Ozbekiston respublikasi oliy va

2
  =- J
5
  .
208

---

4-misol.  2  — 
x   —  5lg(3
  —  x)  =   0  tenglamani  grafik  usulda  yeching. 
Y e c h is h .  Berilgan  tenglamani 
y=2'x
 va 
y=5lg(3~x)
  ko'rinishda  yozib, 
ularning  grafiklarini  koordinata  tekisligida  yasaymiz.  Bu  grafiklar  kesishish 
nuqtalarining  absissasi  berilgan  tenglamaning  yechimi  bo'ladi  (25-chizma).
Javobi:
  x ,= -l,5 . 
x=l , 9.
j  
xy + x  -  2
  = 
0
,
5-misol.  | x - l o g 2(y + 
1
) = о  tenSlamalar  sistemasini  grafik  usulda 
yeching.
Y e c h is h .  Berilgan  tenglamalar  sistemasi  quyidagi  ko'rinishda  yozib 
olinadi:
\xy = 2 - x ,
|lo g 2(y + l) = x =>'
y   = .
2
 -  x
X
y +
 
1
 = 
2
*
У = - ~
 1, 
x
y = 2x - I
У  ~ ~ ~
 
1
  va 
У=2Х
  —1  funksiyalaming  grafiklari  koordinata  tekisligida 
chiziladi  (26-chizma).
У+'?~х
  ~ 
1
 
\  
/У=2х-1
J
-x__ 0
14 -  S.  Alixonov
209
26-chizma.

---

Ularning  kesishish  nuqtalarining  absissasi  tenglamaning  yechimi  bo‘ladi. 
Javobi:  x  —
  1, 
у
  =  1.
16-§.  Trigonometrik  tenglamalar
1
. 
sin x = a   ten g lam ada  |a|< l  b o ‘lsa,  u  
x = { - \) k&Ksma+nk, 
k e Z
 
yechim ga  ega bo'ladi.  Xususiy holda
a)  agar  sin  x   =   0  bo 'lsa,  x   =  
nk,  k&
 Z;
b)  agar  sin 
x   =
  1  bo 'lsa,  x  
= j +2nk,  keZ ;
i
d)  agar  sin  x   =  
-1
  b o 'lsa,  x   = - y  
+2nk,  keZ;
e)  agar  sin2x   =  
a
  bo 'lsa,  x   = ± a rc sin
4a
  +  
nk,  ke Z .
Misol.  2 s i n ^  + x   |+  
41
 = 0 
Y e c h is h :
tenglamani yeching.
«V
2 s in
[ +  x
 ]+n/3  = 0
<=> sin I
' n
—
 
+ 
X
L 
I 4 
J
4
2
<=>
К 
/  л\к
 
.
— + x = ( -
1
)* arcsin
4
/
й)
j
+ n k
<=>
)
<=>
t * ( x  = ( - l ) k+l- l - l  + Kk),  k e Z  .
3 
4
2. 
cosx=a  tenglamada  |a|keZ\
  yechimga 
ega  bo'ladi.  Xususiy holda:
7Г
a)  agar  cos  x  = 
0
  bo'lsa,  x  =  — 
+як,  k e Z
;
b)  agar  cos  x  =  1  bo'lsa,  x  = 
Ink,  ke
 Z;
d)  agar  cos  x  = 
- 1
  bo'lsa, 
x   =  n  +2nk,  keZ;
e)  agar  cos2x  = 
a
  bo'lsa,  x  =   ±arccos
4a  +nk,  keZ.
210

---

M iso l.  c o s | 
2 X ~ 2
 
I-  
^  ~ ^  tenglamani  yeching.
Y e c h is h .
cos
\ x
- \ | - 1
  = 
0
 
3 
2
<=>
2
 
1
  ^ 
n k
3 * ~ 2
  " T
(2
 
1 
n k \  
(
 
3 
ЗтгАгЛ  .
в1 1 " Г т п ' =Г т } ‘
e   Z .
3. 
tg x=a
  tenglama 
x=
  arctg  а
+nk,  k e Z
  yechimga  ega  bo'ladi.  Xususiy 
holda
a)  agar  tg 
x   —
 
0
  bo'lsa, 
x   =  nk,  k e Z
;
n
b)  agar  tg 
x
  =  
1
  bo'lsa, 
x  = — +  nk,  keZ;
4
К
d)  agar  tg 
x
  =  
—1
  bo'lsa, 
x  =—— +  nk,  keZ;
e)  agar  tg
2
x= a  bo'lsa,  x=±arctg^/a 
+nk,  keZ.
Misol.  3
tg2 3x
 - 1   = 0 
tenglamani  yeching.
Y e c h i s h . 
\t g23x =
1
3x
 = 
±arctg
 
+ 
kn
 
V3
<=> ^3x = ± ^  + 
kn
 j
4.  ctg 
x
  =  
a
  tenglama 
x
 =  arcctg 
a  +  nk,  ke Z
 yechimga  ega  bo'ladi.
К
a)  agar  ctgx  =  
0
  bo‘lsa, 
x  = — як,  ke Z
;
к
b)  agar  ctgx  =   1  bo‘lsa,  x  = — + 
nk
, 
keZ;
/1
d)  agar  ctgx 
= —1
  bo'lsa,  x  = - — +  тг&, 
keZ;
e)  agar  ctg2x  =  
a
  bo'lsa,  x  =±arcctg>/a  + 
як,  keZ.
Misol. 
ct£ 2
 ^2x -  — 
j 
= 3  tenglamani  yeching.
211

---

<=>
( 
,  л  
л  
л к \  
.
 
о   х  = ± —  + —+ —   , 
к е  z-
 
12
 
6
 
2
 /
Matematika kursida  har qanday trigonometrik tenglamalar ayniy  almash- 
tirishlarni  bajarish  orqali  taqqoslanib  sinx#a,  cosx=a, 
tgx=a,
  ctg 
x=a
  ko'ri- 
nishdagi  eng  sodda  trigonometrik  tenglamalarga  keltiriladi.
Trigonometrik  tenglamalar  quyidagi  metodlar  yordamida  yechiladi.
1
.  Ко‘ paytuvchilarga  keltirish usuli.
1-misol.
  sin
2
x =  cos
2
x sin
2
x tenglamani yeching.
Y e c h is h .  sin2x  -   cos2x  sin2x  =  0,  sin2x(l-cosx)  =0
1)  agar  l~cosx*0  bo'lib,  sin2x=0  bo'lsa,*\=  у  
n,  n e Z
  bo'ladi.
2)  agar  sin2x*0  bo'lib,  1—cosx=0  bo'lsa,  cosx=l,  x=2
nn,  n e Z
 bo'ladi.
2-misol.
  sin3x  —  sin  x  =  0  tenglamani  yeching.
Y e c h i s h .  sin3x -   sin  x  =  2sin x cos  2x  =  0
1)  agar  cos2x*0  bo'lib,  sinx=0  bo'lsa, 
x=nn,  ne.Z\
7t 
И7С
2)
  agar  sinx
*0
  bo'lib,  cos
2
x
= 0
  bo'lsa, 
x = ~
4
+ ~ ^ ’  n e Z
 bo'ladi.
3-misol.
  cos
2
x+cos
2
2x+cos
2
3x= 1,5  tenglamani  yeching.
, 
1
 + c o s
2
x 
„
Y e c h is h .  cos2x = ----- ------   formulaga  ко  ra
l 
+ cos2x 
l + cos4x 
l 
+ c o s
6
x 
3
«>
<=>  (co s
2
x + cos4x + c o s
6
x = 
0
) 
[(c o s
2
x + c o s
6
x) + cos4x = 
0
]  <=> 
<=>  [2 c o s4 x c o s2 x  + cos4x = 
0
]  <=>  co s4 x (c o s2 x  +
1
) = 
0
.
% 
m
1)  agar  2cos2x+l*0  bo'lib,  cos4x=0  bo'lsa,  x= — + —  ,  n e z ;
o 
4
2)  agar  cos4x*0  bo'lib,  2cos2x+l=0  bo'lsa,  c o s 2 x = -^ -,

---

2л  ^ 
к
 
„
2х
=— — + 2пп
 ;  x = - -  + jr
П ;  neZ.
II. 
0
‘zgaruvchilarni  kiritish  usuli.
1-misol.
  2cos
2
x=3  sin  x tenglamani  yeching.
Y e c h is h .  (2cos2x —  3  sin  x = 0 )» (3 sin  
x  —
  2(l-sin
2
x)  =   0
о   (3sin 
x —  2  +
  2  sin2x  =0).
Agar  sin 
x  =  у
  desak,
2y
2
  + 3y -  2  = 0, 
У г
  = -2 .
s in x  = i  j<=> | x  = 
7
~ + 2kn
 j ,  
k e z .
2-misol.
  cos2x —  5  sin 
x —
  3  =   0  tenglamani  yeching.
Y e c h i s h .   cos2x= l-2sin2x  formulaga  ko‘ra 
(1
 -2sin
2
x-5sin x -3 = 0 )  о  
(2sin
2
x+5sinx+2=0)  «   sinx=,y  desak, 
2.У
2
  + 
+  2  =   0,  j ,   =  —2,
1
*  —  2-
1
)  sin 
x  ~ —2
  tenglama  yechimga  ega  emas.
\
, k e   z;
2
)  ( s in x  = - - | o   x = ( - l ) fc a r c s in f -   -
1
+яА:
I 
2J . I  ■
 
I  2J  J
x  =  (-1
)*+1
 ^  + 
nk, k e   Z.
6
III.  Bir jinsli  tenglamalarni  yechish.
1- misol. 
2
sin
2
x-sinxcosx—cos
2
x
= 0
 
tenglamani  yeching.
Y e c h i s h .   Bu  tenglama  sinus  va  kosinus  funksiyalariga  nisbatan  bir
jinslidir.  Tenglamalarning  har  ikki  tom onini  cos
2
x*0  ga  bo'lsak,
2tg2x — tg x -   1  =  0  hosil  bo‘ladi.  Bundan tgx= 1  va  tg  x = — ^   .
л
1
)  agar  tgx=l  bo'lsa, 
x = - — +nk,  k e Z
;
2)  agar  tg  x  = — ^   bo'lsa,  x  = —arctg^- 
+nk,  ke Z
 bo'ladi.
2- misol. 
cos
2
x+3sin
2
x+2 ^3  sinxcosx=3  tenglamani  yeching. 
Y e c h is h .  Bu  tenglama  ayniy  almashtirishlar  bajarish  orqali  bir  jinsli
ko'rinishga  keltiriladi.
213

---

cos
2
 
x  +
 3 sin
2
 
x  +
 2л/3 sin 
x
 cos 
x  =
 3(sin
2
 
x  +
 cos
2
 x), 
cos
2
 x + 3sin
2
 x + 2>/3 s in x  cos x  -  3 sin
2
 x  -  3 cos
2
 x  = 0
2 
cos
2
 x  -  2%/3 sin x cos x = 
0
.
2 
cos x(cos x  -  л/3 sin x) = 
0
.
1
)  agar  cosx  -   V3sinx/0  bo‘lib,  cosx
=0
  bo'lsa, 
х = ^ + л к ,  keZ;
2
)  agar cos x
*0
  bo'lib,  cosx -  л/3 sin л=Ь  bo'lsa,  t g x = ^   ,  x = ^ r  +&
7
Г, 
keZ;
IV.  asin x+bcosx =  
с
  ko'rinishdagi  tenglamani  yechiftg.
X
/   hsu/.  Bu  tenglamani  yechish  uchun  /&—  = /  almashtirish  bajariladi. 
2
f c §
Ma’lum ki,sin * ~ ~ 
^ x   ’ 
c o s x ~
 " 
2
  * ’  edi,  shunga  ko'ra  berilgan 
l + fc 
2
 
1
 + #  
2
tenglama  quyidagi  ko'rinishni  oladi:
2
аГ  + 6 0 - ^ ) =Ci 
2
 
at + b - b t 2  =c + ct2,
\ + t2
 
1
 +
12
7
 
a ±  yla2  + b2
  —
 
c2
(b + c)t  -  2at + (c -  b)
 = 
0
, 
t
  = ------------- ---------
c + 
b
~ 
d + v  a
2
  + 
b2  — с2
 
л
, 
~>
 
i
'
i
 
i
 
i
x  = 
2
arctg
---------------------- + 
2
Att, 
k e z ,   a  + b > c
 
va 
b ± - c .
c + b
Agar 
6
= -c  bo'lsa,  kvadrat  tenglama  chiziqli  tenglamaga  almashadi:
A 
b
2at+2b=0, 
t
  = ---- ,  x  = -2arctg — +2for,  &e Z
о 
a
I I   usul.
  Tenglamaning  har  ikkala  tom oniл/а