Ozbekiston respublikasi oliy va

у = 
ax2 + bx = a{ x2 + - x + 
a \x 2 + 7 — x + -
a 
a )
I 
2a 
a
= 
a
x
+
2
a
b2 
b
Y* x ___ _ __
2 
a
л T 
_
Aa 
Aa
i t
Z
»2
- Aac
2 
a J
Aa2
с 
■ + -
= 
a
x + -
b
Y 
b2 - Aac
2 a
Aa
x 2 + 4 x - 3 = 2 l x 2 + 2 x - ^ l = 2 f x 2 + 2 x + 1 - 1 - 1
Misol.
= 2((x + l)2 - | ) = 2(x + l)2 - 5 .
Kvadrat uchhaddan to'la kvadrat ajratishni tushuntirilganidan so'ng 
kvadrat tenglama tushunchasini abstrakt-deduktiv usul orqali kiritiladi.
168

---

Ta’rif. ax2+bx+c=Q (1) ko'rinishdagi tenglama kvadrat tenglama
deyiladi, bunda a, b, с berilgan sonlar, 
a*0, x noma ’lum sondir.
Bu tenglamaning ildizlarini topish uchun tenglikning chap tomonida
turgan kvadrat uchhaddan to'la kvadrat ajratiladi, ya’ni
(
2
) tenglama (
1
) tenglamaga teng kuchli tenglamadir. (
2
) haqiqiy
(1) ning diskriminanti deyiladi va u D = № — Aac kabi belgilanadi.
1) 
Agar diskriminant D=b2 — 4ac>0 bo'lsa, (1) tenglama ikkita
haqiqiy har xil yechimga ega bo‘ladi. Bu yechimni (2) tenglamadan
topa olamiz:
2) 
Agar diskriminant D =№—4cc<0 bo'lsa, (1) tenglama haqiqiy
sonlar to‘plamida yechimga ega emas.
3) Agar diskriminant D =b2—Aac=0 bo‘lca, (1) bitta haqiqiy
yechimga ega bo'ladi: x{ = x2 =
2a
Maktab matematika kursida to‘la kvadrat tenglama koeffitsiyentlariga
ma’lum shartlar qo‘yish orqali chala kvadrat tenglamalar hosil qilinadi.
Agar (1) b= 0 va c=0 bo'lsa, ax2+ b x + c= 0 tenglama ax1=0
ko'rinishni oladi, uning yechimi jc=0 bo'lgan x,=x2=0 bo'ladi. Agar
b=
0
bo'lsa, ax2+bx+c=0 tenglama ax2+c=0 ko'rinishni oladi, uni
С 
С 
С
yechilsa, x 2 = — bo'ladi, agar -
< 0
bo'lsa, —
>0
bo'ladi, bunda
a 
a 
a
ax2+c= 
0
tenglama haqiqiy sonlar to'plamida yechimga ega bo'ladi,
 
С 
с
ya’ni xu2 = ± J -. Agar - > 0 bo'lsa, ax3+c=0 tenglama haqiqiy sonlar
to'plamida yechimga ega emas.
b^ 4 ac
yechimga ega bo'lishi uchun------
5
— ^ 
0
bo'lishi kerak. Bundagi & — Aac
A a
169

---

4) 
Agar c= 0 bo'lsa, ax2+bx+c=0 tenglama ax2+bx=Q ko'rinishni
oladi, uni yechilsa
(ax
2
+
6
x
)=0
=> x(ax+b
) = 0
x = 0
b yechimlari hosil qilinadi.
x =
a
ax2+bx+c
= 0
ko'rinishdagi tenglama ildizlarini yana quyidagi usul
bilan ham hisoblash mumkin. Berilgan tenglamani ax
2
+Z>x= —с
ko'rinishda ifodalab, uning har ikkala tomonini 4a ga ko'paytiriladi,
natijada 4a2xl+4abx=—4ac tenglik hosil bo'ladi. Hosil bo'lgan tenglikning
har ikki tomoniga b2 ni qo'shilacfi: 4a2c2+4abx+b2=b2—4ac bundan:
фах+ЬУ^Ь1—'4ас.
Agar D -b 2-4ac>ti bo'lsa, bu tenglikning har ikki tomonidan
arifmetik kvadrat ildiz chiqarish mumkin:
(
2
ax + b) = л!ь2 - 4 ас.
Bunda ikki hoi bo'lish mumkin:
%
1) 
agar 
2 a x + K 0
bo'lsa, 
- { l a x
+ 
b) 
= 
J b 2 - 4 ac,
;
»
2
) agar 
2 a x + b > 0
bo'lsa, 
2
ax
+ 
b
= 
-Jb2
-
4
ac, 
x2
---------
2
---------■
Shunday qilib, diskriminant D^b2—4ac>0 bo'lsa, tenglama ikkita
haqiqiy har xil yechimga ega bo'ladi.
Kvadrat tenglama ildizlarini uning diskriminantiga ko'ra tekshirishni
quyidagi jadval orqali tushuntirilsa, o'quvchilarning mantiqiy fikrlash
qobiliyatlari ortadi:
Agar 
0
bo'lsa,
/Х 0
 bo'lsa, ikkala ildiz musbat,
A>0
 bo'lsa, ikkala ildiz manfiy.
(K0
 bo'lsa, ikkala
Ildiz har xil bo'ladi
^<0
 
bo'lsa, ikkala ildiz musbat,
jH>0
bo'lsa, ikkala ildiz manfiy.
с - ■
* 
0
b .
a
£>0
bo'lsa, ildizlardan biri nolga teng,
ikkinchisi esa manfiybo'ladi,
M O
 bo'lsa, ildizlardan biri nolga teng,
ikkinchisi esa musbat bo'ladi.
^Й
>0
 
bo'lsa, ikkala ildiz manfiy bo’ladi
0 bo'lsa, ikkala ildiz musbat bo'ladi.
170

---

A g ar 
a x 2+ b x + c
=:0 t e n g l a m a d a
a = l
b o ' l s a , h o s i l b o ' l g a n
ax2+ b x + c =
0 tenglam a keltirilgan kvadrat tenglama deyiladi. H ar qanday 
to'la kvadrat tenglam aning har ikkala tom onini 
a
ga bo'lish orqali uni 
keltirilgan kvadrat tenglama ko'rinishiga keltirish mum kin; 
a ^ + b x + c = 0
b
e
 
b
e
bo'lsa, x 2 + - x + —= 0, agar = 
p ,
= 
q
desak, u holda 
x 2+ p x + q = 0
a 
a 
a 
a
tenglama keltirilgan kvadrat tenglamaning umumiy ko'rinishi bo'ladi.
Bu tenglamaning yechimi 
x l2 = - ~
— 
q
formula bilan ifoda- 
lanadi.
Misollar: 1) 
3x2—
5x+2=0, 
a = 3, b——
5, c=2. To'la kvadrat tenglama 
yechimi formulasiga ko'ra
_ 
- b ± y l b 2 - 4 a c
_ 5 ± л/25- 4 - 3 - 2 _ 5 ± 1
1,2 
2 
a 
6 
6
5+1 
6 
, 
5 - 1
4 
2
X l = ‘ “ T = 6 = 1’ 
^
Т
“ Г з WI>dL
2) 
Ъх1—
5x+2=0 tenglamaning har ikki tomoni 3 ga bo' linsa,
- 
5
 
2
x
- - x + - = 0
bo'ladi. Bu tenglamaning ildizlarini keltirilgan kvadrat 
tenglama formulasidan foydalanib topiladi:
5 
2
p — y
9 = +
- г м i r
I 
5 \
25 2 
5 -b 2 5 - 2 4
5 
1
t \ / „
q
I 
6 
Г У
36 
3
6 
v 
36 
~ 2 + 2 ■
№
2 " V 4
5 + 1
6
6
6 =
5 - 1
4 
2 
—
“ Г
1* ^
Т
= 6 = 3 '
6 -§ . Viyet teoremasi
Viyet teoremasi ham m atem atik tushunchalarni kiritishning konkret 
induktiv usuli orqali kiritiladi, chunki bu teoremani bayon qilishdan 
oldin teorem a xulosasiga olib keladigan quyidagi ko'rinishdagi tushun- 
tirish ishlari bilan shug'ullaniladi. Agar 
x 2+ p x + q = 0
keltirilgan kvadrat 
tenglama diskriminanti manfiy bo'lm asa, uning ildizlari
171

---

р 
р 
р
** 
2 + \ 4
* Va *2 = Т
Bu x, va x- yechimlarni o‘zaro qo‘shilsa,
— q bo‘laredi.
*1
 
+*2
= - y + 
- q - ~ - - q = - p,  ko‘paytirilsa
X! • 
X
2
=
-\
- q
^ i ,
X2
f
J l
2
„2
„2
•=— ——
1
- 
a
= 
a
4 
4 
4 4
tengliklar hosil bo‘ladi. Bularga ko'ra teoremani quyidagicha ifodalash
mumkia
T e o r e m a . Agar keltirilgan kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga
ega bo'lsa, bu ildizlarning yig‘indisi qarama-qarshi ishora bilan olingan
x oldidagi koeffitsiyentga, ularning ko'paytmasi esa shu tenglamaning
ozod hadiga teng bo'ladi.
Misql. xJ-3x+2=0 tenglamani Viyet teoremasi asosida tekshiring.
Xi + x
7
= 3
shuning u c h u n x 2 = 2 boMadi. Agar berilgan tenglama yechilsa,
3 / 9
3 
1
*
1,2
= 
~ 2
* 
~ 2 
~ 
2
* 
2
’ bundan x = 2 , x2= l ekani topiladi. Demak, 
Xj + x
2
= 2 + 1 = 3, X,-Xj=2,l = 2.
Bundan tashqari, bu sistema yechilsa, noma’lumlarning biriga nisbatan 
berilgan tenglama hosil bo‘ladi:
jxjxj +x
2
 
3x
2
 
/ 2
_ 
2
x2 -2 )= > x
2
-3 x
2
 + 2 = 0.
I 
X| • 
X
2
= 2
Shuningdek x, noma’lumga nisbatan yechish ham mumkin.
172

---

7-§. Kvadrat tenglamaga keltirib yechiladigan
tenglamalar
1. ах4+йхг+ с = 0 (1) tenglama bikvadrat tenglam a deyiladi. Bunda
a, b
va 
с
berilgan sonlar bo'lib, 
a*0
dir. Agar (1) da 
x 2= z
desak, 
a z2+ b z+ c = Q
(2) ko'rinishdagi kvadrat tenglam a hosil b o'lad i. Bu
j
2
t e n g l a m a
z  
g a n i s b a t a n y e c h i l a d i :
z\ 
= 
+ 
-- ~ 4 ~
va
2 a
l
= 
Л
-----^ 
4flC . Agar г >0 va 
z>>0 (a >
0, c>0, b2—4ac>0, 
b<0
2 a
yoki a< 0, c<0, 
b2—
4ас>0, 6>0) b o 'lsa , (1) k o'rin ish dag i kvadrat 
tenglama quyidagi ko'rinishdagi to 'rtta yechimga ega bo'ladi:
j - b
-
- 4 ac 
l- b + 
- 4 ac
* *
= 
H
--------
2a
--------• 
^
-
4
-------- S --------•
1- misol. 
x* — Зх2 — 4 =
0 tenglamani yeching.
Agar 
x2—z
deb belgilansa, tenglama 
z2—3 z~ 4 = 0
ko'rinishni oladi. Bu 
tenglamaning yechimi ?,=4 va ^ = - 1 bo'lib x, 2=±2 bo'ladi, 
x3 = = ± y[I\
yechimi esa haqiqiy sonlar to'plamida mavjud emas.
2 - misol. 2x4-5x2+3=0. 
a—2, b~—5, c=
3.
Y e c h i s h . Agar 
x2= z
desak, berilgan tenglama 2г2-5г+3=0 ko'rinishni 
oladi. Bunda Z>=b2—4ac=25—24=1>0:
5 + l 
2 
/з