Ozbekiston respublikasi oliy va

2)2
=| 
ax
-
2
|* 
0
bo'lishi kerak.
ax_( a^_z 2 f = 
a x _ ax + 2 = l
\ax - 2
1
a) agar 
a*>2
bo'lsa, 
ax~ax+2=l
tenglama yechimga ega emas.
•
j
b) agar 05-misol. 2 log
2
b
- 3 log* 
bx1
+14 log
^^.2
bx = 0
tenglamani yeching.
л
1
Y e c h i s h . * > U, 
va £ > 0 > a
8
ar 
l°g b—y
desak, 
2y2—3y+
b
, , 
.
3 ± V 9 ^ 8
3 ± 1
1 , 
, 
,
+
1
=
0
, 
y U2
= ------ - ------ = —
; 
у ,=
1
,У
2
=
2
 > 
l°&x b
 = 
1
.
bundah 
= 
b,
log* 
b
= ^ bundan x
2
= 
4b.
2
. 
j 
d
A
6
-misoI. “
x
”
1
+ 
tenglamani yeching.

---

Y e c h i s h .
- lg
2
 
x
= lg 
x
 + a; - lg
2
 
x
 - lg 
x -
a =
0
;
a 
a
lg 
x = 
y; 2y 2 - a y - a 2
=
0
,
a
± 
\la2 +
8
a2 
a ± 3 a
a
y l 2
------------ 
y ^ a, y 2 -
2>
lg x 
= 
a, x 
= 
10
a; 
lg x = i- - ^ , 
x =
 
10
 
2.
M USTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
1-m isol. 
21ogx a 
+
logaxa + 31oga2x a * 0 , 
a * \ ,
a>Q
te n g la m a n i
*\ 
1
1
yeching. 
Javobi: x i ~ 
> 
x 2
~ a
3
j
^ '
log
3
4 - 2
_ l o g a( 5 - x )
, 
n 
,
2-mls«l- !оь
7 7
+
2
) _
1
о
8
, ( х + 
2
) " ' 
’ 
a *
 
tenglama yechilsin.
Javobi: x = 2
 
.
3-misol. 
“ > "• 
a *
1 t«"8lama yechMn.
a 2 ( a + 4)
Javobi: x
 = —
x
— — .
a1
+ 4
14-§. Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar
sistemasini yechish
\фс + у =5,
I (x + 
y ) ■ 2X =
 
100
1
-misol. 
, 
4
 
_ m n tenglamalar sistemasini yeching.
Y e ch ish . Sistemadagi birinchi tenglamaning har ikki tomoni 
x
darajaga
ko‘uriladi:
204

---

\х + у = 5х ,
{(х + у) ■
2х =
100
.
(5х ■
 2х
= 100) =» (10х = 102) => (х = 2).
(2 + у = 52) => 
у
= 2 5 - 2 = 23. 
Javobi: х = 2, у
= 23.
2
-misoI.
243
<1Ш
а
=
( 2
з х
tenglamalar sistemasini yeching.
Y e c h is h . Sistemadagi ikkinchi tenglamaning har ikki tomoni 
у
darajaga 
ko‘tariladi:
243,
1024 = | 
x
x> = 243,
1024 =
И
243,
102 4-1 j
(243)
x ' = 243,
2
3
= 243,
.10
=>
\x y
= 243, 
Jx* = 243,
[2
у =
10
Ь = 5
4 " i
3-misol.
Уу =х,
y 3 = x 2
tenglamalar sistemasini yeching.
Y e c h i s h . Sistemadagi birinchi tenglamaning har ikki tomoni; 
i 2
у
darajaga, ikkinchi tenglamani esa 
у
darajaga ko'tariladi:
\y 2x = x 2y
у 2 х = у 1У; 
у ф
 
1 
boMsa> 2x = 3
y , x = y , x m
1
У ' = л ■ 
L
bu topilgan qiymatini sistemadagi ikkinchi tcnglamaga qo'yiladi:
205

---

У
н
3 
9
2
^
f з
9
2 
л I 
2
-
” 
1
у - —у
= 
0
\=> y 1
4■
H ) - «
9 
27 
9
^
1
,
2
=
0
, 
^3
=
4
. 
*
1,2
= 0 > 
х з = у >
>'3
= 
4
- 
'
Г 9 - 5 * + 7 - 2 * ^ =457,
4-misol. 
jg
5
x 
^4
2
х
+
у
-
-890 
tenSlamali sistemani yeching.
Y e c h is h . 5
x=a, 2x+y=b
desak,
9a + 7b = ^
[ 6 a - \ 4 b
(5-t= l)= ( 5x=5')=(x=0); 
2*=64=26; 
y=
6
. 
Javobi:
x=0, 
y=
6
.
= 457, 
j
a
= 1 
■
= -890 ^
= 64,
*v
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
\3x+y+3x +3y
= 7 , 
L [З2^ + 
3x+2y
=12.
Javobi:
Xl =
0
, y, = 
1
,
x
2
=
1
, 
0
-
2 - 9 * +
9
* =
5
* 5-^,
\2-3x-y - 5 y-x =3 - 9 x.
Javobi: x
y = ~ ^ '
( 3 x - y ) * +y
= 4 ,
1
4Sx+y = 7x2 - I 8 x y + 3y2.
r 
L .
 
5 
1
Javobi: 
x
= —, у = - —.
4 
4
4.
\ x - 2 x-y+l+3 y - 2 2x+y
=
2
, 
[
2
х -
22
^ + З у -
8
^ =
1
.
Javobi:
x = l, 
у = —1.
5.
= 3 2 # 7,
<1
у
=
з
х^
.
[\oga x + ioga у = 2,
5' 
[log
6
x - l• log* У = 4.
x, = -2 , л = 4,
Javobi:
x
2
^
I
2 
2
2
2
Javobi: x - ab2 У -
■
206

---

Г 
(1
+ log* y )lo g
2
x = 3
Xj =
2
, 
Л - 4 »
7‘ [ l o g ^ ( / x 2) - 0 , 5 1 o g ^ / = 2 .
Jwobi: 
y2 = - ± .
8
.
x • log
2
1 • logj^ 
4 
= 
y j y
(log* 
4 
-
2), 
з
* 
Javobi:
v _ o
5
„ _ os
logy 4 • log^j 
x
= 
2. 
x 2 
> У
 
2
•
flog
2
xy + 4
log4(x -
y )
= 5, 
jc, = 
4
, y, = 
2
.
9- 1 
/ои 4,; x , = 2 , Л = 4.
TlogyX + lo g ^ J = 
2
,
1 0 1 
x
2
- д> = 20. 
Javobi:
x = 5, 
y —
5.
Г к ^ ( х + .у) = 
0
t- llo g x
3
, ( y - x ) = l.
3 - V 5
- l + >/5
1L lloe-.C v - x l = 
1
. 
Javobi: x = - ^ — >
У =
2
 
2
12
.
lg2 — = 3 lg2 x - l g 2 
xi ~ l>
yl = 4,
^
Javobi:
v _ A 
v - ?
lg ( y - 3 x ) - l g x lgy 
= 0. 
2
2 
2
{ 
i&
. W
=
xm
,
|lg (x + y) = lg 40 - lg(x - y). 
Javobi. 
X
1, у
3.
f 
У -2y =516,
14- [log^Cy - x) = 4. 
Javobi: x
=
2, 
У 
=
6
.
15-§. Ko‘rsatkichIi va logarifmik tenglamalarni
graiik usulda yechish
1
-m isol. 
2
Jr+l —x-
2X—
1=0
tenglamani grafik usulda yeching.
Y e c h i s h . Tenglamaning chap tom onida berilgan 
y=2**1—
x-2*—1=0 
funksiyaning grafigini chizish murakkabdir, shuning uchun bu tenglamani 
quyidagacha yozib olinadi: 
2
x+l-x -
2
jr= l.
207

---

Bu tenglamaning har ikki tomoni 2**0 ga bo'linadi. Natijada 
2—x=2 x
hosil bo'ladi. 
y= 2—x
va 
y=2 x
funksiyalarning grafiklari (
22
-chizma) koordinata 
tekisligida ehizilsa, ularning kesishish nuqtalarining absissalari berilgan 
tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Javobi: x = —2, x2=
1
,7.
2- misol. 
3/og2(x+2)+2x— 3—0
tenglamani grafik usulda yeching. 
Y e c h is h . Berilgan tenglamaning 
3iog2^x+2)=3—2x
ko'rinishida yozib
olib, tenglikning har ikki tomonida turgan 
y=3log3(x+2)
va 
y= 3—2x
funk­
siyalarning grafiklarini koordinata tekisligida yasaymiz (23-chizma). Bu 
graflklar kesishish nuqtasining absissasi berilgan tenglamaning yechimi bo'ladi. 
Javobi:
x=0.
3-misol. lg|jc|-x
2
-5 = 0 tenglamani grafik usulda yeching.
Y e c h is h . Berilgan tenglama quyidagicha yozib olamiz: 
lgx=x2~5. y=lgx
va 
y=x2—
5 funksiyalarini koordinata tekisligida grafiklarini yasaymiz 
(24-chizma).
Bu graflklar kesishish nuqtalarining absissasi berilgan tenglamaning 
yechimi bo'ladi.
Javobi: x^= 41
, x
2
=- J
5
.
208

---

4-misol. 2 — 
x — 5lg(3
— x) = 0 tenglamani grafik usulda yeching. 
Y e c h is h . Berilgan tenglamani 
y=2'x
va 
y=5lg(3~x)
ko'rinishda yozib, 
ularning grafiklarini koordinata tekisligida yasaymiz. Bu grafiklar kesishish 
nuqtalarining absissasi berilgan tenglamaning yechimi bo'ladi (25-chizma).
Javobi:
x ,= -l,5 . 
x=l , 9.
j
xy + x - 2
= 
0
,
5-misol. | x - l o g 2(y + 
1
) = о tenSlamalar sistemasini grafik usulda 
yeching.
Y e c h is h . Berilgan tenglamalar sistemasi quyidagi ko'rinishda yozib 
olinadi:
\xy = 2 - x ,
|lo g 2(y + l) = x =>'
y = .
2
- x
X
y +
1
= 
2
*
У = - ~
1, 
x
y = 2x - I
У ~ ~ ~
1
va 
У=2Х
—1 funksiyalaming grafiklari koordinata tekisligida 
chiziladi (26-chizma).
У+'?~х
~ 
1
\
/У=2х-1
J
-x__ 0
14 - S. Alixonov
209
26-chizma.

---

Ularning kesishish nuqtalarining absissasi tenglamaning yechimi bo‘ladi. 
Javobi: x —
1, 
у
= 1.
16-§. Trigonometrik tenglamalar
1
. 
sin x = a ten g lam ada |a|< l b o ‘lsa, u
x = { - \) k&Ksma+nk, 
k e Z
yechim ga ega bo'ladi. Xususiy holda
a) agar sin x = 0 bo 'lsa, x =
nk, k&
Z;
b) agar sin 
x =
1 bo 'lsa, x
= j +2nk, keZ ;
i
d) agar sin x =
-1
b o 'lsa, x = - y
+2nk, keZ;
e) agar sin2x =
a
bo 'lsa, x = ± a rc sin
4a
+
nk, ke Z .
Misol. 2 s i n ^ + x |+
41
= 0 
Y e c h is h :
tenglamani yeching.
«V
2 s in
[ + x
]+n/3 = 0
<=> sin I
' n
—
+ 
X
L 
I 4 
J
4
2
<=>
К 
/ л\к
.
— + x = ( -
1
)* arcsin
4
/
й)
j
+ n k
<=>
)
<=>
t * ( x = ( - l ) k+l- l - l + Kk), k e Z .
3 
4
2. 
cosx=a tenglamada |a|keZ\
yechimga 
ega bo'ladi. Xususiy holda:
7Г
a) agar cos x = 
0
bo'lsa, x = — 
+як, k e Z
;
b) agar cos x = 1 bo'lsa, x = 
Ink, ke
Z;
d) agar cos x = 
- 1
bo'lsa, 
x = n +2nk, keZ;
e) agar cos2x = 
a
bo'lsa, x = ±arccos
4a +nk, keZ.
210

---

M iso l. c o s | 
2 X ~ 2
I-
^ ~ ^ tenglamani yeching.
Y e c h is h .
cos
\ x