Ozbekiston respublikasi oliy va

, 
=
 0, 
a + 
b - l j r i z O
42

---

(
' 4 a - 4 b
)  > 0   demak  — 
S 
4ab
 .
I. 
Faraz  qilaylik,  berilgan  sonlar  uchta  boisin.  Berilgan: 
a,  b,  с
  -  
sonlar; 
a>
0, 
b>
0, 
c>
0, 
а  Ф  b
  ^  c.
a + b + с
  _ 
-li
—;—
I s b ot   q i l i s h   k e r a k :   ---- -----
>ыаЬс.
I s bot i .   Faraz  qilaylik, 
a  —  x?,  b  =  у>,  с  =  z3
  boisin,  u  holda
=>  (x3  + j/3  + z*  > 3xyz) =>  (x3  + у г  + z %
  - 3xyz > 0 j . 
(l)
Agar  (1)  tengsizlikning  o‘rinli  boiishi  ko'rsatilsa, 
a
 +  ~+ 
c
  > 
l]abc
3
ckanligi  ko‘rsatilgan  boiinadi:
[(x3  + y 3 + z3  - 3 xyz)>  0] => l(x + y  + z f   - 3 ( x  + y  + z ) x
x (лу + x z + yz)] ^ 0 => [(x + у  + z) x
x { x 2 + y 2  + z2  - x y  + xz + yz)] Z 0. 
(2)
(
2
) 
dagi  birinchi  ko‘paytuvchi  musbat,  shuning  uchun  ikkinchi  ko'pay- 
tuvchini  musbat  ekanligi  ko'rsatiladi,  (
1
)  tengsizlikning  musbat  ekanligini 
ko‘rsatgan  boiamiz:
(x2 +y2 +z? - x y  + xs+>zj = ^ 2 x 2 +2y2 +2z2 - 2 x y -7 x z-2 y z :) =>
=* 
^ [ ( x  
-  
z f  
+ 
( x 
-  У )2  + 
(y 
-  Z) 2 ] > ° . 
(3)
(3)  tengsizlik  doimo  berilishiga  ko'ra  musbatdir,  agar 
x=y=z 
boisa,  (3) 
tengsizlik  nolga  teng  boiadi,  bu  holda  (
1
)  tengsizlik  tenglikga  aylanadi.
a + b + c
 
з/  ...
Demak, 
— -— >\labc
  tengsizlik  o‘rinli  ekan.
II.  Faraz  qilaylik,  berilgan  sonlar  to'rtta  boisin.
B e r i l g a n :  
a,  b,  c,  d
  — sonlar; 
a
  > 
0
, 
b
  > 
0
,  с  > 
0
, 
d
  > 
0
.
a + b
 + 
A
 + 
d 
4i—i
  j
I s bot   qi l i sh  ker ak:  
---------------- ^ 
sja b c d .
4
43

---

I s b о  t i . 
—- —  ^ 
4аЬс
 ga  asosan
a + b 
c + d
—- — +
2
  > 
l(  a + b  \( c + d
a + b + c + d  
If a + b
 Y 
c + d
a + b
> ыаЬ.
c + d
sfcd
2 
1 '
 
1 2
 
bo'lgani  uchun  bularni  (
4
)  ga  qo‘ysak:
(4)
2  
e  
u t t s i i
 г  
У м .
4
 
4
Д + Ь + C + rf 
4p-—-
Demak,  ---- ----- > v
abed
  tengsizlik.o‘rinli  boMadi.
Endi  yuqoridagi  tengsizlikni  har qanday 
n
  uchun  o'rinli  deb,  matematik 
induksiya metodi orqali umumlashgan 
(n
 + 
1
) hoi uchun isbot giiami?-
^  aj 
+ a2  + a2  +... + a„
 
„
a n+i  --
---------------------------------------------------------------------------- —
  -
n
al +a2 +a3 +... + a„ + a„+t 
„
м я+1,
an * \ - N „
  +  e > 
£ > 0  
bo'lsin
N
  — ^  * 
° n+l
 
n+l~ 
n 
+ 1
Л  +   1
JVw+, = - i
JV  (л + 1 + £
л + 1
=> I 
N
„+1  = 
+
#i + l  Г
( ^ +l Г
1
  = f N. + 
Г   -  
+ (Я +
1
) • К  ■ - ^ r  +... ^
^ 
Й + 1
)
 
И+1
> ( c
+1
 + 
к
 - 
e)
 = Л£ (AT, + 
e)
 = 
N "a n+l;
44

---

((N n+l
 )n+l  !> 
N n
nan+l
 ) =* (tf„+1  £ 
' ф
; ^
 ) =*
 
^  
N
„+1
  ^ "+\/al
a2
 ‘ ' ‘ an+l •
а.  + а,  + а,  + ... + а  + 
а
  , 
/-------------
Demak,  --------------
3
-
----- ------ =----- ^   > 
ф л - . М
^ .
л +  1
2-misol.  С  nuqta  [
AB
]  kesmani  teng 
а
ikkiga  bo'ladi. 
О
  ixtiyoriy  nuqta. 
О С
vcktorniCM  = 
a,  OB
  = 
~b
  vektorlar  orqali
 
ifodalang  (7-chizma).
B e r ilg a n :  
[АЩ,  O A   =   a , O B   =   b
>
A C
CB
= 
1
Uc| =
T o p is h   k erak : 
Q C ~
  ?
Yechish: shartga ko‘ra:
 
bo'ladi.
A C
CB
=  
1
boigani uchun  |ЛС| = — 
\AB\
( 1)
Chizmadan: 
A C
  va 
д д
 
vektorlaming  yo‘nalishlari  bir  xil  bo'lgani
 
uchun
A C  = O C - O A ,
 
(2)
J B  = 0 5 - 0 4 ,  
(3)
(2)  va  (3)  larni  (1)  ga  qo'yilsa,  quyidagi  ifodalar  hosil  bo'ladi:
О С - О А  = ^ ^ В - Ш ) ,
 
0 C  = i ( a S  + O 4),
О С   = - O B  + -Q A , 
O C   =  - \ b + a
  |.
2 
2 
2 [  
)
45

---

8-chizma.
Endi  shu  kesmani  ikkita  С va 
D
 nuqtalar
 
yordamida  teng  uch  bo'lakka  bo'Iaylik. 
О
ixtiyoriy  nuqta. 
ОС
  va 
AD
  vektorlarni
OA
  = 
a,  OB
 =  6  vektorlar  orqali  ifodalang
 
(8-chizma).
B e r ilg a n :  
[AB],  O A   =  a ,  O B   =   b
------ 
1 
i
---- -
A C  =  - A B .
 
3
T o p is h   k erak : 
ОС
  =  ?
 
Y e c h is h :   shartga  ko‘ra:
AC _
  1
 
AB
  ~ 3
AC = — AB,
 
3
(
1
)
A B
 
va 
A C
  vektorlarning  yo‘nalishlari  bir  xil  bo‘lganligi  uchun
AC
 -  
O C -O A ,
J
b
 = 
o b
-
o a
,
 
(2)  va  (3)  larni  (1)  ga  qo‘ysak:
(
2
)
(3)
o c
-
o a
 = ^ (
o b
-
o a
),
0 C  = - ( 0 B  + 20A ),
ОС =
 -  
OB
 + — 
OA,
 
3 
3
0 C  = U b  + 2 a).
Endi  shu 
{AB}
  kesmani 
C,  D,  E,
  ...  nuqtalar  yordamida  teng 
n
  ta
 
bo‘lakka  bo'laylik.  0   —  tekislikning  ixtiyoriy  nuqtasi  bo‘Ism  (9-chizma).
ОС
  vektomi 
OA
 = 
a,  OB = b
  vektorlar  orqali  ifodalang.
B e r ilg a n :  
[AB],
l f £ l   i
OA  =  a,  O B   =  b,
  | л 5 | 
n'
46

---

k o‘ra:
T o p is h   kerak: 
O C =
  ?
 
Y e c h i s h :  
shartga
\ AC\
 
1
\AB\ 
n
AC 
AB
  vektorlarning
 
yo‘nalishlari  bir  xil  bo‘lganligi  uchun
~AC  =  O C - O A
,
A B   = O B - O A ,
 
(2)  va  (3)  larni  (1)  ga  qo‘ysak:
9-chiz/na.
O C -O A   = -{O B -O A ), 
ОС  = i  (OB + ( « -
1
)
0 4
).
О С   =
 —I  6+ 
(n
 -  l ) o  
n
(
2
)
(3)
7-§.  Abstraksiyalash  metodi
О‘qitish  jarayonidagi  ilmiy  izlanish  metodlaridan  biri  bu  abstrak-
 
siyalashdir.  Abstraksiyalash  —  o'rganilayotgan  obyektdagi  narsalarning
 
muhim  belgilarini,  sifat  yoki  xususiyatlarini  fikran  ajratib  olib  ana  shu
 
belgi,  sifat  yoki  xususiyatlarni  mustaqil  fikr  obyektiga  aylantirishdan
 
iborat  tafakkur  operatsiyasidir.
1-misol.  0 ‘qituvchi  abstraksiyalash  metodini  o ‘quvchilarga  3-5=15  mi­
sol  orqali  tushuntirishi  maqsadga  muvofiq.  Ma’lumki,  bu  oddiy  matematik
 
tenglikdir,  ammo  u  obyektiv  olamdagi  ma’lum  bir  qonuniyatlarni  aks
 
ettiradi.  Agar  3-5=15  tenglikka  ma’lum  bir  shartlarni  qo'yilsa,  u  holda  bu
 
tenglik  quyidagi  qonuniyatlarni  ifodalaydi:
Agar  3  sonini  qalamlarning  soni,  5  sonini  har  bir  qalamning  qiymati
 
desak,  u  holda  15  soni  jami  qalamlarning  qiymatini  (qancha  turishini)
 
ifodalaydi.
Agar  3  sonini  odamning  piyoda  yurgan  vaqti, 
5
  soni  uning  bir  soatdagi
 
tezligi  desak.  u  holda  15  soni  piyoda  odamning  3  soat  ichida  bosib  o'tgan
 
yoiini  ifodalaydi.
47

---

2- misol.  Fizika  kursida  jismning  harakat  tezligi  tushunchasini 
v = v + a t
 
formula  bilan,  metall  sterjen  uzunligini  qizdirilgandagi  o‘zgarishini 
1 = 1 + at
 
formula  bilan,  chiziqli  funksiyaning  burchak  koeffitsiyentli  formulasini  esa /
 
(x)—  ax  + 
b
 
bilan  ifodalaymiz.  Agar  bu  formulalarga  diqqat  bidan  qarasak,
 
vt= v + a t
 va 
l = l 0+at
  formulalar 
f(x)~  ax  + 
b
 
chiziqli  funksiya  formulasining
 
fizikada  yozilishi  ekanligini  ko'ramiz.
Yuqoridagi  misollardan  ko'rinib  turibdiki,  abstraksiyalash  usulida  narsa­
larning  aniq  holatidan  uzoqlashib,  ularning  muhim  belgilari  haqidagina
 
gap  boradi,  narsalarning  turli  ko‘rinishlari  bo'yicha  fikr yuritilmaydi.  0 ‘quv-
 
chilarga  abstraksiyalash  metodini  o'rgatish  ularning  narsa  va  hodisalarni
 
muhim  belgilarini  ajrata  olishlari  hamda ilmiy tushunchalarni o‘zlashtirishlari