O‘zbekiston Respublikasi Oliy va O‘rta maxsus ta’lim vazirligi Toshkent Davlat Iqtisodiyot Universiteti

9.3. Tanlanma kuzatish xatolarini aniqlash 
 
Ta’rifga  ko‘ra,  tanlamaning  reprezentativlik  xatolari  (
a
∆
)  bosh  ( a
~
)  va 
tanlama ko‘rsatkichlarning ayirmalariga teng, ya’ni 
a
a
a
−
=
∆
~
 va 
w
p
p
−
=
∆
 
Tipologik 
tanlash-bu 
bosh 
to‘plamni 
muhim 
guruhlarga bo‘lib, ular-ning 
har  biri  ichidan  ma’lum 
birliklarni  tasodifiy  yoki 
mexanik 
usulda 
tanlab 
olishdir. 
Bosh to’plam
 
 
Bir jinsli 
Bir jinsli emas 
Yakka birliklar 
tanlab olish 
Seriyalab 
tanlash 
Seriyalar 
teng 
Seriyalar 
teng emas 
Oddiy 
tasodify 
 
Mexanik 
(oralatib) 
Birikmaviy  
 
Takrorla
nuvchi  
 
Takrorla
nmaydi
gan  
Ko’p 
bosqichli 
 
Fursatli 
(momentli) 
O’rganilayotgan belgilar bo’yicha 
Bir jinsli (tipik) guruhlar tuzish 
1 
2 
3 
 ҳ.к 
Tanlash tartibiga qarab 
PDF created with pdfFactory trial version 
www.pdffactory.com

 
 
Tanlanma  kuzatish  ma’lumotlari  bosh  ko‘rsatkichlarni  aniqlash  uchun  yetarli 
bo‘lmaganligi  sababli  uning  reprezentativlik  xatolarini  hisoblash  mumkin  emas. 
Ammo  statistikada  ma’lum  p(t)  ehtimol  (ishonch  darajasi)  bilan  xatolarning  yuqori 
chegaralarini aniqlash usullari ishlab chiqilgan.
 
 
Ixtiyoriy  tanlama  ko‘rsatkich  (a)  xatosining 
yuqori  chegarasi  (
∆
a
)  uning  o‘rtacha xatosi  (
µ
a
)  bilan 
ishonch koeffitsiyentining (t) ko‘paytmasiga teng: 
 
 
∆
a
a
t
=
*
µ
                     (9.1) 
 
Endi ishonch koeffitsiyenti va o‘rtacha xatolarni aniqlash usullari bilan tanishib 
chiqamiz. 
 
Ishonch koeffitsiyentini aniqlash. P(t) ehtimol bilan ishonch koeffitsiyenti (t) 
o‘rtasidagi bog‘lanish ushbu integral bilan ifodalanadi: 
 
 
 
 
 
P t
e
dz
z
t
t
( )
=
−
−
∫
1
2
2
2
π
.             (9.2) 
 
Ishonch  koeffitsiyentining  berilgan  qiymatlari  uchun  ehtimollarni  hisoblash 
jarayonini  qulaylashtirish  maqsadida  ular  o‘rtasidagi  bog‘lanishni  xarakterlaydigan 
jadval  tuzilgan.  Bu  jadval  berilgan  ishonch  koeffitsiyentiga  ko‘ra  ehtimolni  va 
aksincha istalgan ehtimolga mos keladigan ishonch koeffitsiyentini aniqlash imkonini 
beradi.  Amaliy  yoki o‘quv  masalalari  yechilganda ishonch koeffitsiyentining  asosan 
quyidagi qiymatlari keng qo‘llaniladi: 
 
t 
1.00 
1.96 
2.00 
2.58 
3.00 
P(t) 
0.683 
0.950 
0.954 
0.990 
0.997 
Jadvaldan  tanlanmaning  miqdori  (n)  yetarlicha  katta  bo‘lgan  hollardagina 
foydalanish mumkin. Agar tanlanmaning miqdori n
≤
30 bo‘lsa, u kichik tanlanma deb 
yuritiladi.  Kichik  tanlanmalar  uchun  ehtimol  faqat  ishonch  koeffitsiyentiga  emas, 
balki  tanlanmaning  miqdoriga  ham  bog‘liq  ravishda  aniqlanadi.  Masalan,  n  =10 
bo‘lganda: 
 
t 
1 
2 
3 
P(t) 
0.657 
0.923 
0.985 
 
Endi  tanlanma  ko‘rsatkichlarning  o‘rtacha 
xatolari  masalasiga  kelsak,  ular  tanlanma  to‘plam 
hajmiga va o‘rganilayotgan belgilarning variatsiyasiga 
bog‘liqdir.  Ular  tanlash  usullari  va  o‘akllariga  qarab 
turlicha aniqlanadi.  
Quyida  tanlanma  o‘rtacha  miqdorning  (

x) 
o‘rtacha  kvadratik  xatosi  (µ
x
)ni  aniqlash  formulalar 
tanlash usullari va shakllari uchun keltirilgan: 
Tanlanma  ko‘rsatkich 
xatosining 
ehtimolli 
chegarasi t karra kvad-ratik 
o‘rtacha xatoga teng. 
Tanlanma 
ko‘rsatkichning 
o‘rtacha 
xatosi 
- 
bu 
bosh 
to‘plamdan  u  yoki  bu 
usulda 
ko‘p 
tanlamalar 
tashkil 
etib, 
ularning 
xatolaridan 
hisoblangan 
o‘rtacha kvadratik xatodir. 
PDF created with pdfFactory trial version 
www.pdffactory.com

 
 
Tartib 
raqami  
Tanlash usullari va shakllari 
Tanlash sxemalari 
 
 
 
Takrolanuvchi 
Takrorlanmaydigan
1
)
  
 
  1 
Yakka tartibda tasodifiy tanlash   
n
Х
2
σ
µ
=
 
)
1
(
2
−
−
=
N
n
N
n
Х
σ
µ
* 
 
9.3 
  2 
Yakka tartibda mexanik tanlash  
   Qo‘llanilmaydi 
)
1
(
2
−
−
=
N
n
N
n
Х
σ
µ
* 
 
9.4 
  3 
Guruhlab  (tiplarga  ajratib)  yakka 
tartibda tasodifiy tanlash 
n
Х
2
δ
µ
=
 
)
1
(
2
−
−
=
N
n
N
n
Х
δ
µ
* 
 
9.5 
  4 
Guruhlab (tiplarga) ajratib  yakka 
tartibda mexanik tanlash 
   Qo‘llanilmaydi 
)
1
(
2
−
−
=
N
n
N
n
Х
δ
µ
* 
 
9.6 
  5 
Seriyalab tasodifiy tanlash  
s
x
Х
2
σ
µ
=
 
)
(
1
−
1
−
−
1
=
2
S
s
s
X
Х
σ
µ
 
 
9.7 
  6 
Seriyalab mexanik tanlash  
   Qo‘llanilmaydi 
)
(
1
−
1
−
−
1
=
2
S
s
s
X
Х
σ
µ
 
 
9.8 
 
Formulalarda foydalanilgan belgilar: 
 
N, n - bosh va tanlanma to‘plam birliklarining soni; 
 
S, s - bosh va tanlanma to‘plamdagi seriyalar soni; 
 
σ
2 
- dispersiya; 
δ
2 
- o‘rtacha ichki guruhiy dispersiya;  
 
2
i
x
σ
- guruhlararo (seriyalararo) dispersiya. 
Umumiy  dispersiya  (
σ
2
),  har  bir  guruhning  dispersiyasi 
δ
2
  va  guruhlararo 
dispersiya 8-bobda ko‘rib chiqilgan tartibda hisoblanadi.  
 
Guruhiy  dispersiyalarning  o‘rtachasi  va  guruhlararo  dispersiya  quyidagicha 
aniqlanadi: 
∑
∑
=
=
=
k
i
i
k
i
i
i
n
n
i
1
1
2
2
δ
δ
        
∑
∑
=
=
−
=
k
i
i
i
k
i
i
x
n
n
x
x
i
1
1
2
2
)
(
δ
            (9.9) 
 
bu yerda: 
i
n
 - i - guruhdagi to‘plam birliklari soni; 
 
 
 
i
x
- belgining i – guruh bo‘yicha o‘rtacha miqdori. 
 
Keltirilgan  formulalardan  kelib  chiqadiki,  tasodifiy  va  mexanik  tanlashlarda 
ko‘rsatkichlarning o‘rtacha kvadratik xatolari bir xil bo‘lib, tiplarga ajratib (guruhlab) 
tanlash  xatolari  esa  doimo  boshqa  usullarnikidan  kichik  bo‘ladi.  Chunki 
dispersiyalarni qo‘shish qoidasiga binoan     
2
2
2
i
x
i
σ
δ
σ
+
=
. 
 
Ma’lumki, 
σ
2
x 
≥
 0, bundan  
σ
2
x 
≥δ
i
2   
 ekanligi ravshan bo‘ladi.  
                                                           
1
)
 Eslatma: bosh to’plam hajmi katta bo’lganda, masalan, N>500 formulalar maхrajidagi -1 ni hisobga olmaslik 
mumkin. natijada qasv ichidagi koeffitsiеnt quyidagicha ifodalanadi: (1-n/N) 
PDF created with pdfFactory trial version 
www.pdffactory.com

 
Endi  tanlanma  o‘rtacha  miqdori  (
x
)  va  uning  xatosining  chegarasiga  (
∆

x
) 
asoslanib bosh o‘rtacha miqdor uchun ishonch oralig‘ini aniqlash mumkin. 
 
P.L.Chebishev  teoremasi  tasdiqlaydiki,  R(t)  ehtimol  bilan  ushbu  tengsizlik 
o‘rinli  
.
~
x
x
x
∆
≤
−
 
 
Bundan quyidagi tengsizliklar kelib chiqadi: 
х
х х
Х
Х
−
≤ ≤ +
∆
∆
~
                 (9.10) 
 
Demak,  R(t)  ehtimol  bilan  aytish  mumkinki,  belgining  bosh  o‘rtacha  miqdori 
~
х
ushbu  х
х
Х
Х
−
+
∆
∆
,
 oraliqda yotadi. 
 
O‘rganilayotgan  belgiga  ega  bo‘lgan  birliklarning  (m)  tanlanmadagi 
salmog‘ining  (
ω
=
т
п
  )   o‘rtacha  kvadratik  xatosi  (
µ
r
)  tanlash  usullari  va 
sxemalariga qarab quyidagicha aniqlanadi: 
 
Tanlash sxemalari
1)
 
Tartib 
raqami  
Tanlash usullari va shakllari 
Takrolanuvchi 
Takrorlanmaydigan
2)
  
1 
Yakka tartibda tasodifiy tanlash   
P
n
µ
ω
ω
=
−
(
)
1
 






−
−
−
=
1
)
1
(
N
n
N
n
P
ω
ω
µ
* 
2 
Yakka tartibda mexanik tanlash  
   Qo‘llanilmaydi 






−
−
−
=
1
)
1
(
N
n
N
n
j
j
P
ω
ω
µ
* 
3 
Tiplarga 
ajratib 
(guruhlab) 
yakka tartibda tasodifiy tanlash 
n
j
P
)
1
(
ω
ω
µ
−
=
 






−
−
−
=
1
)
1
(
N
n
N
n
j
j
P
ω
ω
µ
* 
4 
Tiplarga 
ajratib 
(guruhlab) 
mexanik tanlash 
   Qo‘llanilmaydi 






−
−
−
=
1
)
1
(
N
n
N
n
P
ω
ω
µ
* 
5 
Seriyalab tasodifiy tanlash  
s
P
2
ω
σ
µ
=
 






−
−
−
=
1
1
1
2
S
s
s
P
ω
σ
µ
 
6 
Seriyalab mexanik tanlash  
   Qo‘llanilmaydi 






1
−
1
−
−
1
=
2
S
s
s
P
ω
σ
µ
 
 
 
Keltirilgan formulalarda belgining guruhlardagi salmoqlarining (
ω
j
) o‘rtachasi 
(
ω
) va guruhlararo dispersiyadan (
2
ω
σ
) foydalanilgan, ya’ni: 
                                                           
1)
 Nazariy jihatdan formulada r – bosh to’plamdagi bеlgi salmog’i olinishi kеrak. Natijada altеrnativ bеlgi dispеrsiyasi 
pq formula sur’atida bo’ladi. Ammo bu ko’rsatkich noma’lum bo’lgani uchun amaliyotda tanlama to’plam altеrnativ 
bеlgi dispеrsiyasi qo’llanadi. Хuddi shunga o’хshab o’rtacha tanlash хatosini aniqlashda ham bosh to’plam dispеrsi-
yasiga nazariy jihatdan asoslanish kеrak. Ammo u noma’lum bo’lgani uchun tanlanma dispеrsiya qo’llanadi. 
2)
 Eslatma: bosh to’plam katta hajmga ega bo’lsa, masalan, N>500 formulalar maхrajidagi -1 hisobga olinmaydi. 
Natijada qavs ichidagi ifoda quyidagicha bo’ladi: 1-n/N. 
PDF created with pdfFactory trial version 
www.pdffactory.com

 
.
)
(
)
1
(
,
2
2
∑
∑
∑
∑
−
=
−
=
=
i
i
i
i
i
i
i
n
n
w
w
n
n
ω
ω
σ
ω
ω
ω
 
 
 
Endi  tanlanma  salmoq  (
ω
)  va  uning  chegaraviy  o‘rtacha  xatosiga 
(
∆
Р
P
t
=
*
µ
) asoslanib, bosh salmoq (R) uchun ishonch oralig‘ini aniqlaymiz. 
 
P.L.Chebishev  teoremasi  tasdiqlashicha,  R(t)  ehtimol  bilan  ushbu  tengsizlik 
o‘rinli  
Р
Р
−
≤
ω
∆
.
 
Bundan 
ω
ω
−
≤ ≤ +
∆
∆
Р
Р
Р
 
yoki 
100
*
)
(
(%)
100
*
)
(
т
т
p
∆
+
≤
≤
∆
−
ω
ω
 
tengsizliklar kelib chiqadi. 
 
Demak,  R(t)  ehtimol  bilan  aytish  mumkin,  belgining  bosh  salmog‘i  ushbu 
т
т
∆
+
÷
∆
−
ω
ω
 oraliqda yotadi. 
 
Tanmanma  hajmi  kichik  bo‘lsa,  masalan,  n<30 
uni  kichik  tanlanma  deb  ataladi.  Bunday  tanlanmalar 
uchun  tanlanma  o‘rtacha  va  salmoqning  o‘rtacha 
kvadratik  xatolari  yuqorida  keltirilgan  formulalarga 
tuzatish  kiritish  yo‘li  bilan  aniqlanadi.  Bunda 
dispersiya  tanlama  hajmidan  bitta  kamiga  bo‘lish 
orqali aniqlanadi, ya’ni 
1
)
(
2
2
.
.
−
−
=
∑
n
х
х
т
к
σ
 
 
Yuqorida ko‘rib chiqilgan nazariy masalalarni misollarda tushuntiramiz. 
 
Odatda  30  tadan  kam 
birliklaridan 
(n
<
30) 
tuzilgan  tanlanma  kichik 
tanlanma deb yuritiladi. 
PDF created with pdfFactory trial version 
www.pdffactory.com

 
9.1-jadval 
Korxona ishchilarining ish haqi bo‘yicha taqsimoti 
 
Ishchilarning o‘rtacha 
oylik ish haqi bo‘yicha 
guruhlari (ming so‘m) 
Ishchilar 
soni 
120 gacha 
50 
120-140 
250 
140-160 
400 
160-180 
200 
160 va undan yuqori 
 
Jami 
1000 
 
 
1-misol. Yakka birliklarni tasodifiy (takrorlanuvchi) tanlash usuli bilan 20000 
ta  ishchidan  1000  tasi  tanlab  olingan  va  o‘rtacha  oylik  ish  haqisi  bo‘yicha 
guruhlangan: 
 
Berilgan ma’lumotlarga asoslanib: 
1. 0,954  ehtimol  bilan  ishchilarning  o‘rtacha  oylik  ish  haqisi  uchun  ishonch 
oralig‘i aniqlansin. 
2. 0,997 ehtimol bilan 140 ming so‘m va undan yuqori oylik ish haqisi oluvchi 
ishchilarning salmog‘i uchun ishonch oralig‘i aniqlansin. 
 
Yechish.  1.  Moment  usuli  bilan  tanlanmadagi  ishchilarning  o‘rtacha  oylik  ish 
haqisi va uning dispersiyasini hisoblasak, ular quyidagilarga teng:  
 
 
x
 = 151 ming so‘m  va  
σ
2 
=419. 
 
 
o‘rtacha tanlanma xatosi 
µ
σ
Х
n
=
=
=
2
419
1000
0 645
.
  ming so‘m. 
p(t)= 0.954 bo‘lganda, jadvaldan  t = 2 topiladi, u holda xatoning chegarasi  
∆
Х
=
=
2 0 645 1 29
* ,
,
 ming so‘m. 
 
Ishchilarning o‘rtacha oylik ish haqisi (
х
) uchun ishonch oralig‘ini aniqlaymiz: 
151 - 1,29 
≤
 
~
х
 
≤
 151 + 1,29 , 
bundan 
 
 
 
149,71 ming so‘m 
≤
 
~
х
 
≤
 152,29 ming so‘m. 
 
Demak, ishchilarning o‘rtacha oylik ish haqisi 0,954 ehtimol bilan 149,71 ming 
so‘mdan  152,29  ming  so‘mgacha  oraliqda  ekan  yoki  boshqacha  qilib  aytganda, 
ishchilarning  o‘rtacha  oylik  ish  haqisi  151  ming  so‘m  deb  qaralsa,  xato  1,29  ming 
so‘mdan oshmaydi. 
 
2. Tanlanmada 140 ming so‘m va undan yuqori ish haqi oluvchi ishchilarning 
salmog‘i 
PDF created with pdfFactory trial version 
www.pdffactory.com

 
ω
ω
= =
+
+
=
n
400 200 100
1000
0 7
.
  yoki 70%. 
 
Uning o‘rtacha xatosi  
µ
ω
ω
Р
n
=
−
=
−
=
(
)
. (
. )
.
1
0 7 1 0 7
1000
0 0145  yoki 1,45%. 
P(t)=0.997  bo‘lganda, ishonch koeffitsiyenti  t = 3  bo‘lib, xatoning chegarasi  
∆
p 
= 3* 0,0145 = 0,0435 yoki  4,35%. 
 
To‘plamda 140 ming so‘m va undan yuqori oylik ish haqi oluvchi ishchilarning 
salmog‘i (r) uchun ishonch oralig‘i quyidagicha aniqlanadi: 
 
 
 
0,7 - 0,0435 
≤
 r 
≤
 0,7 + 0,0435 , 
bundan 0,6565 
≤
 r 
≤
 0,7435 yoki 65,65% 
≤
 r% 
≤
 74,35%. 
 
Shunday  qilib,  0,997  ehtimol  bilan  140  ming  so‘m  va  undan  yuqori  ish  haqi 
oluvchi  ishchilarning bosh to‘plamdagi salmog‘i 65,65% dan 74,35% gacha oraliqda 
ekanligini tasdiqlash mumkin. 
 
2-misol.  Yakka  birliklarni  mexanik  tanlash  usuli  bilan  aksioner  birlashma 
ishchilaridan  500  tasi  (5  foizi)  tanlab  olingan.  Kuzatish  ma’lumotlari  ko‘rsatdiki, 
tanlamadagi  ishchilarning  o‘rtacha  kvadratik  tafovuti  4,1  yil  va  ish  staji  15  yildan 
yuqori  bo‘lgan  ishchilarning  salmog‘i  40  foiz  ekan.  Berilgan  ma’lumotlarga 
asoslanib: 
1) 0,683  ehtimol  bilan  ishchilarning  o‘rtacha  ish  staji  uchun  ishonch  oralig‘i 
aniqlansin; 
2) 0,950 ehtimol bilan ish staji 15 yil yetmagan ishchilarning salmog‘i uchun 
ishonch oralig‘i aniqlansin. 
Yechish: 1. Birlashmadagi ishchilar soni: 
N
n
=
=
=
*
*
100
5
500 100
5
10000  kishi. 
 
Ish stajining o‘rtacha xatosi 
µ
σ
Х
n
n
N
=
−



 =
−



 =
2
2
1
41
500
1
500
10000
018
.
.
 yil. 
R(t)= 0.683 da t = 1, u holda xatoning chegarasi: 
∆
x 
= 1*0,18 = 0,18 yil. 
 
Ishchilarning o‘rtacha ish staji uchun ishonch oralig‘i 
10-0,18 
≤
  
~
х
 
≤
 10+0,18 
9,82 yil 
≤
  
~
х
 
≤
 10,18 yil bo‘ladi. 
 
2. Ish staji 15 yilga yetmagan ishchilarning tanlanmadagi salmog‘i  100-40= 60 
foiz yoki 
ω
 = 0,6. Uning o‘rtacha xatosi 
0675
.
0
10000
500
1
500
)
6
.
0
1
(
6
.
0
1
)
1
(
=





 −
−
=





 −
−
=
N
n
n
т
ω
ω
µ
 yoki 6,75%. 
 
Salmoq xatosining chegarasi 
PDF created with pdfFactory trial version 
www.pdffactory.com

 
∆
r
 = 1,96*0,0675=0,1323 yoki 13,23%. 
 
Ish stji 15 yilga yetmagan ishchilarning salmog‘i (R) uchun 
 ishonch oralig‘i  
60-13,23  
≤
  R 
≤
 60+13,23 
  
  
yoki 
46,77% 
≤
 R 
≤
 73,23% 
  
bo‘ladi. 
 
3-misol.  Aksioner  birlashmaning  10000  ta  ishchisi  yoshi  bo‘yicha  4  guruhga 
(tipga) ajratilgan va ulardan yakka birliklarni tasodifiy (takrorlanuvchi) tanlash usuli 
bilan 500 tasi tanlab olingan. Kuzatish ma’lumotlari quyidagicha xarakterlanadi: 
 
 9.2-jadval. 
Aksioner birlashma ishchilarining ish staji bo‘yicha taqsimoti 
 
Ishchilar soni 
Tanlanma to‘plamda 
Ishchilar 
ning yoshi 
bo‘yicha 
guruhlari 
Kishi 
% 
Ishchilar 
soni,kishi 
Ishchilar yoshi 
bo‘yicha 
dispersiyalri 
Guruhlardagi 
ayollar salmog‘i 
17-25 
2000 
20 
100 
25 
0,4 
25-40 
3000 
30 
150 
200 
0,50 
40-55 
4000 
40 
200 
400 
0,3 
55 va undan 
yuqori 
1000 
10 
50 
500 
0,2 
Jami 
10000 
100 
500 
- 
- 
 
 
Berilgan ma’lumotlarga asoslanib: 
1) ishchilarning tanlanma o‘rtacha yoshining o‘rtacha xatosi aniqlansin, 
2) tanlanmadagi ayollar salmog‘ining o‘rtacha xatosi aniqlansin. 
  
Yechish. 1. Guruh dispersiyalarining o‘rtachasi 
 
275
10
40
30
20
10
*
500
40
*
400
30
*
200
20
*
25
2
2
=
+
+
+
+
+
+
=
=
∑
∑
i
i
i
i
n
n
δ
δ
 
 
 
Tiplarga  ajratib  yakka  tartibda  tasodifiy  (takrorlanuvchi)  tanlash  usuli  uchun 
ishchilar o‘rtacha yoshining o‘rtacha xatosi bunday aniqlanadi: 
742
.
0
500
275
2
≈
=
=
n
i
Х
δ
µ
 yosh. 
 
2. Tanlanmadagi ayollarning salmog‘i ularning guruhlaridagi  
salmoqlaridan o‘rtachasiga teng 
 
PDF created with pdfFactory trial version 
www.pdffactory.com

 
37
.
0
10
40
30
20
10
*
2
.
0
40
*
3
.
0
30
*
5
.
0
20
*
4
.
0
=
+
+
+
+
+
+
=
=
∑
∑
i
i
i
n
n
ω
ω
 yoki 37%. 
 
Ayollar salmog‘ining o‘rtacha xatosi 
 
µ
ω
ω
Р
n
=
−
=
−
≈
(
)
.
(
.
)
.
1
0 37 1
0 37
500
0 0215  yoki 2,15%.  
9.3-jadval