Ozbekiston respublikasi oliy va

(^ 2x
 + 3)2  = 
a2,
 
2х+3=я2,  bundan 
2x=a
2—3  yoki
a2
 —
 3
x =
—-—   yechim  hosil  bo'ladi.
T e k s h i r i s h .  
^|2 * ^ - ^  + 3  = й,  7
"a2  = a,  a = a.
__ ______  
____ .___ Л'
5-misol.  Vx2 + 4jc + 4 + 
4 x 2  -
 lOx + 25  = 10 
irratsional  tenglamani 
yeching.
Y e c h i s h .   Bu  tenglamani 
yJ(x  + 2)2  + y j ( x -
5)2  =10  yoki  |x+2|+
\x—
 5|=10  ko'rinishga  keltirib,  so'ngra  yechiladi.
a)  agar 
x < -   2
  bo‘lsa, 
—x  —
  2—x+5=10,  bundan  —2x=7  yoki 
x=—
3,5;
b)  agar  —2yechimga  ega  emas;
d) 
agar 
x>5
  bo‘lsa,  x+2+;r-5=10,  bundan  2x=13  yoki 
x=6,5.
  x=—3,5 
va 
x=6,5.
MUSTAQIL  YECHISH  UCHUN  MISOLLAR
1.  1 + 
yl2x
 -  2  = jc.
Javobi:
3.
2.
V4 -  
x
 + >/5 + 
x
  = 3.
■ Javobi:
X[  =4;  x2  = “ 5.
3.
yl2x
 +1  = 
2-Jx  - \ J x -
 3.
Javobi:
x  = 4 .
4.
yjl + x \ j x 2
  +24  = jt + 1.
Javobi:
x,  =0;  x2  = 5.
5.
Va + 
x
 + 
y j a -  x
  = 
y/2x.
Javobi:
x,  = 
-a ;  x2
  = 
a.
6.
Vx —
 3 + Vx + 18 
— x.
Javobi:
x
  =  7.
7.
■Jx
 + 4 + л/20 + 
x
  = 8.
Javobi:
x  =  5.
8.
л/Зл: + 4 + Vx -  4  = 2л/хГ
Javobi:
x  =  4.
9.
Vx + Vx + l l + - \ / x - V x  + l l   =4.
Javobi:
x  =  5.
10.
V l 5 - x  + л / 3 - х   = 6.
Javobi:
x = -1.
184

---

И-  1 + Vl + W x
2
 -2 4   = x.
12.  л/Зх + 7 -  
у/х
 + 1  = 2.
13.  ^/l + Vx  + л/l -  Vx  =
2
.
14-  Vx + 
6
 -  %/х 
+1
  = 
1
.
9 -§ .  Parametrli  irratsional  tenglamalarni  yechish
1
- misol.  ^/х 
- 1
  = x -  a  tenglamani  yeching.
Ye c h i s h .   Berilgan  tenglama  quyidagicha  yozib  olinadi:
x 
- 1
 -  Vx 
- 1
 + l - o  = 
0
- 
(
1
)
Agar  bu  tenglamada  Vx 
- 1
  = у  desak,  x  -  
1
  =  y2  bo'ladi,  u  holda
 
tenglamani  quyidagicha  yozish  mumkin:
y 2 - j  + l - a   =  0, 
y
u2  = i ± ^ I - ( l  
- a )   =
1
  ^  / 1 - 4  + 4a  _ 
1
  x V4a- 3 .
~~  2 
v 
4 
2 “ 
2 
’
l + V 4 a - 3 .  
l - V 4 a - 3
Л   -  
2 
> 
^2 
2
3
(
1
)  tenglama  faqat  a 
2
 -  boigandagina,  yechimga  ega  bo'ladi,  ya’ni
I---- г 
1
 -  V4a -  3
V x -
1
= -------------, 
(
2
)
I---- г 
1
 + V4o -  3
V x -
1
= ------- ----- , 
(3)
(
2
)  tenglama  i _ V
4
o -  
3
 
£ 0
  bo'lganida  yechimga  ega  bo'ladi.  (
2
)  va
3
(
3
)  yechilsa,  -    tengsizlik  hosil  bo'ladi,  u  holda  tenglama  quyidagi
 
ko'rinishdagi  ikkita  haqiqiy  har  xil  yechimga  ega  bo'ladi:
Javobi:
 
Xj  = —1;  x2  = 3.
Javobi: 
x
  =  0.
Javobi: 
x   —
  3.
Javobi:
 
x   =   7.
185

---

2а
 +1 +■ V4a -  3 
2й +1 — 
-J4a
  - 3
 
Х | = ---------- 2---------- ; 
---------- 2----------•
Agar 
а>
 1  bo‘lsa, tenglama  xlj2  = -2а + 1 т У 4ол 1   yechimga ega bo‘ladi,
3
agar 
a< —
  bo'lsa,  tenglama  yechimga  ega  bo'lmaydi.
2-misoI. 
y / 3 x - 2
 + Vx + 2  = a  tenglamani  yeching.
Y e c h i s h .   Bu  tenglamaning  aniqlariish  sohasi
3x -  2 > 0, 
x  + 2
 £ 0
■
 
2
x 2: -2  
J
2л/б
bo'ladi,  u  holda  berilgan  tenglama  aj  > —
bo'lgandagina  yechimga  ega
2л/б
bo'ladi,  agar 
a< 
——   bo‘lsa,  yechimga  ega  emas:
.  \/ 3x- 2  
-  a - - J x  + 2
 
(1)
3x -  2 
= a 2  -  2
aVx + 2 + x + 2, 
2л:- 4  = a2  -  
2 a J x  + 2,
2x
 + 4 + 
2a-Jx + 2  - a 2  -
 8 = 0, 
2 (x + 2) + 2aVx + 2 -  a2  - 8  = 0.
agar 
yjx  + 2 =  у
 
desak, 
2>-2  + 2ay -  a2 - 8   = 0 
yoki 
2y2 + 2 a y -  
- ( o 2  + 8) = 0,  bundan
~a±>Ja2 + 
2a2
 
+16 
- a ± ^ 3 a 2
 
+16
 
tt.2  - -----------
2
----------- = ---------
2
-------- ’
^ T 2 = i£ .-
^
16 . 
(3)
(4)
186

---

а
 £ —
da  (3)  tenglama  yechimga  ega  emas,  (4)  tenglama  esa
2а2  + 4 - а у 1 з а 2 +16 
,  (1  ,.
 
x
 = ------------ -------------   yechimga  ega  bo ladi.
2л/б
bo‘lsa
3-misol. 
,/x 2 
-  a x + 2
  = 
x  
- 1   tenglamani  yeching.
j x - l > 0 ,  
J x S l ,
Y e c h i s h :  
^ 2
  _ a t  + 2 = (jc_ 1)
2
0 | („ _ 2) x = |.
Agar 
a
= 2  bo' lsa,   sistem a  yechimga  ega  emas,  agar 
a *  2
 
*2:1
v _ 
*  hosil  bo'ladi,  u  holda  ----- -  ^ 1  yoki 
2
  bo'ladi.
я   ~  
o - 2
a - 2
1
Javobi.
  Agar 
2
  bo'lsa,  x = - —- ,  agar 
a<
2,  bo'lsa, 
a>
3  tenglama 
yechimga  ega  emas.
4-misol. 
y j a - J a  + x
  = 
x
 
tenglamani  yeching.
x £ 0,
x 5 0,
x S 0,
Y e c h i s h .
a + x > 0, 
=> • х г - в ,  
=> <
=>  •
a - ' J a  + x t
 0
a £ Va + x
a2  > a  + x
x
 £ 0, 
x
 £ 
- a ,
 
x < , a 2  -  a.
Tenglamaning  aniqlanish  sohasi,  agar 
a z l
  bo'lsa, 
q 
й х й а 2 ~ а
bo'ladi. 
a
 -  
4 a
 + x  = 
x 2
  У°М 
J a  + x
  ® 
a
 -  
x 2,
  b u a - x 2 &0  tenglama 
bo'lgandagina  yechimga  ega,  shuning  uchun 
a + x  *> a 2  -  l a x 2
  + x4  Y°ki
a
2  - ( 2 x 2 + 1 )a + (x4  - x )  = 0.
al,2  ~
2x2 +1 ± yj(2x2 + l  f   -  4x2 + 4x
Oj  = 
x
  -  x  tenglama 
a  - x
  > 0  shart  uchun  x =
; 
ax
  *  x2  -  x;  e2  e  * 2  + * + 1» 
-1 ± >/4fl~3
187

---

MUSTAQIL  YECHISH  UCHUN  MISOLLAR
Quyidagi  tenglamalarni  yeching.
1-  V x - 3  
= x
 -  
a,
Javobi:
 agar 2,75x  =
 
^ { l a
 +1 ± V 4 f l - l l j   agar 
a
>3  bo‘lsa, 
л: = ^(2й + 1 + л/4д-11).
i
2- 
4 х - а  - b -х .  Javobi:
 agar 
b>a
 bo'lsa,  r = - x  (
2b
 +1 -  
-J4b
 -  4a +1 j; 
agar Z)3. 
Ы  -ак+3а=2-х.  Javobi:
  agar  —4a<—
4,  a>  4  bo'lsa, 
yechimga  ega  emas.
«V
4-  V 2 x - 4  + 
yjx + 7  = a.  Javobi:
  agar  a>3  bo'lsa,  x=3a2+ l l- 2 a ;  agar 
a<3  bo'lsa,  yechimga  ega  emas.
5-  V 2x- 1  + 
4
x
- 2
  = a. 
Javobi:
  agar  0,5л/б  < a < V3  bo'lsa,
x = 3a2
- \ ± ^ 2 а ъ
  - 3   agara>73  bo'lsa, 
x   = Ъаг  - \  + 2а^2аъ
 
agar 
a<0,5 ^6 
bo'lsa,  yechimga  ega  emas.
6- 
^ 2 x 2 - 2 a x  + \
  = x - 2 .  
Javobi:
  agar  a > |   bo'lsa,
x = a - 2  + Vo2 - 4 a  + 7;  agar  a< — 
bo'lsa,  yechimga  ega  emas.
7- V 3 x - a  
= a - 2 x .  
Javo b i:
  agar 
bo'lsa,
* =  g(4o + 3 -  V8a + 9j;  ;  agar 
a<0
  bo'lsa  yechimga  ega  emas.
8- 
yjx —
 1 + V3 -  x  = a. 
Javobi :
  agar ^2  < a < 2  bo'lsa, 
x = (2 ± v4a2  -  e4 1: 2;  agar  a < л/2,  д > 2  bo'lsa,  yechimga  ega  emas.
188

---

9. 
х
 + л/l —
 х  = a. 
Javobi:
  agar  x12  =
1 -  2o ± л/5- 4 a  
r- 
--------- z--------- .  а >  v 2
bo'lsa,  yechimga  ega  emas.
10-§.  Irratsional  tenglamalar  sistemasini  yechish
 
1-misol. 
Tenglamalar  sistemasini  yeching:
x + 
у   =
 13.
Y e c h i s h .   Sistemadagi  л/х 
+ yfy  = \  yfxy
  tenlamaning  har ikki  tomo-
o
nini  kvadrat  ko‘tarib,  ayniy  almashtirishlarni  bajarish  orqali  ratsional 
tenglamalar  sistemasi  hosil  qilinadi:
-468=0.  Agar 
j x y   =1
  desak,  25?2-72/’-468=0  bo'ladi,  bundan  /,=6  va
t =  -  —
  ildizlar  hosil  qilinadi. 
j x y
  =6  bo‘lsa, 
xy
  =  36  bo'ladi:
x + y = 13 
xy  =
 36
bu  sistema  yechiladi: 
x
  = 
I3~y,
  (13->')y=36; 
y2-3y=36;
2-  misol.
tenglamani  yeching.
x y   =
 15
189

---

I x2 + y 2
 
12
a)  x>
0
,  y>
0
, 
x>y
  u  holda 
x  + y -
 J  
x _ y y   ~ 
~
 
0
yoki 
x 2 - y 2 
- y j x 2
- y 1
  - 1 2  = 0. 
Endi 
^ x 2  - y 2  = t
  desak, 
. ■ - , - 1 2
  = 
0
;
/,  =  4, 
t2
  =   - 3 ,   shuning  uchun