O’zbekiston respublikasi oliy va o’zbekiston respublikasi

и айланага нисбатан ва нуқталарнинг инверсиялари мос равишда ва нуқталар бўлсин (165-1 чизма).
Мана шу тўртта ва нуқтадан бир айлана ўтка-
зиш мумкинлигини ва бу айлананинг инверсия айланасига ор-
тогонал бўлишини исбот қилишимиз керак.
Бунинг учун берилган тўртала нуқтадан ҳар иккисини чизмада кўрсатилганча туташтиришдан ҳосил бўлган тўртбурчак қарама-қарши бурчакларининг, йиғиндилари га тенглигини исбот қилинса бас. Буниқуйидагича исбот қилиш мумкин, инверсиянинг таърифигакўра:



Булардан қуйидаги тенглик
чиқади:
165-1 чизма


Бу тенглик асосида тузилган:



пропорциядан ва бир бурчагининг умумийлигидан ва учбурчакларнинг ўхшашлиги мчълум бўлади.
Шунинг учун уларнинг мос томонлари қаршисидаги бурчаклари конгруэнт бўлади:

Чизмадан:

(3), (4) тенгликлардан изланувчи биринчи тенгликни, яъни:

тенгликни, шунингдек, (2) билан (5) дан изланувчи:

иккинчи тенгликни топа оламиз.
Демак, АВВ'А' тўртбурчакка ташқи айлана чизиш мумкин экан, яъци инверсион нуқталарнинг икки жуфти бир айланада ётар экан.
Энди, ўша тўртала нуқтадан ўтувчи айлананинг инверсия айланасига ортогонал бўлишини, яъни 165-1 чизмада ва айланаларнинг ўзаро ортогонал эканлигини исбот қиламиз. Буни қуйидаги йўллар билан исботлаш мумкин.
Биринчи йўл. Маълумки, бирор айлананинг марказидан иккинчи айланага ўтказилган уринма кесманинг узунлипи биринчи айлана радиусига тенг бўлса, бундай икки айлана бир-бирига ортогонал бўлади. Шунга кўра, 165-1 чизмадаги уринма кесмасининг радиусга тенглигини исбот қилинса етарли. .
Кесувчининг умумий хоссасига мувофиқ, чизмадаги нуқтадан айланага ўтказилган кесувчидаги ва кесмаларнинг кўпайтмаси ундаги уринманинг квадратига тенг:
(6)
Иккинчи томондан, инверсиянинг таърифига мувофиқ,

тенгликни ёза оламиз.


Кейинги иккита тенгликдан ёки эканлиги маълум.бўлади.
Демак, ва айланаларўзаро ортогоналайланалардир.и билан айланаларнинг ортогонал бўлишини қуйидагичаҳам исбот қилиш мумкин,
Иккинчи йўл. Маълум-ки, ўзаро ортогонал бўлган айланаларда марказлар масофасининг квадрати, радиуслариквадратларининг йиғиндисига
тенг, яъни ва айланалар ўзаро ортогонал бўлиши учун:

тенгликнинг ўринли бўлиши шарт и ва айланалар учун бушарт тўла бажарилади. Ҳақиқатан ҳам, 165-IIчизмадаги айланада шундай нуқта оламизки, тўғри чизиқ , нуқтадан ўтсин. Бу ҳолда тубандагиларни ёза оламиз:

Бу тенгликнинг иккала томонини квадратга кўтарайлик:

Шартимизга мувофиқ:

тенглик мавжуд бўлгани учун буни олдинги тёнгликка қўйиб,
қуйидагй натижага келамиз:

Шунинг билан ива айланаларнинг ортогоналлиги исбот қилинди.
165-1 чизмадаги ва тўғри чизиқларнинг хоссаси келгуси теоремаларни исбот қилишда ва баъзи бир масалаларни ечишда керак бўлади. Шунинг учун бу хоссани ифодалов- чи таъриф билан танишиб ўтамиз.
1-таъриф. Агар бирор бурчакнннг бир томонида, ётган билан ҳамда иккинчи тсмонида ётган билан нуқталар шу бурчакнинг учига нисбатан бирор даражада инверсион мос бўлса, бундаги ва тўғри чизиқларни ўша бўрчакка нисбатан антипараллел тўғри чизиқлар дейилади.