|
Harakat qonuni koordinata usulda berilgandagi nuqta tezlanishi
Tezlanish vektorining koordinata o’qlaridagi proekstiyalari
x
a
,
y
a
,
z
a
bo’lsin.
a
tezlanishni proekstiyalari orqali ifodalaymiz.
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x
(4.17)
(4.14) va (4.16) formulalarni (4.17) ga qo’yamiz.
)
18
.
4
(
k
dt
d
j
dt
d
i
dt
d
k
j
i
dt
d
k
a
j
a
i
a
z
y
x
z
y
x
z
y
x
const
k
j
i
,
,
Yuqoridagi ifoda ayniyat bo’lgani uchun
k
j
i
,
,
birlik vektorning oldidagi
koeffitsientlar tegishlicha bir-biriga teng bo’lishi kerak:
;
dt
d
a
;
dt
d
a
;
dt
d
a
z
z
y
y
x
x
(4.19)
Bu formulalarga
z
y
x
,
,
ning qiymatlarini (4.19) keltirib qo’ysak, tezlanish
proekstiyalarini koordinatalar orqali ifodalagan bo’lamiz.
z
dt
z
d
dt
d
a
y
dt
y
d
dt
d
a
x
dt
x
d
dt
d
a
z
z
y
y
x
x
2
2
2
2
2
2
(4.20)
Demak, tezlanish vektorining koordinata o’qidagi proekstiyalari, tezlik
vektorining tegishlicha koordinata o’qidagi proekstiyasining vaqtga nisbatan birinchi
tartibli hosilasiga yoki harakatlanayotgan nuqta koordinatasining ikkinchi tartibli
hosilasiga teng bo’lar ekan. Tezlanishning moduli va uning yo’naltiruvchi kosinuslari
quyidagicha yoziladi.
2
2
2
z
y
x
a
a
a
a
0
А
М
P
P
0
В
y
x
z
М
1
1
1
О
38
a
a
k
a
a
a
j
a
a
a
i
a
z
y
x
)
,
cos(
)
,
cos(
)
,
cos(
Harakat qonuni tabiiy usulda berilgandagi nuqta tezlanishi.
Nuqtaning harakat tenglamasi tabiiy usulda berilgan bo’lsa, (4.20), nuqta
tezlanish vektorini uning tabiiy koordinata o’qlaridagi proekstiyalari orqali aniqlash
ancha qulay bo’ladi.
Nuqta AB
traektoriya
bo’ylab harakatlansin. Traektoriya bo’ylab
harakatlanuvchi M nuqta tezlanishining tabiiy koordinata o’qlaridagi proekstiyalarini
topamiz (53-shakl).
53-shakl
Buning uchun M nuqtadan traektoriyaning musbat yo’nalishi bo’ylab
M
urinma va traektoriyani botiq tomoniga qarab
Mn
bosh normal o’tkazamiz. Bu ikki
urinma va bosh normal traektoriyaning M nuqtasidan o’tgan yopishma tekislikda
yotadi. Egri chiziqli harakatda nuqta tezlanishi yopishma tekislikda yotishi bizga
ma’lum. Endi biz
a
tezlanish vektorining urinma va bosh normaldagi proekstiyalarini
aniqlaymiz. Aytaylik t vaqtda nuqta M holatda bo’lib, uning tezlik vektori
tezlik
t
t
vaqt o’tgandan keyin M1 holatga ko’chib, tezligi
1
bo’lsin.
Nuqtaning tezlanish vektorini aniqlaymiz.
t
Lim
a
1
0
t
(4.21)
(4.21) ni
M
va
Mn
tabiiy o’qlarga proekstiyalaymiz.
t
a
t
a
n
n
t
n
t
1
0
1
0
lim
lim
(4.22)
M1 nuqtadan M
ga parallel qilib chiziq o’tkazamiz
1
tezlik vektori bilan
ab
orasidagi burchakni
bilan belgilaymiz.
1
=
1
cos
;
1n=
1
sin
;
=
;
n=0 ga teng.
Bu erda
va
1 M nuqtaning
t
va
t+
t
paytdagi tezliklarining miqdorlaridir.
Olingan proekstiyalarni yuqoridagi tengliklarga keltirib qo’yamiz.
1
1
a
b
1
M
M
n
A
B
39
;
cos
lim
1
0
t
a
t
;
sin
lim
1
0
t
a
t
(4.23)
kelib chiqadi. Bunda
0
t
da M1
M,
S
0,
1
,
0 ga intiladi.
Natijada M1 nuqta M ga yaqinlashganda
1
cos
lim
0
f
bo’ladi, bu holda
dt
d
t
lim
a
1
0
t
bo’ladi. Demak,
t
d
d
a
(4.24)
bo’lib, urinma tezlanishi deyiladi.
Urinmalarning orasidagi burchakni
bilan va MM1=
S bilan belgilaymiz
S
nisbatga egri chiziqning (traektoriyaning) o’rtacha egriligi deyiladi. Buning
S
0 dagi limiti
dS
d
S
k
t
0
lim
(4.25)
ga egri chiziqning M nuqtasidagi egriligi deyiladi. Egrilikning teskari qiymatiga egri
chiziq (traektoriya)ning kuzatilgan
M
nuqtasidagi egrilik radiusi deyiladi va uni
d
dS
k
1
deb belgilaymiz. Endi
a
n ni topamiz. Buning uchun (4.25) ni o’ng tomoni surat va
maxrajini
S
ga ko’paytiramiz
t
S
S
a
t
n
sin
lim
1
0
(4.26)
t
nolga intilganda qavs ichidagi har bir ko’paytmaning limiti quyidagicha
hisoblanadi
1
sin
lim
0
t
dt
ds
t
S
lim
a
0
t
n
;
1 esa
ga intiladi.
1
lim
0
k
dS
d
S
s
Shunday qilib, urinma tezlanishining moduli
2
2
dt
S
d
a
ёки
dt
d
a
(4.27)
(4.27) formuladan normal tezlanishining moduli
2
n
a
(4.28)
formuladan topiladi.
Egri chiziqli harakatdagi nuqtaning urinma tezlanishining moduli tezlik
modulidan vaqt bo’yicha olingan birinchi tartibli hosilaga yoki nuqtaning yoy
koordinatasidan vaqt bo’yicha olingan ikkinchi tartibli hosilaga teng bo’ladi.
40
Hosilaning ishorasi urinma tezlanishining traektoriyaning qaysi tomoniga
yo’nalishini ko’rsatadi. Masalan: agar
0
dt
d
bo’lsa,
a
nuqtaning tezligi bilan bir
yo’nalishda bo’ladi. Bu holda harakat tezlanuvchan egri chiziqli harakat bo’ladi. Agar
0
dt
d
bo’lsa,
a
nuqta tezligiga teskari yo’naladi. Harakat sekinlanuvchan egri
chiziqli harakat bo’ladi.
Normal tezlanishning moduli harakati tekshirilayotgan nuqta tezligi
kvadratining, egri chiziqning shu nuqtadagi
egrilik radiusiga nisbatiga teng-
2
54-shakl.
Hamma vaqt musbat miqdor bo’lgani uchun normal tezlanish hamma vaqt
kuzatilayotgan nuqtadan traektoriyaning bosh normali bo’ylab botiq tomoniga
yo’naladi. Agar urinmaning birlik vektorini
, bosh normalini n bilan belgilasak,
urinma va normal tezlanishlarning vektorli ifodasi
n
a
dt
d
a
n
2
ko’rinishda yoziladi. To’la tezlanishning vektor ifodasi
n
dt
d
a
a
a
n
2
bo’ladi.
Bu ikki
a
bilan
n
a
o’zaro tik yo’nalganidan to’la tezlanishning moduli
quyidagi formuladan topiladi.
2
2
2
2
n
2
dt
d
a
a
a
Yo’nalishi
n
a
a
tg
formuladan topiladi (54-shakl).
Nuqtaning harakat tenglamasi tabiiy usulda berilsa, uning tezlanishi vektori
urinma va normal tezlanish vektorlarining geometrik yig’indisiga teng.
TAKRORLASh UChUN SAVOLLAR
1.
Kinematika nimani o’rgatadi?
2.
Nuqta traektoriyasi deb nimaga aytiladi?
3.
Nuqta harakati berilishining qanday usullarini bilasiz va ular qanday bo’ladi?
a
M
n
n
a
a
41
4.
Nuqta harakati qonuni koordinata usulida berilganda uning traektoriyasi
qanday aniqlanadi?
5.
Nuqta tezligi qanday aniqlanadi va qanday yo’nalishga ega?
6.
Nuqta tezligining Dekart koordinata o’qlaridagi proekstiyalari qanday? Nuqta
tezligi moduli va yo’nalishi tezlik proekstiyalari orqali qanday aniqlanadi?
Do'stlaringiz bilan baham: |
