O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta ta’limi va vazirligi urganch Davlat Universiteti

Giperbola-parabolik tipdagi model tenglamalar uchun teskari masala yechimining yagonaligi

Matematik fizikaning teskari masalasi deganda bizto’g’ri masalalar sinifiga kiritishimiz mumkin bo’lmagan masalalarni tushunamiz. U ko’pincha nafaqat yechimni balki qandaydir yetishmayotgan koeffitsiyentni shartni aniqlash bilan bog’liq. Teskari masalalarning asosiy belgisi bo’lib nafaqat yechimni balki matematik-fizikaning qandaydir komponentini aniqlash zaruriyati xizmat qiladi.

To’rtburchak sohada aralash parabola-giperbolik tipdagi tenglamani qaraymiz:

(1)

Bu yerda, va -berilgan musbat sonlar.D sohada quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi va funksiyalar topilsin:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

Ushbu masalalarni yechish uchun u(x,t) yechimni cheksiz qator ko’rinishida izlaymiz.

Bu yerda Shturm-Liuvil masalasining yechimi bo’lib, xos funksiyadir. Xuddi shunga o’xshash , , ni xos funksiyalar bo’yicha Furye qatoriga yoyamiz.

Xos funksiyalarni topish: Yechimni quyidagi ko’rinishda izlaymiz:

Buni (1) – ifodaga keltirib qo’yamiz.

Yuqoridagi sistemaga Shturm-Liuvil masalasi deyiladi.

Bu yerda - xos son , - ga mos xos funksiya.

Endi quyidagi cheksiz qatorning yechimini izlaymiz:





(8)

(9)

(6) va (7) – shartlardan quyidagi yangi shart hosil bo’ladi:

(10)

Bu yerdagi va lar quyidagi formula yordamida topiladi:

(11)

Endi (8) tenglikni yechamiz.

(12)

Bundan so’ng (2.2.9) tenglikni ham yechamiz.

(13)

yechimni olamiz.

Bundan esa quyidagi shart kelib chiqadi:

(14)

(10) va (14) shartlardan quyidagilar kelib chiqadi:

Natijada, quyidagini olamiz:

(15)

Bu sistemadan - larni topib olamiz.

Endi :

ekanligidan foydalanib, topilgan qiymatlarni keltirib qo’yamiz va natijada:

(16)

(17)

yechimni olamiz. Demak, (1) masalaning yechimi (16) va (17) ko’rinishida ifodalanar ekan.

Teorema: (1) - (7) teskari masala va faqat shu holda yagona u(x,t) va (x) yechimga ega.

П parallepipedda quyidagi aralash giperbolik tipdagi tenglamani qaraymiz.

(18)

Bu yerda

 П=

va berilgan musbat sonlar.Ushbu tenglama uchun bir necha xilda teskari masala qo’yish mumkin.

(19)



(20)

(21) (22)

(23)

Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi masala П sohada va funksiyalar topilsin.Bu yerda va berilgan silliq funksiyalar bo’lib quyidagi muvofiqlik shartlarini qanoatlantiradi.

xos funksiyalar bo’yicha qatorga yoyamiz

Yechimni quyidagi

ko’rinishda izlaymiz

Quyidagi tenglamalarni (18 ) ga keltirib qo’yamiz.

-xos sonlar

-xos funksiyalar

 xos funksiyalar bo’yicha qatorlarga yoyamiz va yechimni izlaymiz

Demak shartlardan quyidagi yangi shart kelib chiqadi


va

Shartlardan tenglamalar sistemasini hosil qilamiz,

noma’lumlar. Tenglamalar sistemasini yechamiz





va berilgan teskari masalani yechimi bo’lsin. U vaqtda quyidagi teorema o’rinli bo’ladi