), B(-9,4), C(-9,-4), D(9,-4) uchli to’g’ri to’rtburchak konturi bo’yicha harakatlangandagi A ishini hisoblang.
101. kuchning + =1 ellips bo’yicha harakatlangandagi A ishini hisoblang.
102. kuchning uchlari A (2,-6), B(2,6), C(-2,6), D(-2,-6) bo’lgan to’g’ri to’rtburchak bo’yicha bajargan ishni toping.
103. kuchning ellips bo’yicha bajargan ishni toping.