O‘zbеkiston rеspublikasi oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi toshkеnt davlat iqtisodiyot univеrsitеti

Teorema. Agar ta sinashda hodisaning ro‘y berish ehtimoli bir xil R ga teng bo‘lsa, u holda uning matematik kutilmasi
(3.2)
uning dispersiyasi esa
(3.3)
_{formulalar orqali ifodalanadi.}


hodisaning ro‘y berishlari soni dan iborat tasodifiy miqdorni shunday bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlar yig‘indisi ko‘rinishida tasavvur etish mumkinki, qo‘shiluvchi tasodifiy miqdorlarning barchasi yagona taqsimot qonuniga ega bo‘ladi, ya’ni

bu yerda

		0	1

tasodifiy miqdor hodisaning -sinovda ro‘y berishlari sonini ifodalaydi, ya’ni hodisa ro‘y berganda -ehtimollik bilan , ruy bermaganda esa ehtimol bilan bo‘ladi. tasodifiy miqdorni alternativ tasodifiy miqdor (yoki Bernulli qonuni bo‘yicha taqsimlangan,yoki hodisaning indikatori) deyiladi.
Alternativ tasodifiy miqdor ning sonli xarakteristikalarini (3.3) va (3.11) formulalar bo‘yicha topamiz.

negaki .
Endi tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va dispersiyasini topamiz:


(Tasodifiy miqdorlar yig‘indisi dispersiyasini topishda ularning bog‘liq bo‘lmaganligi inobatga olindi).
Natija. Har bir sinovda o‘zgarmas ehtimol bilan ro‘y berishi mumkin bo‘lgan hodisaning ta bog‘liq bo‘lmagan sinovda ro‘y beruvchanligi ning matematik kutilmasi ga teng, ya’ni
(3.5)
uning dispersiyasi
(3.6)
Hodisaning ro‘y beruvchanligi dan iborat, ya’ni bu yerda - binomial taqsimot qonuni bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor.
Shu sababdan,


Eslatma. Endi Muavr-Laplas lokal va integral teoremalarida mavjud bo‘lgan va funksiyalar argumentlarining ma’nosi tushunarli bo‘ladi. Darhaqiqat, funksiyaning argumenti hodisaning ta bog‘liq bo‘lmagan sinovda, binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan, ro‘y berishlari soni ni o‘zining o‘rta qiymati dan chetlanishini standart chetlanishlar da ifodalanganidan iborat. Muavr-Laplas integral teoremasida qaraladigan funksiyadagi argument hodisasining ta bog‘liq bo‘lmagan sinovlardagi ro‘y beruvchanligi ni uning alohida sinovdagi ehtimoli dan chetlanishini, standart chetlanishlar da ifodalanganini, bildiradi.
Har birida o‘zgarmas ehtimol bilan ro‘y berishi mumkin bo‘lgan, hodisaning ta bog‘liq bo‘lmagan takror sinovlarda ro‘y berishlarini eng katta ehtimolli soni tengsizlikni qanoatlantirishi ko‘rsatilgan edi. Binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning modasi bo‘lgan bu butun son - o‘sha tengsizlikni o‘zidan topiladi
(3.7)
3.1-masala. Do‘konga ikki fabrikadan 2:3 nisbatda poyafzal keltirilgan. 4 juft poyafzal sotib olindi. Sotib olingan poyafzallar ichida birinchi fabrikada tayyorlanganlari sonining taqsimot qonunini toping. Bu tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini va o‘rta kvadratik chetlanishini toping.
Yechish. Tasodifiy tanlangan poyafzal jufti birinchi fabrikada bo‘lishligi ehtimoli ga teng. To‘rt juft poyafzal ichida birinchi fabrikada tayyorlangan juftlar sonini bildiruvchi tasodifiy miqdor parametrli binomial taqsimotga ega. ning taqsimot qatori qo‘yidagi ko‘rinishga ega:

qiymatlar (3.1) formula bo‘yicha hisoblangan:

tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va dispersiyasini (3.2) va (3.3) formulalar bo‘yicha topamiz: