Ozbekiston respublikasi oliy va

2
jt—3sinbc=a,
2tgx+3-3tg
2
jc
=a(
 1 +tg
2
x), 
tg2x(a$-3)-2tgx+(a-3)=0,
1 ± VlO -  a
2
te 4 , 2 =
a +
 3
I
-------
j
Agar  M< VlO  bo'lsa,  a,  = 
arctg
 — —^  
a
  + 
kn,  k e Z .
  Agar 
a==—3
a +
 3
bo'lsa,  sin2x+30052*=-3  bo'ladi.
2simccosx+3cos
2
x+3cos
2
;c—3=—3, 
2sinjccosjc+6cos
2
jc=0, 
cosx(sinjc+3co&x)=0,
1) 
cosx=0, 
siruc+3co&x*0, 
jc 
= 
+kn,  keZ;
2)
  cosx/0, 
siruc+3cosx=0, 
x
2
=arctg(-3)+fai, 
keZ.
I
-------
2
Javobi:
  Agar  |а
|<л/10
 
(a*- 3)  bo'lsa, 
a
 = 
arctg
 
— ——— —  + k n ,k e Z ,
a +
 3
agar  ( a * -  3)  bo'lsa, 
x = — +kn,  keZ.;
  agar  |a|>VlO 
bo'lsa,  tenglam a
yechimga  ega  emas.
5- misol. 
sin
6
x+cos
6
x=a(sin
4
jc+cos
4
jc)  tenglamani  yeching.
Y e c h i s h .  sin
4
x+cos‘,x=(sin
2
x+cos
2
x)
2
—2sin
2
xcos
2
x= 
1
 —2sin
2
xcos
2
x,
sin
6
x+cos
6
x=(sin
2
x+cos
2
x)
3
—3sin
4
xcos
2
x -3 sin
2
x-cos
4
x ) = l—3sin
2
jccos
2
jc,
1 - 3sin
2
xcos
2
x=a( 1 -2 sin
2
xcos
2
x), 
1—3sin
2
Jccos
2
Jc=a—2asin
2
jccos
2
Jc,
220

---

sin
2
x co s2x
a 
- 1
 
2 a - 3 ’
sin
2
2x=4-
f l
- 1
 
2 a - 3
a
- 1
Agar  bunda  0<4-„—  -  <1  bo'lsa,  tenglama  m a’noga  ega  bo'ladi.  Bu 
l a  — 5
1 
3 
3
tengsizlikni  yechsak, 
2
~ ^
  bo'ladi.  Agar 
a=—
 bo'lsa,  1—3sin
2
xcos
2
x= — -
3
-3sin
2
xcos2x  hosil  bo'ladi,  bundan  1 = — 
tenglik  hosil  bo'ladi,  buning 
bo'lishi  mumkin  emas.
1
Agar  - 

  bo'lsa,  *  ~~ ± 
2
 arcsin
a
- 1
 
2 a - 3
k n
Agar 
a< —
 
va 
a>
 1  bo'lsa,  yechim  yo'q.
3x 
. 
.  x
6
-misol.  sin —  + sin 
x  -  m
 sin — 
tenglamani  yeching.
Y e c h is h .  s m |x  + |   = s in x c o s   ~ + c o s x s i n ^ ,   bunga  ko'ra
X  
. 
X  
. 
X
 
„
sin x  + s m x c o s  — + c o sx sm  — - m s m  — = 
0
,
2 
2
 
2
X
  \  
X
s in x | 
1
 + c o s—  + sin — (cos x  -  
m) =
 
0
,
.  x 
sin — 
2
2 cos — + 4 cos
2
 — - 1  
- m
2 
2
=  
0
.
1
)  s i n ^  = 
0
,  x = 
2
kn,  k e Z ;
> 
2
  x
 
» 
x   n 
. 
n 
x
 
- l ± V 5  + m -4
2
)  4cosz — + 2 cos — -  (1 + 
m)
 = 0, 
cos — ---------------------
2 
2 
2 
4
a) 
c o s ^  
m -  4  ,
 bunda  quyidagi  shartlar  bajarilishi  kerak:
221

---

5 + 
Am >
 О,
-1 ± V5 + 4 
m
< 1 .
Bu  tengsizliklarni  yechsak, 
~ —^ m < 5
  hosil  bo'ladi.  Bu  shartga  ko'ra
x
 = ±2 arccos —— V 
+ 
4kn,  k e   Z;
x
 
-1 -  
yj5 + 4m
 
b)  C0S-  = -----------------
^  
—
1
 ± -n/5 + 4
m
 
„
Bu  yechilsa, 
jc  =   ± 2
arccos
------------
-
------------+  
4 k n ,   к e   Z ,   - ~ < m <
  1 .
4 
«v 
4
Javobi:
  Agar 
- —< m  < \.
  bo'lsa, 
x
=2I
ck
,  keZ.
, » 
- l± > /5  + 
4m 
, 
„  
. 
, 
,  , 
х1Ъ
  = ± 2 arccos 
---------
+4kn,   k e Z ,
 
Agar  l,  „  
- I  
+ yj5 + 4m 
.. 
,
 
„  
xy=2kn,  k e Z   x2 =
 ±2 arccos-----------------+ 4
kn,  k e Z ,
A gar«i> 5, 
m<- - -
  bo'lsa, 
x=2kn,  keZ.
18-§.  Trigonometrik  tenglamalar  sistemasini  yechish
Tarkibida trigonom etrik funksiyalar qatnashgan bir n ech a tenglam a 
trigonom etrik tenglam alar sistemasini  hosil qiladi. Trigonom etrik tengla­
m alar  sistem asini  yechish  tenglam adagi  n o 'm alu m larning  shu  ten gla­
m alar sistem asini qanoatlantiradigan qiym atlarini topish dem akdir.  Ikki 
n o m a’lumli ikkita tenglam a sistemasining yechim i deb, n o m a ’lum larning 
ikkala  tenglam ani  h am   qanoatlantiradigan ju ft  qiym atlariga  aytiladi.
1
- misol.
n
X + у  =
4 
tenglamalar  sistemasini  yeching. 
tgx + tgy =
 
1
222

---

Y e c h is h . 
У  =   ~ ~ х ,  
tgx + tg
£ - ; c W   .^ t e r D
.Q ;
4 
I 
1 + 
tgx
a)  tgx
 = 
1
, 
x  = ~  + кл,   у  = - к л ,   к e  Z;
b)  tgx = 0,  х  = кл,   у  -
 —  
кл,   к  e  Z.
4
Javobi:
I 
71
x,  = 
nk
 + —,
x2
  = 
лк,
у , 
= 
- л  к,
cos(x + 
у)
 
1
у>  = ----
лк,  к е   Z.
2 
4
2-misol.
cos(x 
- у )
 
9
sin 
х  ■
 sin у = -
3
1 
tenglamalar  sistemasini  yeching.
cosx cos 
у
- s in x  sin 
у  _
 
1
 
cos x cos 
у +
 sin 
x
 sin 
у
 
9
Y e c h i s h .
cos 
x
cos 
у
8
 
10 
5
— cos 
x  
cos у  =  —  cos 
X  
cos V = — ,
9 
27 
12
1
= —i—
3 
9L
1
cos x cos у + -
cos x cos у + -
3
COS x  
cos 
у   -
1
3J
1 
1
 
1
cos 
X  
cos у = -  + — + — cos 
X  
cos y,
3 
27 
9
cosxcosy  = — 
12
sinx sin у =
1
cos x cos у -  sin x sin у =
12
cos x cos у + sin x sin y  = — 
4
cos(x + y) = ---
12
cos(x -  y)  = —
x + у = 
2
^л- ± arccos —
u. 
3
x -  у = 
± arccos —
223

---

х = ж(ку
  + 
к}) ± —
1 
3
arccos — + arccos —
12 
4
,
4 , i  
з
- y f r n i
n(k{ 
+ kq,)
 ± -  arccos — ——
y  = n(kl ~ k 2) ± ^
1 
3'
arccos----- arccos-
12 
4,
П 
1
  4 ,1  
З+л/ЙЮТ 
= 
л(к {  - k
2
) ± -
 arccos— ——
3-misol.
Y e c h is h .
sm 
x +
 sin 
у  = a
 
x  + у   = 2b
tenglamalar  sistemasini  yeching.
. 
x + y 
x - y
 
2
s m ----- - c o s ------ = 
a
[x + y = 2b
x - У
  _ 
2
cos
x - y
2
 sin 
b
x - y  = 2 k n - 2 ±
 arccos
2
sinZ>
b 
a 
,
 
3 
b 
a 
, 
,
 
„
v = —  arccos------ + 
kn, 
x  =
 —  + arccos 
+ 
кл,   k e   Z.
2 
sin 
b 
2
 
sin 
b
1
)  agar 
b
  =  
0
, 
a  *
 
0
  bo'lsa,  sistema  yechimga  ega  emas. 
a
2 
sin 
b
3)  agar  b=0, 
a—
0  bo'lsa, sistema  cheksiz  ko‘p  yechimga  ega.
2
)  agar 
b  Ф
 
0
,
^ 
1
 
bo'lsa,  sistema  yechimga  ega.
M USTAQIL  YECHISH  UCHUN  M ISOLLAR
Tenglamalar  sistemasini  yeching.
V 3 -1
1
.
sin 
x
 sin 
у  =
 
cosx cos у
4 
’ 
V3 + 
1
Javobi:  j
 : 
x
 = 45°, 
у
 = 15°.
2
.
I sin 
x  :
 sin 
у
I cos 
x  :
 cos 
у
 = л/
0
Д
Javobi:  x  -
 60°, 
у
 = 45°.
224

---

{
sin 
x
 = V
2
 sin у,
V c . f i Igy. 
Javobi:  x  = 45'-  У ~ ж
4.
5.
6
.
7.
1
s m x  + co sv   = -
2
. 
2
 
2
 
1 
Javobi:  x  =
 0°, 
у
  = 60°
sin 
x
 + cos 
у =
 - .
Х + У = 1 '  
j
 
A- 
* 
*
Javobi:
  x  = 
7
, 
У =  ~-
 
s in x  + c o sy  = l. 
6
 
j
n
x ~ y ~~6’ 
J 
1
 • 
Л
Javobi:  x  =
 —,  у = —.
sin x  co sy   = 0,75. 
3 
0
2
x  + y   = -яг,
r 
t
я
1 
Javobi:  x  = — ,
  y  = —. 
s m x s in y   = - .  
12 
4
2
19-§.  Masalalarni  tenglama  tuzish  bilan
 
yechish  metodikasi
M asala — bu kundalik hayotim izda uchraydigan vaziyatlarning tabiiy 
tildagi  ifodasidir.  M arala  asosan  u ch   qism dan  iborat  b o ‘ladi.
1.  M asalaning shaiti  — o'rganilayotgan vaziyatni xarakterlovchi m a ’- 
lum   va  n o ‘m alum   m iqdoriy  qiym atlar  h a m d a   u lar  orasidagi  m iqdoriy 
m u n o sabatlar haqidagi  m a’lum ot  dem akdir.
2.  M asalaning talabi  — m asala shartidagi m iqdoriy m unosabatlarga 
nim an i  to p ish   kerakligini  ifodalash  dem akdir.
3.  M asalaning operatori  —  m asala talab ini bajarish u c h u n  shartdagi 
m iqdoriy  m unosabatlarga  n isbatan  bajariladigan  am allar  yig‘indisi.
T englam a  tuzish  orqali  m asala  yechish,  m asala  talabida  so 'ralg an  
m iq d orni im koniyati boricha b iro r h a rf  bilan belgilash,  m asala shartida 
qatnashayotgan  boshqa  m iqdorlarni  belgilangan  h a rf orqali  ifodalash, 
m asala  sh a rtid a   k o ‘rsatilgan  m iq d o riy   m u n o sa b a tla rn i,  am allarn in g
I S -  S.  Alixonov
225

---

m an tiq an   t o ‘g‘ri  ketm a-ketligi  orqali  ifodalaydigan  tenglam a tuzish  va 
u n i  yechish  orqali  m asalaning  talabini  bajarish  dem akdir.
M asalalam i tenglam a tuzish orqali yechishni  quyidagi ketm a-ketlik 
asosida  olib  borish  m aqsadga  muvoflqdir.
1.  M asala  talabida  so ‘ralgan  m iq d om i,  y a’ni  n o m a ’lum   m iqdorni 
h a rf bilan  belgilash.
2.  Bu  h a rf yordam ida boshqa  n o ‘m alu m lam i  ifodalash.
3.  M asala shartini  qanoatlantiruvchi  tenglam a tuzish.
4. Tenglam ani yechish.
5.  Tenglam a yechim ini m asala sharti b o ‘yicha tekshirish.
M aktab  m atem atika  kursida  tenglam a  tuzish  orqali  yechiladigan
m asalalar k o 'p in ch a  u ch ta h a r xil m iqdorlarni  o 'z a ro  bog‘liqlik m u n o - 
sabatlari  asosida beriladi.  C hunonchi: