O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsusta’lim vazirligi termiz davlat universiteti fizika-matematikafakulteti matematika ta’lim yo’nalishi2-kurs 208-guruhtalabasi tovarova hayitoyning matematik analiz fanidan tayyorlagan mustaqil ishi

Ikki karrali integralning xossalari.

1°. D sohaning yuzini S deb belgilasak, tenglik o’rinlidir.

2°. a=const bo’lsa, o’zgarmas ko’paytuvchini integral belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
3°. Agar va integrallar mavjud bo’lsa, u holda

tenglik o’rinlidir.
4°. Agar D=D₁+D₂ bo’lib, D₁ va D₂ sohalar umumiy ichki nuqtalarga ega bo’lmagan sohalar bo’lsa, u holda tenglik o’rinli bo’ladi.
5°. Agar (x, y) ϵ D bo’lganda  f (x, y) ≤ g (x, y) bo’lsa, u holda .
6°. D sohada integrallanuvchi f (x, y) funksiya uchun quyidagi tengsizlik o’rinlidir:

7°. D sohada integrallanuvchi f (x, y) funksiya shu sohada m ≤ f (x, y) ≤ M tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu yerda S – D sohaning yuzi.
7°. (o’rta qiymat haqidagi teorema). f (x, y) funksiya D yopiq sohada uzluksiz bo’lsa, u holda D sohada shunday (x₀, y₀) ϵ D nuqta mavjudki, bunda quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi.
(6)


Iккi кarrali integralni hisoblash.
Biror D sohada uzluksiz bo’lgan z = f (x, y) funksiyadan olingan ikki o’lchovli integralni hisoblash talab etilsin.
Ta’rif. Agar koordinata o’qlariga parallel va D sohani kesib o’tuvchi to’g’ri chiziqlar Z konturni ikki nuqtada kesib o’tsa, D soha to’g’ri soha deyiladi.
Z yopiq kontur bilan chegaralangan D soha to’g’ri soha bo’lsin:
Teorema. z=f (x, y) uzluksiz funksiyaning D to’g’ri soha bo’yicha olingan ikki o’lchovli integrali funksiyaning o’sha D soha bo’yicha olingan ikki karrali integraliga teng, ya’ni:
(7)
Xuddi shuningdek, D to’g’ri sohani quyidagicha aniqlash mumkin:
Bu holda (8) tenglik o’rinlidir. Bundan
(9)
ekanligi kelib chiqadi.
Demak, karrali integrallarning integrallash tartibini o’zgartirish mumkin. Qaysi biri hisoblash uchun qulay bo’lsa, misollar ishlash vaqtida shunisidan foydalanamiz.
1-misol. integralda integrallash tartibini o’zgartiring.
Masala shartiga ko’ra D soha –1≤ x ≤ 1, kabi ifodalanadi. Bu soha tasvirini 3-rasmda ko’rish mumkin.
ekanligidan
2-misol. karrali integralni hisoblang, bu yerda D soha y=x² va y=x chiziqlar bilan chegaralangan.