O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universitetifizika-matematika fakulteti matematika yo‘nalishi 194 guruh talabasi jumaniyozov ulug'bekning differensial geometriya va topologiya fanidan mavzu

TEKIS CHIZIQNING EVOLPYUTA VA EVOLVENTASI.

Egri chiziqning bir nuqtasidan chiquvchi va mos ravishda , ,  vektorlarga parallel bo`lgan uchta yarim to`g`ri chiziqlari, uchi berilgan nuqtada bo`lgan uchyoqli burchakning qirralaridan iborat bo`ladi. Bu uchyoqli burchakni egri chiziqning tabiiy uchyoqli burchagi deyiladi.

Endi , ,  vektorlarning xosilalarini shu vektorlarning o`zlari orqali ifodalanishini topamiz.

Ma‘lumki,

(1)

bo`ladi. vektorni ifodalash uchun esa bu vektorni  vektorga parallel ekanligini eslash kifoya, yani . Bundan

(2)

Nixoyat, ' ni ifodalash uchun tenglikdan foydalanamiz, yani

Shunday qilib, biz quyidagi formulalarni topdik, yani

, (3)

Bu formulalar Frene formulalari deb yuritiladi.

Ma‘lumki, egri chiziqning egriligi va buralishi egri chiziq bo`ylab yoy uzunligi s ning funktsiyalaridan iborat. Shuning uchun egrilik va buralishni aniqlovchi

, (4)

funktsiyalar egri chiziqning natural tenglamalari deyiladi.

Shu narsani eslatish mumkinki, egri chiziq fazoda o`zining natural tenglamalari bilan doimiy songa qadar aniqlik bilan berilishi mumkin.

Regulyar (uch marta differentsiallanuvchi) egri chiziq va unda yotuvchi ixtiyoriy R gna berilgan bo`lsin. uning tabiiy tenglamasi bo`lsin.

Ta‘rif. Egri chiziqning nuqtasidagi egriligiga teskari bo`lgan miqdor egri chiziqning sha nuqtasidagi egrilik radiusi deyiladi va R bilan belgilanadi.

Ta‘rifdan ga teng bo`ladi. Agar egri chiziqning Р nuqtasidan o`tuvchi normalida  vektor yo`nalishida egrilik radiusiga teng kesmani ajratsak, u xolda bu kesmaning oxiri egri chiziqning shu nuqtadagi egrilik markazi deyiladi.

Ta‘rif. Egri chiziqning egrilik markazlarining geometrik o`rni egri chiziqning evolpyutasi deyiladi. Evolyutaning tenglamasi ko`rinishda bo`ladi.

Endi evolventasi tushunchasini aniqlaymiz. Egri chiziqning biror nuqtasini xisob boshi deb qabul qilamiz va bu nuqtada deb olamiz. Egri chiziq yoyining barcha nuqtalarida urinma bo‘ylab agar bo`lsa,  vektor yo`nalishida va agar bo`lsa, unga qarama-qarshi yo`nalishda yoy uzunligi s ga teng kesmalar ajratamiz. Bu kesmalarning ikkinchi uchlarining geometrik o`rni egri chiziqning evolventasi deyiladi. Evolpvetaning tenglamasi R=r-st ko`rinishda aniqlanadi.

Egri chiziq o`zining evolventasi uchun evolyuta bo`lib xisoblanadi. Xaqiqatan xam, evolpvetaning urinma vektori

Bu tenglikdan egri chiziqning urinmasi evolpveta uchun normala bular ekan. Bu esa yuqoridagi fikrimizni isbotlaydi. Evolyuta va evolventa texnik muhim tadbiqlarga egadir.

XULOSA

Men bu kurs ishi davomida Differensial geometriya va topologiya fanidan ko`plab yangi bilimlarga ega bo`ldim. Frene formulalari va egri chiziqning egriliklari haqidagi teoremalar va ta`riflar haqida ma`lumotlarga ega bo`ldim. Masalalar yechishda frene formulalari va egrilik formulalarini qo`llashni o`rgandim.

Egrilik va egrilik radiusi tushunchalari injernik ishida tez-tez uchrab turadi. Masalan: temir yo`l qurilishida o`tish chizig`i nomli bir biri bilan ulangan ikkta egri chiziq ishlatiladi.

Tishli g`ildiraklar nazriyasida xam evolyuta va evolventa ishlatilib, ulardan ishqalanishni kamaytirish beriladi.

Shunday qilib Frene formulasi differensial geometriya va topologiyaning muhim qismlaridan iborat hisoblanadi va ko`pgina masalalarni hisoblashda shu formullardan foydalaniladi.