O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsusta’lim vazirligi termiz davlat universiteti fizika-matematikafakulteti matematika ta’lim yo’nalishi2-kurs 208-guruhtalabasi tovarova hayitoyning matematik analiz fanidan tayyorlagan mustaqil ishi

Yechish: Rasmdan a =1; b =1; y₁(x)=x²; y₁(x)=x; y₁(x) ≤  y₂(x); 0 ≤ x ≤ 1. Formulaga ko’ra

Ikki karrali integralda o’zgaruvchilarni almashtirish.
ko’rinishdagi ikki karrali integralni qaraymiz,bunda .
х = f (u, v); y =  (u, v) desak, u holda dx = ; dy = . Ikkinchi tomondan, .

Birinchi integralda dx = 0 desak (a ≤ x ≤ b), , ya’ni .

Bu ifodani dy uchun yuqorida yozilgan tenglikka qo’yib,

ni olamiz. Bundagi ifodaf (u, v) va(u, v) funksiyalarningYakobiani (Yakobi determinanti) deyiladi (Yakobi Karl Gustav Yakob – nemis matematigi (1804-1851).
Bundan ni olamiz. Bundagi birinchi integralda v = const, dv = 0 deb qarasak, kelib chiqadi.

Integrallash tartibini o’zgartirib, ikki karrali integralda o’zgaruvchilarni almashtirish formulasini olamiz:

. (10)

Bu formula yordamida ikki karrali integralni qutb koordinatalarida hisoblash formulasini olish mumkin. ekanligidan, Yakobi determinantini hisoblasak

bo’ladi. Demak . (11)
Bu yerda  – yangi soha,

Darbu yigʻindilari va ularning xossalari

Dabruning quyi va yaqin yigʻindilari Dabru nazariyasi funksiyaning kvadratlanuvchi toʻplamda integrallanuvchi toʻplamda integrallanuvchi ekanini aniqlash masalasini samarali ravishda hal qiladi.
Endi mos ravishda Darbubing quyi va yuqori yigʻindilarini kiritamiz:
G(f,p )= _{k •} I E_k I , S(f,p )= _{k •} I E_k I ,
Bevosita _k * I E_k I ,
Dorbuning quyi sodda fumksiyasidan integral Darbuning quyi yigʻindisiga va Dobruning yuqori sodda fumksiyasidan olingan integral Dobruning yuqori yigʻindisiga tengligi kelib chiqadi.Shunday ekan istalgan p₁ va p₂ boʻlinishlari uchun h(x₁ P₂) tezlikka koʻra S(F₁ P₁ ) ≤  S (f , P₂) munosabatga ega boʻlamiz.
Darbuning quyi va yuqori integrallari.Darbuning quyi integrali deb I(f) sup S(f,p) kattalikka va yuqori integrali deb inf S(f,p ) kattalikka aytamiz.

Xulosa

Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, biz ikki karrali integral va ularni hisobini batafsil o’rganganmiz. Endi bunday integral hisobi bilan shug’ullanamiz. SHuni aytish kerakki, ko’p karrali integral nisbatan integral tushunchasi turlicha bo’ladi. Karrali integrallarning integrallash tartibini o’zgartirish mumkin. Qaysi biri hisoblash uchun qulay bo’lsa,amaliy misollar ishlash vaqtida shunisidan foydalanamiz.Dabruning quyi va yaqin yigʻindilari Dabru nazariyasi funksiyaning kvadratlanuvchi toʻplamda integrallanuvchi toʻplamda integrallanuvchi ekanini aniqlash masalasini samarali ravishda hal qiladi. Dorbuning quyi sodda fumksiyasidan integral Darbuning quyi yigʻindisiga va Dobruning yuqori sodda fumksiyasidan olingan integral Dobruning yuqori yigʻindisiga tengligi kelib chiqadi.

Foydalanilgan Adabiyotlar
1. SH.Alimov , R.Ashurov. Matematika analiz 2- qism, ,, Mumtoz soʻzi ʼʼ, Toshkent -2018.
2. R.Turgʻunboyev, K.Qodirov,T.Bakirov, Matematik analiz, Koʻp oʻzgaruvchili funksiyaning differensial va integral hisobi Toshkent -2020


Internet resurslari
1. https://uz.m.wikipedia.org.
2. https://fayllar.org.
3. https://www.hozir.org.