O’zbekiston respublikasi oliy va o’zbekiston respublikasi

2-таъриф.Агар бирор бурчакнинг томонларини кесиб. ўтувчи икки тўғри чизиқдан бири шу бурчакнинг бир томони билан тузган бурчаги, иккинчи тўғри чизиқнинг ўша бўрчак. иккинчи томони би лан тузган бурчагига тенг бўлса, бундайиккитўғри чизиқ шу бурчакка. нисбатан антипараллел тўғри чизиқлар дейилади.
Натижалар. Агар инверсия маркази билан бир тўғри чизиқда ётмаган ва нуқталарга ва нуқталар инверсион мос нуқталар бўлса, бу ҳолда:

1. 
   бурчакнинг томонларини ва мос тўғри чизиқлар билан кесишдан ҳосил бўлган тубандаги бурчаклар конгруэнт бўлади: . ,
   

ва
(бунинг тўғрилиги юқорида исбот қилиқди).

2. 
   Агар бурчакнинг томонларини ва тўғри чизиқлар билан кесишдан ҳосил бўлган бурчаклар учун
   

ва
бўлса, А билан А' ва В билан В' нуқталар бурчак учига нис- батан ўзаро инверсион мос бўлади.
Бунинг исботй юқорида қилинган исботнинг тескарисича бажарилади.
Бунда кўрсатилган бурчакларнинг тенглигидан ва учбурчакларнинг ўхшашлиги маълум бўлади ва шунга асосан_;
ёки
Бумуносабатдан билан нинг ва билан нинг марказга нисбатан . даража билан инверсион мос экани маълум бўлади.

3. 
   Инверсия марказа ва бир жуфт инверсион нуқталар – инверсиянианиқлай олади.
   

Ҳақиқатан, йнверсия айланасига нисбатан берилган инверсион нуқталарнинг бир жуфти ёрдамида шу айлана текислигидаги ҳар бир нуқтани инверсион акслантириш мумкин.
Чунончи, 166- чизмадаги ва инверсион нуқталар ва яна бирор нуқта ҳам берилса, бу нуқтага мос нуқтани қуйидагича топиш мумкин: нурда кесмани ва нурда кесмани ажратиб, бундан ҳосил бўлган ва нуқталар туташтирилади. Берилган нуқтадан ўтказилган тўғри чизйқ нур билан кесишиб, изланган нуқтани беради. Ҳақиқатан, ясалишига кўра (кейинги икки тўғри чизиқнинг параллеллиги ва сабабли) қуйидагилар мавжуддир:
ва
Юқоридаги иккинчи натижага биноан, ва нуқталар ўзаро инверсион мос бўлади.

4. 
   Агар бирор и айланага нисбатаи ва нуқталар ва нуқталар билан инверсион мос бўлиб бўлса, бўлади .
   

Демак, ива айланаларўзаро ортогонал айланалардир.
и билан айланаларнинг ортогонал бўлишини қуйидагичақам исбот қилишмумкин.
Иккинчи йўл. Маълумки, ўзаро ортогонал бўлган айланаларда марказлар масофасининг квадрати, радиуслариквадратларининг йиғиндисига
тенг, яъни ва айланалар ўзаро ортогонал бўлиши учун:

тенгликнинг ўринли бўлиши шарт. и ва айланалар учун бушарт тўла бажарилади. Ҳақиқатан ҳам, 165-IIчизмадаги айланада шундай Ануқтаоламизки, тўғри чизиқ , нуқтадан ўтсин. Бу ҳолда тубандагиларни ёза оламиз:

Бу тенгликнинг иккала томонини квадратга кўтарайлик:

Шартимизга мувофиқ:

тенглик мавжуд бўлгани учун буни олдинги тёнгликка қўйиб,
қуйидагй натижага келамиз:

Шунинг билан ива айланаларнинг ортогоналлиги исбот қилинди.
165-1 чизмадаги ва тўғри чизиқларнинг хоссаси келгуси теоремаларни исбот қилишда ва баъзи бир масалаларни ечишда керак бўлади. Шунинг учун бу хоссани ифодаловчи таъриф билан танишиб ўтамиз.

1. 
   таъриф. Агар бирор бурчакнннг бир томонида, ётган билан ҳамда иккинчи тсмонида ётган билан нуқталар шу бурчакнинг учига нисбатан бирор даражада инверсион мос бўлса, бундаги ва тўғри чизиқларни ўша бўрчакка нисбатан антипараллел тўғри чизиқлар дейилади.
   
2. 
   таъриф.Агар бирор бурчакнинг томонларини кесиб. ўтувчи икки тўғри чизиқдан бири шу бурчакнинг бир томони билан тузган бурчаги, иккинчи тўғри чизиқнинг ўша бўрчак. иккинчи томони би лан тузган бурчагига тенг бўлса, бундай
   

икки тўғри чизиқ шу бурчакка. нисбатан антипараллел тўғри чизиқлар дейилади.
Натижалар. Агар инверсия маркази билан бир тўғри чизиқда ётмаган ва нуқталарга ва нуқталар инверсион мос нуқталар бўлса, буҳолда:

1. 
   бурчакнинг томонларини ва мос тўғри чизиқлар билан кесишдан ҳосил бўлган тубандаги бурчаклар конгруэнт бўлади: . ,
   

ва
(бунинг тўғрилиги юқорида исбот қилиқди).
II.Агар бурчакнингтомонларини ва тўғричизиқлар^биланкесишданҳосилбўлганбурчакларучун
ва
бўлса, билан ва билан В' нуқталар бурчак учига нисбатан ўзаро инверсион мос бўлади.
Бунинг исботй юқорида қилинган исботнинг тескарисича бажарилади.
Бунда кўрсатилган бурчакларнинг тенглигидан ва учбурчакларнинг ўхшашлиги маълум бўлади ва шунга асосан_;-
ёки
Бу муносабатдан билан нинг ва билан нинг марказга нисбатан . даража билан инверсион мос экани маълум бўлади.
III.Инверсия марказа ва бир жуфт инверсион нуқталар – инверсияниТаниқлай олади. .
Ҳақиқатан, йнверсия айланасига нисбатан берилган инверсион нуқталарнинг бир жуфти ёрдамида шу айлана текисли- гидаги ҳарТбир нуқтани инверсион акслантириш мумкин.
Чунончи, 166- чизмадаги ва инверсион нуқталар ва яна бирор нуқта ҳам берилса, бу нуқтага мос нуқтани қуйидагича топиш мумкин: нурда кесмани ва нурда кесмани ажратиб, бундан ҳосил бўлган ва нуқталар туташтирилади. Берилган нуқтадан ўтказилган тўғри чизйқ нур билан кесишиб, изланган нуқтани беради. Ҳақиқатан, ясалишига кўра (кейинги икки тўғри чизиқнинг параллеллиги ва сабабли) қуйидагилар мавжуддир:
ва
Юқоридаги иккинчи натижага биноан ва нуқталар ўзаро инверсион мос бўлади.
IV.Агар бирор айланага нисбатаи ва нуқталар
ва нуқталар билан инверсион мос бўлиб бўлса, бўлади. .









Ҳақиқатан, берилган ва лардан бирмни иккинчисига ҳадлаб бўлсак, чиқади. Демак, (166-1чизмага кўра) бўлади. Бундан, эканлиги маълум бўлади.
Хулоса. Инверсия айланасига концентрик айланада ётган нуқталарга инверсион мос нуқталар иккинчи концентрик айланада ётади.
Бунинг тўғрилиги 166-1 чизма қақида юргизилган муқокамадан кўринади.
V. Агар инверсия айланаси текислигида жойлашган ва кесмалар маълум бўлса, ва нуқталарнинг шу айланага нисбатан инверсион мос ва нуқталари орасидаги масофани топиш мумкин.
Ҳақиқатан, 166-чизмадаги данушбу пропорцияни ёзиб:

бунинг ўнг томонини қуййдагича ёзиш мумкин:
(1) ва (2) тенгликлардан

ёки изланган

ҳосил бўлади.
52-§. ТЎҒРИЧИЗИКНИИНВЕРСИОНАКСЛАНТИРИШ
.Тўғричизиққаинверсионмосфигуратубандагитеоремалар
билананиқланади.
1-теорема.Инверсияяарказиданўтўвчитўғрикизиққаинверсионмосфигурашутўғричзиқнингўзидир.
Ҳақиқкган, теоремадаайтилгантўғричизиқнингинверсияайланасибиланкесишишнуқталаринингҳарбири (инверсияайланасигақарашлибўлганиучун) инверсионакслантиришдаўшануқтанингўзигаўтади (50-А §, IVхоccа).
Иккинчи томондан, инверсия марказидан чиққан нурнингҳар бирнуқтаси инверсион акслантиришда яна ўша нурдаётувчи иккинчи бир нуқтага ўтади (49-§).
Демак, теорема ўринли.
Бунда яна қуйидагиларни ҳам назарда тутилади:
а) инверсия марказидан чиққан нурнинг инверсия айланаси
ичида жойлашган бўлаги, ўша нурнинг ташқи бўлагига ўтади
ва, аксинча (167-чизма);
б) инверсия марказидан ўтувчи тўғри чизиқнинг нуқтасига (яъни инверсия марказига) ҳеч қандай нуқта инверсионмос келмайди ва унинг ўзи ҳам ҳеч қандай нуқтага инверсионмос бўлмайди.
2-теорема. Инверсия марказидан ўтмовчи тўғри низиққаинверсирн мос фигура инверсия марказидан ўтувни айланадир.
Бу теоремани турли йўллар билан исбот қилиш мумкин; бупараграфда қуйидагн икки йўлни кўрамиз:
Биринчи йўл. Инверсия айланасининг марказидан берилган тўғри чизиққа перпендикуляр тушириб, бу перпендикулярнинг асоси бўлган нуқтага инверсион мос нуқтани топамиз (167-1 чизма).

1. 
   Сўнгра тўғри чизиқнинг ихтиёрий нуқтасини
   инверсион акслантириб,
   нуқтани топайлик. Энди
   

ва нуқталарнинг қандай фигурага қарашли эканлигини^- аниқлаймиз.
Бунинг учун ва нуқталарни ўзаро туташтириб, ва кесмаларнинг бурчакка нисбатан антйпараллел лигидан фойдаланамиз.
Бундан олдинги § даги I натижага биноан:

бўлиб, буларнингкейингисиясалишигакўратўғрибурчакбўлганиучунолдингисиҳамтўғрибурчакбўладй. Шусабабли нуқта кесманидиаметрқилнбчизилган айланадаётади. Агар нуқта тўғричизиқбўййчаҳаракатланса, унгамосбўлган нуқта айланабўйичаҳаракатланади. Аксинча, айлананинг( данбошқа) ҳарбир нуқтасиучун тўғричизиқдаунгаинверсионмоебўлган нуқтанитопишмумкин.
Ҳақиқатан, агар нуртўғричизиқбилан нуқтаданкесишса, бўлганиучунўтган § дагиIIнaтижагаасосан бўлади. буэса ва нуқталарнингўзароинверсионмосэканлигиникўрсатади.
Иккинчийўл.Бундаҳамбиринчийўлдаайтилган ва нуқталарга. мос ва нуқталарнитопиб, қуйидагичамуҳокамаюритамиз.
Бундан олдинги § даги теоремага асосан нуқталардан ўтувчи а айланани чизайлик (167-11 чизма). бурчак ясалишига кўра, тўғри бурчак бўлгани учун ёй ярим айлана бўлади.
Шунинг учун айлананйнг иккинчи ярмига тиралган бурчак ҳам тўғри бурчак бўлиб, унга қўшни бўлган бурчак ҳам тўғри бўлади. Демак, нуқта диаметр билан чизилган айланада ётади.
Энди айлананинг (0 дан бошқа) ҳар бир нуқтаси тўғри чизиқдаги бирор нуқтага инверсион мос бўлишини кўрсатамиз. Бу фикрнинг тўғрилигига қуйидаги йўл билан ишонч ҳосил қилиш мумкин. нур тўғри чизиқ билан нуқтада кесишсин. 167-II чизмадаги фигураларнинг ясалишига биноан қуйидаги тенгликлар мавжуддир:

Бундан тўртбурчакка ташқи айлана чизиш мумкинлиги билинади. айланани чизиб, унга ўтказилган ва кесувчилар учун қуйидагиларни ёзамиз:
Бу тенглик ва нуқталарнинг ўзаро инверсион мослигини билдиради. Демак, айлананинг( дан бошқа) ҳар бир
нуқтаси учун тўғри чизиқда унга мос нуқта топииг
мумкин.
Демак, инверсия айланаси текислигидаги бирор нуқта
инверсия марказидан ўтмовчи тўғри чизиқ бўйича ҳаракат
қилганида, унинг образ бўлган нуқта инверсия маркази-
дан ўтувчи аниқ бир айлана чизади; нуқта ўзининг бундай
ҳаракатида инверсия марказидан „ирғиб* ўтади.
Юқоридагилардан, тўғри чизиқни инверсион акслантириш-
нинг қуйидаги умумий усули маълум бўлади; инверсия мар-
казидан ўтмовчи тўғри чизиқнинг инверсиясини чизиш учун
инверсия маркази. дан бу тўғри чизиққа перпендикуляр
ўтказиб, унинг тўғрй чизиқдаги асоси белгиланади (4-§
14-масала) нуқтани инверсион акслантириб нуқта топи-
лади (50-§). Ниҳоят кесмани диаметр қилиб айлана чизи-
лади. Шу айлана берилган тўғри чизиқнинг инверсион акси
ҳисобланади.
Шунинг билан бйрга, тўғри чизиқни инверсион аксланти-
ришда учрайдиган хусусий ҳолларни кўздан кечириб ўтайлик:

1. 
   Инверсия айланаси билан умумий нуқтага эга бўлмаган
   тўғри чизиққа инверсион мос фигура инверсия айланаси ичи-
   да ётиб, унинг марказидан ўтувчи айланадир (167- II чйзма).
   
2. 
   Инверсия дйланасига уринувчи тўғри чизиққа мос фи-
   гура инверсия марказидан ўтиб, ўша тўғри чизиққа уринувчи
   айланадир (167-III чизма).
   
3. 
   Инверсия айланасини кесиб, унинг марказидан ўтмовчитўғри чизиққа инверсион мос фигура инверсия маркази ваберилган тўғри 'чизиқнинг инверсия айланаси билан кесишишнуқталаридан ўтувчи айланадир (167- III, IV чизмалар).
   

IV.Инверсия марказидан ўтмовчи параллел тўғри чизиқларга инверсион мос фйгуралар инверсия марказида бир-бирйга уринувчи айланалардир ва, аксинча (167- III ва IV чизма).

4. 
   V. Инверсия марказидан ўтмайдиган, бироқ, ўзаро
   

1. 
   

2. 
   

кесишувчитўғричизиқларгаинверсионмосфигураларинверсиимарказиданўтиб, янабирнуқтадакесишувчииккиайланадир(167-Vчизма). Бу айланаларнинг данбошқа кесишган нуқтаси берилган тўғри чизиқлар кесишиш нуқтасига мос бўлади. Бунинг тўғрилигини исбот қилинг.
Топшириқлар
1.2- теоремани антипараллел тоғри чизиқлар хоссасидан фойдаланмай исбот қилинг. '
II. Ўзаро уринувчи айлана билан тўғри чизиқнинг бирини иккинчисига ўтказувчи инверсия маркази ва радиусини топинг.
III. Ўзаро кесишувчи айлана билан тўғри чизиқнинг бирини иккинчи- сига ўтказувчи инверсиянинг маркази ва радиусини топинг (бундай марказ нечта топилади).
IV. Икки тўғри чизиқдан бирини иккинчисига ўтказувчи ннверсия мав- жудми?
53- §. АЙЛАНАГА ИНВЕРСИОН МОС ФИГУРА
1-теорема.Инверсия марказидан ўтувчи айланага инверсион мос фигура инверсия марказидан ўтувчи тўғри гизикдир..






Ҳақиқатан, 167-1 чизмадаги айланага инверсион фигура, инверсия инволюцион мослик бўлгани учун тўғри чизиқ бўлади (50- А § даги 1 хосса).
Демак, инверсия марказидан ўтувчи айланага инверсион мос тўғри чизиқ қуйидагича ясалади: даставвал иккала айлaнанинг марказлар чизиғи ўтказилади (167-I чизма) бу чизиқнинг берилган айлана билан кесишган (инверсия марказидан бошқа) нуқтасини инверсион алмаштириб, нуқта топилади (50- §) сўнгра тўғри чизиққа унинг нуқтаси орқали перпендикуляр ўтказилади.
2- теорема. Инверсия марказидан ўтмовчи айланага инверсион мос фигура ўша марказдан ўтмовчи айланадир.
Инверсия маркази айни вақтда инверсион айланаларнинг ўхшашлик маркази ҳам бўлади.
Бўни исбот қилиш учун инверсия айланаси билан берилган айлананинг марказлар чизиғини чизамиз (168-1 чизма). Марказлар чизйғи айланани ва нуқталарда кесcин. Бу нуҳталарни айланага нисбатан инверсион алмаштирайлик.
ва нуқталарга инверсион мос нуҳталар ва бўлсин. кесмани диаметр қилиб айлана чизамиз. Кейинги айлана берилган айланага инверсион мос бўлади. Бунинг тўғрилигини исбот қилайлик. айланадаги ихтиёрий нуқтага айланага нисбатан инверсион бўлгай нуқтани топиб, бу нуқтанинг айланага қарашли бўлишини кўрсатамиз. нуқтанинг айланада ётишига ишониш учун уни ва нуқталар билан туташтиришдан ҳосил бўлган бурчакнинг тўғри бурчак эканлиги исбот қилинса кифоя. Бунинг учун бурчакнинг тўғри бурчак бўлган бурчакка тенглиги исбот қилинса бас. '
52-§ даги теореманинг I натижасига мувофиқ, 168-1 чизманинг тузилишига таяниб, мана бу тенгликларни ёзамиз.

Бу тенгликларнинг биринчйсидан иккинчисини айирсак, қуйидаги тенглик чиқади:

Чизманинг тузилишига мувофиқ, бу тенгликнинг чап томонни га ва ўнг томони эса бурчакка тенг бўлгани учун кейинги бурчакнинг ҳам тўғри бурчак эканлиги маълум бўлади.
Шунинг билан теореманинг биринчи қисми исбот бўлди. Демак, нуқта айлана бўйича ҳаракатқат қилганда нуқта диаметр билан чизилган айлана бўйичаҳаракат қилади.
Агар айланада ётувчи ихтиёрий бир нуқта олсак, у айланада ётувчи бйрор нуқтага инверсион мос бўлйшини кўрсатиш мумкин. Шунинг учун айланага инверсион фигура айлана бўлади. 168-1 чизмада нуқтага инверсион мос нуқта нуқтадир.
Бунда шуни ҳам айтиб ўтиш лозимки, инверсион мос ва айланаларнинг марказлари умуман ўзаро инверсион мос бўлмайди.
Эндитеореманинг иккинчи қисмини исбот қилайлик.







Маълумки, икки айланадаги параллел радиусларнинг учлари орқали ўтувчи тўғри чизиқ билан марказлар чизиғининг кесишиш нуқтаси ўша икки айлананинг ўхшашлик маркази бўлади (37-§ ва 125-128-чизмалар).
Шунинг учун тўғри чизиқнинг ва нуқталарини ва марказлар билан туташтирувчи ва радиусларнинг ўзаро параллел бўлишини исбот қилсак кифоя. бўлгани учун уларга қўшни бурчаклар ҳамконгруэнт бўлади, яъни
Умумий ёйгатиралганликлариучунқуйидагиичкичизилганбурчакларҳамконгруэнтбўлади:

Буиқкитенгликдан:

Буларнингҳарбиридан 2 мартакаттабўлган ,марказийбурчакларниҳамбир-биригақуйидагичатенглаштираоламиз_:

Шунингучун ва радиусларўзаропараллелбўлиб, биланмарказларчизиғинингкесишган нуқтаси ва айланаларнингўхшашликмарказибўлади. Бундапараллелрадиуслармарказларчизиғинингбиртомонидабўлганиучун нуқтаташқиўхшашликмарказибўлади.
Шундайқилиб, чизмадаги -нуқта нуқтагаинверсионмосва нуқтагаэсагомотетикмосдир. Агар кесувчини марказатрофидаайлантириб, униинверсионмосиккиайланагаумумийуринмаҳолатигакелтирсак, нуқта нуқтабиланбирлашиб, битта уринишнуқтасиниҳосилқилади; нуқтаҳамиккинчиайланадагиуриниинуқтасигаайланади. Демак, инверсионмосбўлганиккиайланагаинверсиямарказиданўтказилганумумийташқиуринманинг ва уринишнуқталариўзароинверсионвагомотетикмосбўлади.
Кейингитеоремагакўраинверсиямарказиданўтмовчиайлананиинверсионакслантиришучунқуйидагийўлларданбиринйишлатишмумкинлигимаълумбўлади:
Биринчийўл.Инверсияайланасибиланберилган айлананинг марказларчизиғиўтказилади (168-Iчизма). Бучизиқнингберилганайланабиланкесишган ва нуқталариниинверсионакслантириб, ва нуқталартопилади. Сўнгра , кесманидиаметрқилиб айланачизилади.
Иккинчийўл.Берилган айлананинг тўғричизиқдаётмаганбирор нуқтасиниинверсионакслантириб нуқтатопилади (168- Iчизма). нурнинг айлана билан кесишган иккинчи нуқтаси ни айлананинг маркази билан туташтирилади. нуқтадан тўғри чизиқ ўтказилади. Бу тўғри чизиқнинг тўғри чизиқ билан кесишувидан из-
ланган айлананинг маркази ҳосил бўлади. марказдан радиус билан чизилган айлана берилган айлананингйнверсияси бўлади.
Энди, учраши мумкин бўлган хусусий ҳолларни кўрибўтайлик.
I.Агар (168-1 чизмадагикаби) айланаинверсияайланасибиланумумийнуқтагаэгабўлмасаваунданташқаридаётса, айланагаинверсионмос айланаайлананингичидажойлашиб, биланумумийнуқтагаэгабўлмайди.
Бу ҳолда инверсия маркази нуқта инверсия айланаларининг ташқи ўхшашлик маркази бўлади.
II.Агар (168- II чизмадаги каби) айлана берилган айланаиинг ичида ётса, айлана айлананинг ичида жойлашиб нуқта нинг ичида ётади ва бу нуқта инверсион ва айланаларнинг ички ўхшашлик маркази бўлади.
III.Агар 168- III ва IV чизмалардаги каби ва
айланаларўзаро кесишса, айлана уларнинг кесишиш нуқталариданўтади.Бу ҳолда инверсия марказиинверсйон айланаларнинг баъзанташқи ва баъзан ички ўхшашликмарказига тўғри келади.


IV.Агар айлана биланбирор нуқтада уринса, ҳам унга ўша нуқтада урйнади (168- Vва VI чизма.).
ва айланалар ташқи уринувчибўлганларида инверсия












маркази. ташқиўхшашликмарказигатўғрикелиб (168-Vчизма), уларичкиуринувчибўлганларидаэса марказичкиўхшашликмарказигатўғрикелади (168- VIчизма).
V. Агар айлана гаортогоналбўлса, айлана биланустма-усттушади;ҳақиқатан, айлайанингмарказидан гаўтказилганкеcувчивауринмаларнингхоссаларигамувофиқ (165.IIчизмадан) қуйидагиларниёзсакбўлади:

Булардантубандагилармаълумбўлади: ~

буларгатаяниб, дейишмумкин.
Демак, инверсияайланасибилан. ортогоналкесишганайлананингташқиваичкибўлагиўзароинверсионмосбўлади.
Юқоридакўрилганҳолларниқуйидагичаумумлаштиришмумкин:
Инверсиямарказиёиккалаинверсионмосайланаларнингташқарисидаётади (168- IIIваVчизма), ёкииккаласинингҳамичкаоисидаётади (168- II, IVваVIчизмалар); биринчиҳолдаинверсиямарказиинверсионайлана










ларгаташкиўхшашликмарказибўлиб, иккинчиҳолдаэсауларгаичкиўхшашликмарказибўлади.
VI. Инверсияайланасигаконцентрикайланаунгаконцентрикбўлганиккинчиайланагааксланадиваинверсиямарказиинверсионайланаларнингичкиваташқиўхшашликмарказларибўлади. Бунда: агараксланувчи айланаинверсияайланасиданкаттабўлса, унгамос айлана данкичикбўладива, аксинча айланачексизкатталашибтўғричизиққаинтилгансариVайланакичрайибинверсиямарказигаинтилади. айланаинверсияайланасигаяқинлашгансари айланаҳамунгаяқинлашибборади.
Инверсияайланасиўз-ўзигамосбўлганиучўнунингҳаммануқталариҳамўз-ўзигамосдир.
VII. Иккиинверсионмос ва нуқталарданўтувчиҳаммаайланаларинверсияайланасигаортогоналбўлганайланаларнингэллиптикдастасинитузадива тўғричизиқбудастанинградикалўқибўлади (168- VIIчизма).
168-VIIчизмадаберияган айланаганисбатанинверсионмосбўлган ва нуқталарданўтувчиҳаммаайланаларданбирортасини, масалан, айлананиигаортогоналлигиниисботқилайлик. Бунингучунқуйидагитенгликнингмавжудлигиниисботқилинсакифоя (51- §):

Чизманингтузилишигакўра, қуйидагилармавжуд:

Буиккитенгликниҳадлабкўпайтириб, берилган муносабатниэътиборгаолсак, изланувчи (1)тенгликкелибчиқади.
ва нуқталарданўтувчибошқаайланаларганисбатанҳам (1) тенгликнингмавжудлигинишундайисботқилишмумкин. Лекин, бундақуйидагининазардатутишкерак:
Бу (4) муносабатданкўринадики, инверсиямарказибўлган нуқта ва нуқталарданўтувчиҳаммаайланаларганисбатанбирхилдаражага
эга, яъни нуқтаданбуайланаларгаўтказилганҳаммауринмаларнингкёсмаларибир-биригатенгвауринишнуқталарининггеометрикўрниинверсия айланасиданиборатдир (бунгаинверсияайланасибилан нурнингкесйшишнуқтасикирмайди).
Топшириқлар
I*. Ўзароташқиёкиичкиуринувчииккиайланаданбиринииккинчисигаўтказувчиинверсияайланасинитопинг.
II*. Бирииккинчисинингташқарисидаётиб, бир-биригауринмокчииккиайланадан, биринииккинчисигаўтказувчиинверсияайланасинитопйнг.
III*. Ўзароуринувчииккиайлананипараллеликкитўғричизиққаўт- казувчиинверсиянингмарказиқаердажойлашган?
IV*.Берилганайлананиўзигаўтказувчиинвёрсияайланасинитопинг.
V*. Берилган ва нуқталарданўтиб, берилган, айлананиортогоналкесувчиайланачизинг.
53-§. ИНВБРСИЯДАБУРЧАКНИНГЎЗГАРМАСЛИГИ
Буердаинверсионакслантиришнингқуйидагитёоремабилан,ифодаланувчиянабирмуҳимхоссасибилантанишамиз.
Теорема. Иккичизиқорасидагибурчак¹²уларгаинверсионмосчизикларорасидагибурчаккаконгруэнтбўлади.
Чизицлар орасидаги бурчакни ўзгартпмайдиган акслантиришлар конформ акслантириш деб аталади.
Буни исбот қилиш учун (169- чизмадаги) ва эгричизиқларга инверсион мос бўлган ва эгри чизиқларничизайлик.
билан чизиқлар нуқтада ва бйлан эса нуқтада кесишсин. Бу ҳолда А' нуқта А нуқтага инверсион мос бўлади.
Инверсия маркази нуқтадан эгри чизиқларни мос равишда нуқталарда кесиб ўтувчи ихтиёрий бир нур ўтказамиз. ўнгра, нурни ҳам чизиб, нуқтани ва нуқталар билан ҳамда нуқтани ва нуқталар билан туташтирамиз.
Бундаги билан ва билан тўгри чизиқларнинг бурчакка нисбатан антипараллел эканлигидан фойдаланиб (168-1 чизмадаги ни исбот қилишда қўлланилган йўл билан), тенгликнинг тўғрилигини исбот қилиш мумкин.
Агар нурни атрсфида айлантириб, бурчакни кичрайтириб борсак, ундаги ва нуқталар нуқтага, ва нўқталар эса нуқтага яқинлашиб боради , бу вақтда юқоридаги тенглик ҳамма вақт ўз кучини сақлаб қолади. Бу


ҳолда (яъни бурчак га интилганда) ундаги кесувчилар ва ёйларнинг нуқтасига ўтказилган уринмалар вазиятига интилиб, ва кесувчилар эса ва ёйларнинг умумий нуқтасига ўтказилган уринмалар вазиятига интиладилар.
Шу билан бирга, ушбулар ҳам мавжуд:

нолгаинтилганида ва нинг кийматлари ўзаро тенг бўлиб қолганлиги учун уларнинг лимитлари ҳам ўзаро тенг бўлади, яъни

ёки

Чизмадан кўринадики, ва бурчаклар фақат абсолют қийматлари жиҳатидан тенг бўлиб, уларнинг ишоралари ҳар хилдир.Топшириқлар
I. Инверсион акслантиришда алланаларнинг уриниши сақланишини исбот қилинг; бунда қуйидаги ҳолларга тўхталинг:
а) бирор М нуқтада бир-бирига уринувчи ва айланаларнинг иккиси ҳам инверсия марказидан ўтмаган ҳол;
б) нуқтада бир-бирига уринувчи ва айланалардан биринчиси
инверсия марказидан ўтмаган, иккинчиси ўтган ҳол;
в) иккисидам инверсия марказидан ўтган ҳол.
II*- Инверсион акслантиришда айлана билан тўғри чизиқнинг уриниши сақланишини исбот қилинг; бунда қуйидаги ҳолларга тўхталинг:
а) бирор нуқтада уринувчи айлана билан тўғри чизтқдан бирортаси ҳам инверсия марказидан ўтмайди;
б) айлана инверсия марказидан ўтмай, тўғри чизиқ унинг орқали
ўтган ҳоли;
в) айлана инверсия марказидан ўтиб, тўғри чизиқ ўтмаган ҳоли;
г) берилган айлана ва тўғри чизиқнинг инверсия марказидан ўтган ҳоли.

55. 
    §.ИНВЕРСИОН МОС БЎЛГАН ОРТОГОНАЛ ЙЛАНАЛАРНИНГ БАЪЗИ МУҲИМ ХОССАЛАРИ
    

1- теорема. Ўзаро инверсион мос бўлган икки нуқта- дан.ўтувчи айлана ўз-ўзига инверсион ва инверсия айланасига ортогонал бўлади.
Буни исбот қилиш учун170- чизмадаги айланага нисбатан инверсион ва нуқталардан ўтувчи, бирор айланани чизайлик. Бу айлана билан инверсия айланасинйнг кесишган нуқталарини ва билан белгилайлик.
Бу ҳолда айланага нисбатан айланага инверсион бўлган икки айлана, албатта, шу ва нуқталардан ўтади; шунинг учун айлана айлананинг ўзи бўлади. Бундан ва айланаларнинг ўзаро ортогоналлиги маълум бўлади (52- § даги теоремага асосан).

2.