O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi z j zahiriddin muhammad bobur nomli a n andijon davlat universiteti

A=0, B=0 bo’lsin, bu holda (2.1) tenglama Cz+D=0 yoki z= ko’rinishni oladi. Bu tekislik XY tekislikka parallel va undan h= masofa uzoqdan o’tadi. (7-chizma)
B=0, C=0 bo’lsin. Bu holda (2.1) tenglama Ax+D=0 yoki ko’rinishida bo’lib, YZ tekislikka parallel, undan h= masofa uzoqlikda yotgan tekislikni tasvirlaydi. (8-chizma)
A=0, C=0 bo’lsin. Bu holda (2.1) tenglama By+D=0 yoki y= ko’rinishida bo’lib, XZ tekislikka parallel ,undan h= masofa uzoqlikda yotgan tekislikni ifodalaydi. (9-chizma)
Umumiy qilib aytganda, agar tenglamada koordinatali hadlaridan ikkitasi bo’lmasa, tekislik shu qatnashmagan koordinata o’qlarini o’z ichiga olgan koordinata tekisligiga parallel bo’ladi. Agar tenglamada koordinatali hadlardan ikkitasi va ozod had bo’lmasa, u holda tekislik koordinata tekisliklarining birortasi bilan ustma-ust tushadi. Nihoyat, agar tenglamada uchala koordinatali hadlar bo’lmasa, ozod had esa noldan farqli bo’lsa bunday tenglamaning ma’nosi bo’lmaydi.
Ammo quyidagicha qarash ham mavjud: Agar uchala koordinataning oldidagi koeffitsiyentlari nolga aylansa, ya’ni A=0, B=0, C=0 bo’lsa tenglamaning ko’rinishi D=0 yoki D ga qisqartirilsa, 1=0 bo’ladi. Bu tenglamaning ma’nosi bo’lmasada, lekin unga shartli ma’no beriladi. Bu holni tekshirish uchun tekislikning koordinata o’qlaridan kesgan kesmalarining ifodasini olamiz:

A,B,C nolga intilganda a, b, c cheksizlikka intiladi. Ya’ni tekislikning koordinata o’qlaridan kesgan kesmalari cheksizlikka intiladi.Shuning uchun D=0 yoki 1=0 tenglama cheksiz uzoqlashgan tekislikning tenglamasi bo’ladi.
Tekislikning umumiy tenglamasini quyidagi jadval orqali tekshirish qulayroq:

Koordinatalar boshidan o’tadi		D=0 ,
OX o’qqa parallel	A =0, B y + C z + D = 0
OY o’qiga parallel	B=0, A x +C z + D = 0
OZ o’qiga parallel	C=0, A x + B y + D = 0
OX o’qdan o’tadi	A=D=0, B y + C z = 0
OY o’qdan o’tadi	B=D=0, A x + C z = 0
OZ o’qdan o’tadi	C=D=0, A x + B y = 0
XY tekisligiga parallel	A=B=0, C z + D = 0
YZ tekisligiga parallel	B=C=0, A x +D = 0
XZ tekisligiga parallel	A=C=0, B y +D = 0
XY tekisligi bilan ustma-ust tushadi	A=B=D=0, C z = 0
YZ tekisligi bilan ustma-ust tushadi	B=C=D=0, A x = 0
XZ tekisligi bilan ustma-ust tushadi	A=C=D=0, B y = 0

1-chizma 2-chizma

3-сhizma 4-chizma

5-chizma 6-chizma


7-chizma 8-chizma

9-chizma

3-§ Ayrim shartlar asosida tuzilgan tekislik tenglamasi

1)Berilgan nuqtadan o’tgan tekislikning tenglamasi

Faraz qilaylik, berilgan nuqta bo’lsin va undan o’tgan tekislikning tenglamasini tuzish talab qilinsin. Izlangan tekislikning tenglamasini

faraz qilamiz. Bu tekislik berilgan nuqtadan o’tganda uning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirishi lozim,ya’ni:
Ax₁+By₁+Cz₁+D=0
yoki avvalgi tenglikdan buni hadlab ayirsak ,
A(x-x₁)+ B(y-y₁)+ C(z-z₁)=0 (3.1)
Bu tenglama berilgan nuqtadan o’tgan tekislikning tenglamasi bo’ladi, chunki nuqtaning koordinatalari bu tenglamani qanoatlantiradi.
Biroq bu tenglamada A,B,C koeffitsiyentlar aniqlanmay qoldi. Bu esa tabiiy, chunki yolg’iz bir nuqta fazodagi tekislikning o’rnini aniqlab bera olmaydi, shuning uchun (3.1) tenglama nuqtadan o’tgan barcha tekisliklarni yoki tekisliklar dastasini ifoda qiladi.
Bitta to'g'ri chiziq orqali o'tgan barcha tekisliklar to'plami tekisliklar dastasi deyiladi. O'zaro parallel tekisliklar to'plami ham dasta deyiladi. Birinchi holda xos bo'lgan dasta deyiladi, ikkinchi holda xos bo'lmagan dasta deyiladi.

2) Berilgan nuqtadan o’tib berilgan tekislikka parallel bo’lgan tekislik tenglamasi:

Faraz qilaylik, berilgan nuqta va berilgan tekislikning tenglamasi:
A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0
bo’lsin. Ma’lumki nuqtadan o’tgan tekislikning tenglamasi :
A(x-x₁)+ B(y-y₁)+ C(z-z₁)=0 (*)
bo’ladi. Bu tekislik berilgan tekislikka parallel bo’lganda ularning o’zgaruvchi koordinatalari oldidagi mos koeffitsiyentlari proporsional bo’ladi, ya’ni:

Yoki bu nisbatlarning umumiy qiymati k faraz qilinsa,

bo’ladi va bularni (*) ga qo’yib k ga qisqartirilsa,ushbu tenglama hosil bo’ladi:
(3.2)
Izlangan tekislikning tenglamasi shuning o’zi bo’ladi,chunki u qo’yilgan ikkala shartni ham ta’min qiladi.
3) Berilgan uch nuqtadan o’tgan tekislikning tenglamasi: Faraz qilaylik, uch nuqta berilgan bo’lsin: va bulardan o’tgan tekislikning tenglamasini tuzish talab qilinsin. Izlangan tekislikning tenglamasini (*) faraz qilamiz. Bu tekislik berilgan uch nuqtadan o’tgan holda u nuqtalarning koordinatalari tenglamani qanoatlantirishi lozim,ya’ni:

(**)
(*)va (**) tenglamalar koeffitsiyentlarga nisbatan birinchi darajali bir jinsli tenglamalar sistemasidan iborat.Bu sistemadan noma’lumlarni chiqarish natijasida,nolga teng bo’lgan determinant shaklida tenglama hosil bo’ladi:
(3.3)
Izlangan tekislikning tenglamasi shuning o’zi bo’ladi.Haqiqatda bu tenglama x y z ga nisbatan birinchi darajali; ikkinchi tomondan berilgan nuqtalardan har birining koordinatalari bu tenglamani qanoatlantiradi.
4) To’rt nuqtaning bir tekislikda yotish sharti
Agar berilgan uch nuqtadan o’tgan tekislik biror to’rtinchi ( ) nuqtadan o’tsa, u holda bu nuqtaning koordinatalari tenglamani qanoatlantirishi lozim,ya’ni:
(3.4)
Bu tenglik to’rt nuqtaning bir tekislikda bo’lish shartini ifoda qiladi.
Agar bu shart bajarilmasa, ya’ni bu to’rt nuqta bir tekislikda yotmasa, uchlari shu nuqtalardan iborat bo’lgan tetraedrning hajmi ushbu formula bilan hisoblanadi:
(3.4*)
Tenglamaning o’ng tomoni shunday ishora bilan olinadiki, natija manfiy bo’lmaydi(V>0)
5) Berilgan ikki nuqtadan o’tib, berilgan tekislikka perpendikulyar bo’lgan tekislik
Berilgan nuqtalar va berilgan tekislik (*)
bo’lsin. Faraz qilaylik, izlangan tekislik
(**)
bo’lsin .Bu tekislik ikkala nuqtadan o’tishi kerak. Shuning uchun berilgan nuqtalarning koordinatalarini qanoatlantirishi lozim, ya’ni
(***)
(****)
Izlangan (**) tekislik (*) tekislikka perpendikulyar bo’lgani uchun
(*****)
(**), (***), (****),(*****) tengliklardan noma’lumlarni chiqarish natijasida nolga teng bo’lgan determinant shaklida ushbu tenglama hosil bo’ladi
(3.5)
6)Tekisliklar dastasi
va
tekisliklarning kesishish chizig’i orqali o’tuvchi tekisliklarning tenglamalari
+k (3.6)
Bu yerda k - o’zgaruvchi parametr.
(3.6) tenglama tekisliklar dastasining tenglamasi deyiladi.
7) Tekisliklar bog’lami Mana bu tenglama (3.7) unda k va l o’zgaruvchi parametrlar bo’lganda) tekisliklar bog’lamini uchta asosiy

va
tekisliklarning kesishish nuqtasidan o’tuvchi hamma tekisliklar to’plamini ifodalaydi.
8)Nuqtadan tekislikkacha masofa nuqtadan tekislikkacha bo’lgan d masofa:
d=| | (3.8)
Demak, nuqtaning tekislikkacha masofasini topish uchun u t ekislikning tenglamasini normal holga keltirib, uning o’zgaruvchi koordinatalari o’rniga berilgan nuqtaning koordinatalari qo’yiladi. Chiqqan natijaning absolyut qiymati izlangan masofa bo’ladi. Agar tekislikning tenglamasi
ko’rinishda bo’lsa,

Yuqoridagidan foydalanib,koordinatalar boshidan tekislikkacha bo’lgan masofani aniqlash mumkin:

(tekislikning normal tenglamasi (1.2) dagi p ni esga olib taqqoslaylik)

MUSTAQIL RAVISHDA HOSIL QILINGAN AYRIM MUNOSABATLAR:

1* tekislikka ixtiyoriy unda yotmagan A(a;b;c) nuqtadan tushirilgan perpendikulyar
Bu perpendikulyar asosining koordinatalari quyidagi tenglik bilan aniqlanadi: P( )

x0=

y0=

z0=

(M1.1)
Xususiy holda: tekislikka koordinatalar boshidan tushirilgan perpendikulyar
Bu perpendikulyar asosining koordinatalari quyidagi tenglik bilan aniqlanadi: P( )
; ; (M1.2)
Aksincha, bu perpendikulyar asosi berilganda, tekislikning tenglamasi:

(M1.3)

2* Parallel tekisliklar va orasidagi masofa:

(M2)

3*Nuqtaning tekislikka nisbatan simmetrigi

A(a;b;c) nuqtaning tekislikka nisbatan simmetrigi A´(x₀;y₀;z₀) nuqtaning koordinatalari:

x0=

y0=

z0=

(M3.1)
Xususiy holda tekislikka nisbatan koordinatalar boshi bilan simmetrik bo’lgan nuqta: O´(x₀;y₀;z₀)

x₀= ; y₀₌ z₀= ( M3.2)

4* Affin koordinatalar sistemasida quyidagi yetarli shart bajarilganda , M( ) nuqta Ax + By + Cz + D = 0, Ax + By + Cz + E = 0
parallel tekisliklar orasida yotadi:

(M4)
5* Agar tekislik koordinata o’qlaridan a,b,c kesmalar ajratsa,shu tekislikka koordinatalar boshidan tushirilgan perpendikulyar uzunligi p uchun quyidagi munosabat o’rinli:


Ya’ni: bu tenglik + + = 1 tekislikning kesmalar bo’yicha tenglamasi va tekislikning normal tenglamasi koeffitsiyentlari orasidagi bog’lanishni ifodalaydi.

6* + + = 1 tekislik koordinata tekisliklari bilan bir tetraedr tuzadi. Shu tetraedr ichiga kub shunday joylashtirilganki, uning uch yog’i koordinata tekisliklarida yotib, koordinatalar boshi qarshisidagi uchi haligi tekislikda yotadi.Bu kubning qirrasi-d uchun quyidagi munosabat o’rinli:

yoki:



7* Bissektor tekislik
va
tekisliklar orasidagi burchakni teng ikkiga bo’luvchi tekislik tenglamasi:

= ( )

(M7.1) K Xususiy holda:

va
tekisliklar orasidagi burchakni teng ikkiga bo’luvchi tekislik tenglamasi:
(agar A₁²+B₁²+C₁²=A₂²+B₂²+C₂² tenglik o’rinli bo’lsa)

= ( )

(M7.2)
8* M va N nuqtalar berilgan, MN kesmani
tekislik quyidagi nisbatda bo'ladi:

(M8)

9* Sfera va tekislik

tekislik (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² sferaga urinishi uchun quyidagi shart bajarilishi kerak:

=

(M9.1)
Xususiy holda:
tekislik x²+y²+z²=R² sferaga urinishi uchun tekislik tenglamasining koeffitsiyentlari orasidagi
munosabat:

(M9.2)

10* (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² sfera va tekislik kesishishidan hosil bo’lgan aylana tenglamasi

(x-a+Ak)^2+(y-b+Bk)^2+(z-c+Ck)^2=R^2-Mk

(M10)
4-§. Tekislikka oid tanlangan masalalar
1) Koordinatalar boshidan tekislikka tushirilgan perpendikulyarning asosi:
P(3;-6;2). Bu tekislikning tenglamasi topilsin.
Yechish 1-usul: Ma’lumki, p-OP kesma uzunligi; OP ning koordinata o’qlarining musbat yo’nalishi bilan tashkil qilgan burchak kosinuslari quyidagicha bo’ladi:
p=
α OP ning mos ravishda o’q bilan tashkil qilgan burchagi Tekislikning normal tenglamasi (1.2) dagi o’zgaruvchi lar oldidagi koeffitsiyentlar ma’nosi hisobga olsak, izlangan tekislik tenglamasi hosil qilamiz. Faraz qilaylik, izlangan tekislik tenglamasi
bo’lsin
Bundan

Javob:
2-usul: Faraz qilaylik, tekislik ko’rinishda bo’lsin. (M1.2) dan foydalanamiz: tekislikka koordinatalar boshidan tushirilgan perpendikulyar asosining koordinatalari quyidagi tenglik bilan aniqlanadi: P( )
; ;
Demak, =
bundan
va 3:(-49) bu nisbatlar orqali
ni topamiz. Bu natijalarni
tekislikning umumiy tenglamasiga olib borib qo’ysak,izlangan tekislikning tenglamasini hosil qilamiz:

2) Koordinata tekisliklari va 3x+y-2z-18=0 tekislik bilan chegaralangan tetraedrga kub shunday ichki chizilganki, uning bitta uchi koordinatalar boshida, undan chiquvchi uchta qirra koordinata o'qlari bo'ylab yo'nalgan. Koordinatalar boshiga qarama-qarshi uchi berilgan tekislikda joylashgan. Kub qirrasining uzunligi topilsin.
Yechish: Yuqoridagi (1.3*)va (M6) formulaga tayanib,berilgan tekislikning kesmalar bo’yicha tenglamasini tuzib olamiz:
+ + = 1

ya’ni: a=6, b=18, c=-9

(OX dan musbat yo’nalishda 6birlik,OY o’qdan musbat yo’nalishda 18 birlik, OZ o’qdan esa manfiy yo’nalishda 9 birlikka teng bo’lgan kesma ajratadi)
Kub 5- oktantga joylashar ekan.

formulaga asosan kubning qirrasini hisoblaymiz:



Demak, kubning qirrasi 3 birlik Javob:3
3) Boshlang’ich vaziyati M₀(5;-1;2) bo’lgan nuqta y o’qiga parallel harakat qiladi. Uning x-2y-3z+7=0 tekislik bilan uchrashish nuqtasini toping.
Yechish: Nuqta y o’qiga parallel harakat qilgani uchun uning absissa va applikatalari o’zgarmagancha qoladi. Shuning uchun nuqtaning tekislik bilan uchrashish nuqtasini M₁(5;y;2) ko’rinishda izlaymiz. Bu izlangan nuqta uchrashish nuqta bo’lgani uchun, u tekislikda yotadi, ya’ni:
x-2y-3z+7=0 5-2y-3 2+7=0 bundan esa y=3 ni hosil qilamiz.
Javob: M₁(5;3;2)
4)(1;2;2) nuqtadan o’tib tekislikka parallel bo’lgan tekislik topilsin.
Yechish:Yuqorida keltirilgan (3.2) formuladan foydalangan holda bevosita
tenglikni hosil qilamiz.Bundan esa izlangan tekislik tenglamasi kelib chiqadi: Javob:
5) va tekisliklarning kesishgan chizig’idan o’tib, ushbu tekislikka perpendikulyar bo’lgan tekislik topilsin.
Yechish: va tekisliklarning kesishgan chizig’idan o’tuvchi tekislik quyidagi dastaga tegishli bo’ladi:
(
Yoki:
Ikki tekisliklikning perpendikulyarlik sharti (1.5) ga asosan ning qiymatini topamiz:

Bu aniqlangan qiymatni yuqoridagi dastaga olib borib qo’ysak, izlangan tekislik tenglamasini hosil qilamiz:
Javob:
6) Koordinatalar boshidan 6 birlik masofada o’tib, koordinata o’qlaridan kesgan kesmalari a:b:c =1:3:2 munosabat bilan bog’langan tekislikning tenglamasi tuzilsin.
Yechish: tekislikning kesmalar bo’yicha tenglamasi (1.3) ni e’tiborga olgan holda:
+ + = 1 va berilgan nisbatni umumiy holda belgilab:
quyidagini hosil qilamiz:
+ ;
Koordinatalar boshidan tekislikacha masofaga ko’ra

Bundan esa kelib chiqadi. Demak izlangan tekislik tenglamasi:
ekan. Javob:
7) tekislik bilan yz tekisligi orasidagi burchak topilsin.
Yechish: normal tenglamada
α tekislik va tekisligi orasidagi burchak; koordinatalar boshidan tekislikka tushirilgan perpendikulyarning o’q bilan tashkil qilgan burchagi.
tekislik va tekisligi orasidagi burchak; koordinatalar boshidan tekislikka tushirilgan perpendikulyarning o’q bilan tashkil qilgan burchagi
tekislik va tekisligi orasidagi burchak koordinatalar boshidan tekislikka tushirilgan perpendikulyarning o’q bilan tashkil qilgan burchagi
ekanini esga olsak, izlangan burchakni topish uchun tekislikning berilgan tenglamasini normal holga keltirishimiz kerak ekanini payqaymiz.

tenglamani normal holga keltirish uchun uning ikkala tomonini
ga ko’paytiramiz. ( ning ishorasi tenglamaning ozod hadi bo’lgan ning ishorasiga teskari qilib olinadi. D<0, demak, M>0)
bundan esa
Javob:
8) tekislikka nisbatan koordinatalar boshi (O) bilan simmetrik bo’lgan nuqta (O´) topilsin.
Yechish: O´( bo’lsin. Koordinatalar boshidan tekislikka tushirilgan perpendikulyar asosining ( x₀;y₀;z₀ ) koordinatalari (M1.2) dan foydalansak, berilgan masala osongina hal bo’ladi. Chunki simmetrik bo’lgani uchun masofa saqlanadi: Izlangan nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofa koordinatalar boshidan tekislikka tushirilgan perpendikulyar uzunligiga teng bo’ladi. Bundan kelib chiqadiki, OO´ kesma o’rtasining koordinatalari perpendikulyar asosining koordinatalari bo’ladi:
; bulardan esa
ni hosil qilamiz.
Demak,
x₁= ;
y₁₌
z₁=
Javob: O´(
9) va tekisliklardan tuzilgan ikki yoqli burchaklarni teng ikkiga bo’luvchi tekisliklarning tenglamalarini tuzing.
Yechish: Izlangan tekisliklar berilgan tekisliklardan teng masofada yotgan nuqtalarning geometrik o’rnidan iborat. Izlangan tekisliklardan birining nuqtalari uchun bu masofalar teng uzunlikka va bir xil ishoraga ega bo’lib, ikkinchi tekislik nuqtalari uchun esa bu masofalaning absolyut uzunliklari teng, lekin ishoralari qarama-qarshi bo’ladi. Demak, nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofa (3.9) ni bilgan holda:

Bundan quyidagini hosil qilamiz:
Izlangan tekisliklar tenglamasi:
10) z o’qida quyidagi ikkita tekislikdan teng uzoqlikdagi nuqta topilsin:

Yechish: z o’qidagi nuqta koordinatalari: (0;0;z)
Shuning uchun : (0;0;z) ko’rinishda qidiramiz va bu nuqtadan tekisliklargacha bo’lgan masofani tenglaymiz. Ma’lumki, nuqtadan tekislikkacha bo’lgan masofa (3.9) ga ko’ra:

Bundan quyidagi kelib chiqadi:
Bu tenglamadan
Demak,izlangan nuqta: va
11) A(3,5,1), B(2,-6,3) nuqtalar berilgan, AB kesmani
2x-3y + 6z- 1 = 0 tekislik qanday nisbatda bo’ladi?
Yechish: AB kesmaning tekislikni kesib o’tish nuqtasini O bilan va kesmaning A, B uchlaridan tekislikka tushirilgan perpendikulyarlar asosini esa mos ravishda C va D bilan belgilaylik. Demak, biz quyidagi nisbatni aniqlashimiz kerak:

A O D C B CHIZMA

Ma’lumki, chizmaga ko’ra: bo’ladi.

Bundan esa izlangan nisbat berilgan nuqtalardan tekislikkacha bo’lgan masofalar nisbatiga tengligi ayon bo’ladi. Demak:

(AC-Adan tekislikkacha;BD-Bdan tekislikkacha bo’lgan masofa)

Javob:A uchidan boshlab hisoblaganda, 4:39 nisbatda.

Mundarija
Kirish…………………. ……. ............................... …………….........................2
1-§. Tekislikning turli tenglamalari ………………..........…………………….....3
2-§.Umumiy tenglamani tekshirish..........……….....…………………………....6
3-§. Ayrim shartlar asosida tuzilgan tekislik tenglamasi. . …………………….12
4-§. Tekislikka oid tanlangan masalalar……………………………………………………………21
Xulosa….....………………............................................................…..................
Adabiyotlar...........………...............................................................…………….