Ozbekiston respublikasi oliy va

112

---

M a sa la n , 3 = 3 ,0 0 0 0 0 ..
_ 3 ,00000000... J4___________
_28___
10,214285714...
20
14
_ 60
56
_4°
28
_
12
°
112 
_80 
70 
_
100 
9 8 ,
_
20 
14 
60
Shunday qilib, 3/14 = 0,214285714 ...
Bo'lish davomida chiqqan barcha qoldiqlarni ketma-ket yozib 
chiqamiz: 2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6 ... Bu qoldiqlarning barchasi 
bo‘luvchidan, ya’ni 14 sonidan kichik. Bu bo‘ lishning qaysidir qismida 
ilgari uchragan qoldiq yana albatta uchrashi kerakligini bildiradi. Bizda 
yettinchi qadamda 2 qoldiq hosil bo'lib, u birinchi qadamda paydo 
bo£lgan edi. Bundan tashqari, ilgari uchragan qoldiq paydo bo'lgan 
zaxotiyoq undan keyingi qoldiqlar ular awal qanday tartibda bo'lsa, 
shunday tartibda takrorlanadi. Bizning misolimizda 2 qoldiqdan so'ng
6 qoldiq, undan keyin 4, undan keyin 12 keladi va hokazo, ya’ ni biz 
qoldiqlarning quyidagi ketma-ketligini hosil qilamiz: 2, 6, 4, 12, 8, 
10, 2, 6, 4, 12, 8, 10, ... . Davriy takrorlanuvchi qoldiqlar guruhi mos 
ravishda sonning o'n li yozuvidagi davriy takrorlanuvchi raqamlar 
guruhiga olib keladi, ya’ ni 3/14—0t2 142857142857142857... . Sonning 
o'nli yozuvida verguldan keyingi ketma-kct takrorlanib keluvchi bunday 
raqamlar guruhi davr deb ataladi, o'z yozuvida ana shunday davrga 
ega bo'lgan chekli o'nli kasr davriy kasr deyiladi. Qisqalik uchun davmi 
bir marta qavs ichiga olib yozish qabul qilingan:
0,214285714285714285714...=0,2(142857). Agar davr verguldan keyin 
boshlansa, bunday kasr s of davriy kasr deyiladi, agar vergul va davr
8 — S. Alixonov
113

---

orasida boshqa o‘ nli xonalar boisa, kasr aralash davriy kasr deyiladi. 
Masalan, 2,(23)=2,2323232323... — sof davriy kasr, 0,2(142857) — 
aralash davriy kasr, 2,73=2,73000000... = 2,73(0) aralash davriy kasrdir.
15-§. Cheksiz davriy o‘ nli kasrni oddiy kasrga aylantirish
Cheksiz o ‘ nli kasrni 10, 100, 1000 va hokazo ko'paytirish uchun 
chekli o'nli kasr holatidagi kabi vergulni bir, ikki, uch va hokazo 
xona o'ngga surish kifoya. Masalan, 0,1 (23)'100= 0,123232323... • 100=12, 
32323232...= 12,(32). Davriy o'nli kasrni oddiy kasrga aylantirishni 
quyidagi misollar orqali ko'rib chiqaylik.
1. 
Sonni oddiy kasrga aylantiring: a) 0,(13),; b) 2,(273); d) 0,2(54); 
e) 3,254(9).
Y e c h i s h : a) x= 0 ,13=0,131313... boisin. Sof davriy kasr x ni 
shunday songa ko'paytiramizki, natijada vergul kasr davri qadar o'ngga 
suriiadi. Davrda ikkita raqam boigani uchun vergulni o'ng tomonga 
ikki xona surish kerak, buning uchun esa x sonni 100 ga ko'paytirish 
yetarli, u holda 1 0 0 *= 0 ,131313...1,00=13,13131313...= 13,(13);
1 0 0x-x=I3 ,(1 3 )-0 ,(I3 ). Demak, 99x= 13, bundan
b) x=2,(273) bo'lsin. Bu sof davriy kasrning davrida uchta raqam 
bor. xn i 1000 ga kokpaytirib, 1000x=2273,(273) ni hosil qilamiz. Xuddi 
yuqoridagiga o'xshash Lopumiz:
2271
1000* -*= 2 2 7 3 ,(2 7 3 )—2,(273), 999* = 2271, bundan * = 
=
УУУ
= 757 = 
91 
333 
333
d) x=0,2(54) boisin. Bu aralash davriy kasrda vergulni o'ng tomonga 
shunday suramizki, natijada sof davriy kasr hosil boisin. Buning uchun 
x ni 10 ga ko'paytirib qo'yish kifoya. 10x=2,(54) ni hosil qilamiz.
y=2,(54) bo'lsin va yuqoridagilarga o'xshash bu sof davriy kasrni oddiy 
kasrga aylantiramiz. >^2,(54) bundan 100^254(54), lOOy—j=254(54)-2,54,
qq 
w
252 
28 J 
i 
28 
v 
^ 
28 
11
99^=252, 
demak, 10jt= — ’ bundan ^ =
e) x = 3 ,254(9) deb 1000x=3254(9)ni hosil qilamiz. >>=1000x 
belgilashni kiritamiz, u holda y=3254,(9), bundan 10у->я=32549(9)-
114

---

3255 
51
3254(9); у=3255, 1000*=3255, х = —
= 3 —
.
Endi quyidagiga e ’tibor beramiz. —
= 3,255 = 3,255(0) chckli
o'nli kasr yoki davrida nol bo‘lgan cheksiz kasrni hosil qilamiz.
Demak, 3,254(9)=3,255(0). Bu hoi davrida to‘ qqiz bo‘lgan istalgan 
kasr ko‘ rinishida yozish mumkin. Buning uchun davr oldidagi o ‘ nli 
raqamni bir birlikka orttirish kifoya. Masalan, 0,45(9)=0,46(0); 14,(9)=
- 15,(0).
16-§. Irratsional son tushunchasini kiritish 
metodikasi
0 ‘quvchilar V I I sinfda birinchi marta irratsional son tushunchasi 
bilan tanishadilar. 0 ‘ qituvchi bu mavzuni tushuntirishdan oldin 
o'quvchilarga kvadrat ildiz va arifmetik ildiz tushunchalarini tushun- 
tirishi, so‘ngra irratsional son tushunchasini quyidagi masalani yechish 
orqali kiritishi lozim.
Masala. Katetlari bir birlikka teng bo'lgan to'g'ri burchakli uchbur­
chakning gipotenuzasi topilsin (20-chizma).
Be r i l g a n: ДABC, Z C  = 90% CB=AC= 1.
Top ish kerak: AB — ?
Y e c h i s h . Pifagor teoremasiga ko'ra: AB2 — 
A 
=A C2+ СВ2, AB2= \ 2+ 17=2.
Masalaning yechimini quyidagicha o'qish 
mumkin. Shunday AB soni topilsinki, uni kvadratga 
ko'tarilganda 2 soni hosil bo'lsin. Bunday AB son 
ratsional sonlar to ‘ plamida mavjud emas. A 
nuqtadan AB ga perpendikular A A =  1 katetni 
o ‘ tkazib, uning A x nuqtasini В nuqta bilan 
birlashtirib, A yB ning qiymatini hisoblaymiz:
А1В1=АВг+\2- A XW = 2+1=3; А{В*=Ъ soni ham
ratsional sonlar maydonida mavjud emas. Yuqoridagilardan ko'rinadiki, 
ratsional sonlar to'plamida mavjud bo'lmagan yana qandaydir sonlar to'plami 
ham mavjud ekan, ya’ni AB2=2‘, А{Вг=Ъ,...
Yuqoridagi mulohazalarga ko‘ra AB1- 2, /4^=3,... ko'rinishdagi sonlarni
ratsional bo'lmagan yoki irratsional sonlar deb ataldi va ularni A B =4 2 , 
ЛЯ=\/3, ... kabi belgilash qabul qilingan.
115

---

р
Ta’rif. ~ kasr ko'rinishida tasvirlab bo‘lmaydigan sonlar irratsional
sonlar deyiladi. (jp, q) e N.
Bu yerda o'quvchilarga yana shu narsani tushuntirish kerakki, har 
qanday ratsional sonni cheksiz davriy o ‘nIi kasr £o‘rimshda ifodalash 
mumkin, irratsional sonni cheksiz davriy o ‘ nli kasr ko‘ rinishida ifodalab 
boimaydi, bunga quyidagi misollarni ko‘rsatish mumkin.
1. \/5 = 2,360679... bundagi 41 irratsional son cheksiz davriy b o i- 
magan o ‘ nli kasr ko‘ rinishida ifodalanayapti.
2. yj2 = 1,41— bundagi V2 irratsional son ta’rifini yana quyidagicha 
keltirish mumkin.
Ta’ rif. Cheksiz davriy o'nli kasr ko'rinishida ifodalab bo'lmaydigan 
sonlarni irratsional sonlar deb ataladi.
Т е о re m a . Kvadrati 2 ga teng bo‘ lgan ratsional son mavjud emas.
Bu teoremaning isbotini teskarisidan faraz qilish y o ii bilan isbot- 
laymiz, chunki \2<2<22 butun sonlar to‘p!amida u kvadrati 2 ga teng 
bo‘ lgan son mavjud emas.
p
Isboti. Faraz qilaylik, ~ ko‘ rinishidagi qisqarmas kasr mavjud boisin, 
r va q — natural sonlar. Faraz qilaylik, kvadrati 2 ga teng boigan ratsional
son mavjud boisin, ya’ ni:
V '2
2, bunda 
pl~ 2 q 2, 
bunda 
r 
ning ham
ikkiga boiinishi kelib chiqadi. Agar r ~ 
In  
boisa, 4
n 
= 2q2 2n = q2 
boiadi, bundan q ning ham jul't son ekanligi kelib chiqadi. Farazimizga
P 
P
ko‘ ra, ~ kasrni qisqarmas kasr degan edik, isbotning natijasida esa ~
kasr qisqaruvchi kasr b o iib chiqmoqda, bunday qarama-qarshilik 
farazimizning noto‘g‘ ri ekanligini tasdiqlab, teorema to‘g‘ ri ekanligini 
ko'rsatadi.
Yuqoridagi ta’rif va isbot qilingan teoremalardan ko‘rinadiki, kvadrati
2, 3, 5, 7, 10, 11 iarga teng boiadigan ratsional son mavjud emas ekan, 
biz ta’rifga ko‘ra bularni irratsional sonlar deb atadik. Bunday irratsional
sonlarni f2 , л/3, VI, ~ kabi belgilash qabul qilingan. Ularga qarama-qarshi 
boigan 
sonlar 
ham irratsional sonlar boiib, ular -y/2, ->/3, -V5, ~