|
У - У , г к ^х ~ х ц)> k = tg a =
= у'х = f \ x
о)
b u l a r g a k o ‘ra
Дх->0
Д х
urinm aning burchak koeffitsiyenti tenglamasi
f(x)= f(x$ + f ' ( x 0) ( x - x )
bo ‘ladi.
Misol.
y=x3
kubik parabolaning x = l nuqtadagi urunmasi
f(x)= l+ 3
(x -l)= 3 x -2 tenglama bilan ifodalanadi, chunki
/= 3 x 2
ni x = l nuqtadagi
qiymati / = 3 ga teng bo'ladi.
3. Elementar funksiyalarning hosilalarini topish.
1)
У=с;
/= c '= 0 .
2
)
y=x"
;
/=nx?-1
I s b o t: у+-Ду=(х+4х)"
Ау=(х+АхУ-х"=хп+пхп-'-Ах+...
n ( n - l ) ( n -
2 )...[я - (л - 1)]Дх"
■“ +
1
- 2
-3 •... • я
М
- 1
/? ( я -
1
)дся 2Ах
1-2
Дх
—>0
Д х
Дх
Дх->0
я ( п -
1
)х”
2Ах
1- 2
+
3) у'х =пх"-\
1
.
I s b o t i :
Ay
=
1
1
Ay
=
х + Дх
х
х - х - Д х
х(х + Дх) ‘
Ау
_
1
Ас
х
2
+ хДх
lim — = - lim
Лх->0
Д х
Дх—>С
дх->°
х 2 + хАх
4)
у=ах; у'=ах1па.
255
Ay = ax(at o -1);
^ = flx(flAX
Ax
Ax
..
A y
* ..
( a to — 1)
j,-,
,
lim — =
a
lim --------- - =
a
In
a;
у
= a*-
Ina.
Дх-»0
A x
Дх-*0
Дх
5, , =
>»
-
1
-~1
1
I s b o t i :
у ~ х г \
у = - ■
х 2
I s b o t i :
y + Ay
= д*+Лх;
Ду = а*+Лх - a*;
2
~ 2-Jx'
6
) у = лях;
/ = cosx.
I s b o t i :
y + A y-sin (x + A x ),
Ay=sin(x+Ax)~~
sinx,
*i\
. A x
__
0
. Ax
.
Ax,
— ------- — . cos(x + — )
Ду = 2 sm — • cos(x + — )
дх
Ax
v
2
. Ax
Av
sin T
lim — = lim
— ~ ~ ■
cos(x + Дх) = cos x.
Дх-И)
X
Дх—>0
ДХ
7) y=cosx
/ x=-sinx
1
8
)
y - t g x ' , / -
----
2
'
cos X
I s b o t i :
sin(x + Ajc)
sinx
Ay _
tg(x
+ Ax) -
tgx __
cos(x + Ax)
cos x _
Ax
Ax
Дх
sin(x + Дх) cos x - cos(x + Дх) sin x
sin Дх
1
Дх cos x cos(x + Ax)
Ax
cos x cos(x + Ax)
Ay
r
sin Ax
1
1
y' = lim — = lim
Ax
0
Ax
x
->0
Ax
COS X • c o s
(x + Дх)
cos
X
256
у .
= ,im jge, (* + Ах) - log,
х
_ |im
Дх-*0
Ах
Дх-»0
Дх
1
+ —
= lim — loga
— ~ ~
=
.
Д х—
>0
х
Дх
X
X
1 1
) ,у=о*; lny=xlna.
= ln a,
= y ln a , / = >>а*
1
па.
/\Х
4. Funksiyaning o ‘ng va chap hosilalari
Ta’rif.
Agar Дх —н-0( Дх -* -0 ) da
~
nisbatning limiti
Дх
urn ^ „ лт Л з ^ Ь Л а )
Ax—»+0 Д х
ДХ->+0
Д х
( lim
lim / Ц - ь AX ) - / ( » , )
Дх-»-0 Д х
Ax—>-0
Д х
mavjud va chekli bo‘lsa, bu limit
f(x )
funksiyasini x
0
nuqtadagi o ‘ng
(ch ap ) hosilasi deb ataladi va u quyidagicha /Т х о+ 0 ), (А х
0
- 0 ) )
belgilanadi.
Misol. Дх)=|х| funksiyaning hosilalarini hisoblang. Bu funksiyani o‘ng
J im n~ =1 ga teng. Chap limiti e s a / ( x — 0) = lim —
Дх-»+0 A x
4 0
’
Дх-»+0
Дх
lim iti/(x
0
+0) = lim —
= 1
ga teng. Chap limiti esa / (x —0) = lim
Дх-»+0Дх
о
Дх—»+
=
- 1
ga teng.
Agar
f[x)
funksiya x
0
nuqtada
f
(x0) hosilaga ega bo‘lsa, funksiya shu
nuqtada bir tomonlama limitlarga ega bo'lib, / ( x
0
+
0
) = /'(x
0
-
0
)= / (xa)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
17 — S. Alixonov
257
Agar (x0) atrofda uzluksiz / (x) funksiyasi x0 nuqtada / (x0+ 0) va / (x0- 0 )
hosilalarga ega b o ‘lib f ' ( x a+ 0 ) ~ f ( x o —0) tenglik o ‘rinli bo‘lsa, funksiya shu
nuqtada/"(x,, ) hosilaga ega b o ‘lib f (x0) = f (x0+ 0) = / ( x 0—0).
Ta’rif.
A gar lim — = lim / ( ло + Ax )— / ( x p ) _ ±oo ten g]jgj 0 ‘г[п ц
Лх—
>o Дх
Дх-*0
Ах
.
bo‘lsa u holda bu tenglik Дх) funksiyasining x
0
nuqtadagi cheksiz hosilasi
deyiladi.
5. Teskari funksiyaning hosilasi
y = f(x
) funksiyasi x = x
0
n u q ta d a a n iq lan g an u zluksiz b o ‘lib,
1
-tartibli hosilaga ega bo‘lsin.
T e o r e m a : agar
y=f(x)
funksiyasi
x —x0
nuqtada aniqlangan va
uzluksiz bo‘lib, / ( x
0) * 0
hosilaga ega bo‘lsa, u holda bu funksiyaga
teskari b o ‘lgan х=ф(у) funksiyasi
y=y0
nuqtada x' yoki ф'(у0) hosilaga
1
^
ega b o ‘lib,
x ' = ~r~
bo‘ladi
у Ух
I s b o t i : х= ф (у ) fu n k siyasi y = y g nuqtada an iq lan gan va u zlu k siz
bo'lganligi uchun uning shu nuqtadagi orttirmasi Дх =
ф(y0)
A
jc
1
b o ‘ladi. Tenglikning har ikki tom oni A y±
0
ga boMinsa, — = — xy=J{x)
Ду
Ay_
Дх
funksiyasi uzluksiz funksiya b o ‘lganligi uchun Ay—>0 da Дх->0 shuning
Дх
..
1
/ _ 1
u c h u n lim — = lim —— t a ’rifga к о ‘г а , л :>' ~
■ G e o m e tr ik is b o ti
4y->0 Ay
Дх-*0 Ay_
°
У x
Ax
quyidagichadir (28-chizm a).
“+/,=! ;
, s a = w
tg& - P ) =
%Р =
- r - ;
fsa = ctsP-
2
tga
.
_ _ L
bundan
x y ~
/ •
У
X
1
. у =
arcsirw funksiyasining hosilasini toping. Ma’lumki, bu funksiya
К
к
—
1
<х<
1
, - — <><— shu oraliqda
x
va
у
ning qiymatlari joylashgan hamda
y=arcsinjt funksiyaga teskari bo'lgan x=siny funksiyasi mavjud formulaga
,
ko‘ra
x у ~ r
edi.
У
X
(arcsin
x ) ' =
^
^
^
(sin j ) '
cos
у
-^1
— sin
2
у
y j l - x 2
’
2
.
у =
arccos x
y'=
?
x =
cos
y.
(arccos
x
) ' =
^
^
(co sy )’
sin
у
/ Г - cos
2
у
л 1 \- х 2
к
п
3. y=arctgx bo‘lsa, х = tgy —
—
—
,
,
w
1
1
2
COS2
у
1
1
(arctgx)
= --
-------
= ----:
----- = COS
у
= -------
5
-------------
Z—
= ---------
Y~ =
",
------- 2
•
(tgy)
1
cos^y + sin^y
1
+ tg у
l + x
cos
2
у
4.
у
=
arcctgy
bo‘lsa
x = ctgy
bo'ladi.
1
1
sin
2
у
(arcctgy)
=
(ctgy) ’
1
sin
2
у
+ cos
2
у
1
+
ctg2y
l + x 2
sin
2
у
259
QUYIDAGI FUNKSILARNING HOSILALARINI TOPING
.
1
1
1
.
у
= arcsin - .
Javobi:
r
~,— -•
x
хы х1
- 1
1
2. у = arcctgyfx.
Javobi:
^ + x y
1
3 -
у
= In
“rctgjx-
Javobi: y
2-Jx
(1 +
x )a r c tg ^ c
'
i
4.
у
= arccos
-s/х .
Javobi: ~ j J x - J T ^ x '
MUSTAQIL ISHLASH UCHUN MISOLLAR
1. Ta’rifdan foydalanib quyidagi funksiyaning hosilalarini toping.
y=5x2—3x,
y=
>
y —sM x.
2. Quyidagi funksiyalarning hosilalarini ta’rif asosida toping.
y=cos
2
x,
y=tglx,
y=x3.
3-
у =
Vx
3
- 1
funksiyasining hosilasini toping.
4.
у =
2
x
2
-
3
jc
funksiyasini hosilasini ta’rifga ko‘ra toping.
4-§ . Hosilani hisoblash qoidalari
Elementar funksiyalaming hisoblash o ‘rganildi. Endigi asosiy maqsad
chekli sondagi arifmetik amallar va superpozitsiyalar vositasida elem en
tar fimksiyalardan tuzilgan ixtiyoriy funksiyaning hosilasini hisoblash
im konini beruvchi qoidalar ko‘rib chiqiladi.
1.
Agar
и = u(x)
funksiyasi
x = x 0
nuqtada hosilaga ega bo'lsa, u holda
у
=
cu(x)
funksiyasi ham hosilaga ega bo‘lib,
[c u (x)\ = c U(x)
bo'ladi.
I s b o t i : у
= cu(x)
desak, bu funksiyani orttirmasi
y+Ay=c-u(x+Ax)
bo‘ladi. Bundan
Ay=c-u(x+Ax)-c-u(x) \:Ax
Ay
u(x +
Ax) -
u(x)
Ay
A
и
— =
с
--------------------
yoki
— =
с
-----.
Ax
Ax
Ax
Ax
260
2.
Agar
U(x)
va
V(x)
funksiyalari
x=xg
nuqtada hosilaga ega bo'lsa,
U(x)±V(x)
funksiya ham shu nuq tad a hosilaga ega b o 'lib ,
[U(x)±V{x)Y=U(x)±V{x).
I s b o t i :
y= U(x)±V(x)
funksiyaning orttirmasi
4iy=[6r(x+/lx)-t/(x)]±[V(x+Ax)-K(x)],
Ay=A\J±AV\: Ax
Ay _ AU
A V
Ax
Ax
A x '
Do'stlaringiz bilan baham: |
