O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti kattaqo’RG’on filiali “аxborot texnologiyalari” kafedrasi

Chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer usuli bilan yechish 
Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini topishni oldin ikki noma’lumli ikkita 
chiziqli tenglamalar sistemasi uchun qaraymiz. Ushbu ikki noma’lumli ikkita chiziqli 
tenglamalar sistemasi







2
22
21
1
12
11
b
y
a
x
a
b
y
a
x
a
dan, birinchi tenglamani 
22
a
ga, ikkinchi tenglamani 
12
a

ga hadma-had 
ko’paytiramiz va hosil bo’lgan tenglamalarni qo’shamiz, natijada


12
2
22
1
12
21
22
11
a
b
a
b
x
a
a
a
a



(1) 
tenglama hosil bo’ladi. Xuddi shunga o’xshash, 1-tenglamani
21
a

ga, 2- 
tenglamani 
11
a
ga hadma-had ko’paytirib, hosil bo’lgan tenglamalarni qo’shib 
ushbuni hosil qilamiz: 


21
1
11
2
12
21
22
11
a
b
a
b
y
a
a
a
a



(2)


2
21
1
11
21
1
11
2
22
2
12
1
12
2
22
1
22
21
12
11
12
21
22
11
,
,
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
a
a
a
a






bo’lgani uchun, quyidagi belgilashlarni kiritib
2
21
1
11
2
22
2
12
1
1
22
21
12
11
,
,
b
a
b
a
a
b
a
b
a
a
a
a






(1)
va (2) tengliklarni

---

177 
2
1
,






y
x
ko’rinishda yozish mumkin. Bundan 
0


bo’lsa,






2
1
,
y
x
bo’ladi, yoki determinantlar orqali yozsak
.
,
22
21
12
11
2
21
1
11
22
21
12
11
22
2
12
1
a
a
a
a
b
a
b
a
y
a
a
a
a
a
b
a
b
x


Bu formulalarga Kramer formulalari deyiladi, bunda 
1

yordamchi determinant

determinantning birinchi ustunini ozod hadlar bilan, 
2

da esa ikkinchi ustun ozod 
hadlar bilan almashtiriladi. 

determinantga tenglamalar sistemasining determinanti 
deyiladi. 
Shunday qilib, berilgan chiziqli tenglamalar sistemasining determinanti 0 dan 
farqli bo’lsa, sistema yagona yechimga ega bo’ladi. 
Endi sistemaning determinanti 0 ga teng, ya’ni
12
21
22
11
12
21
22
11
0
a
a
a
a
ёки
a
a
a
a





bo’lsin. Bu holda 1-tenglamaning noma’lumlari oldidagi koeffisiyentlari 2-
tenglamaning noma’lumlari oldidagi koeffisiyentlariga proporsionaldir. Haqiqatan, 
koeffisiyentlardan biri, masalan 
11
a
noldan farqli bo’lsin deb 


11
22
a
a
bilan 
belgilasak, bundan
11
21
a
a


bo’ladi. U holda
12
21
22
11
a
a
a
a

tenglikdan

---

178 
12
11
22
11
a
a
a
a


bo’lib, 
12
22
a
a


kelib chiqadi. Bularni hisobga olib, berilgan 
sistemani







2
12
11
1
12
11
)
(
b
y
a
x
a
b
y
a
x
a

(3)
ko’rinishda yozish mumkin. bunda ikkita xususiy hol bo’lishi mumkin: 
1) 
ikkala 
1

va 
2

determinantlar 
0 
ga 
teng, 
ya’ni
0
,
0
21
1
11
2
2
12
2
22
1
1








a
b
a
b
a
b
a
b
bundan 
1
2
b
b


, chunki 
12
22
a
a


. 
Bu holda 
2
22
,
21
,
b
a
a
sonlar 
1
12
,
11
,
b
a
a
sonlarga proporsional bo’lib, berilgan 
tenglamalar sistemasi ushbu ko’rinishda bo’ladi: 







1
12
11
1
12
11
)
(
b
y
a
x
a
b
y
a
x
a


Shunday qilib, sistemaning ikkinchi tenglamasi, birinchi tenglamasidan uning 
ikkala qismini 

ga ko’paytirish bilan hosil qilinadi, ya’ni u 1-tenglamaning 
natijasidir. Bu holda berilgan sistema cheksiz ko’p yechimlar to’plamiga ega bo’ladi. 
Masalan, 
y
ga ixtiyoriy qiymatlar berib, 
x
ning tegishli qiymatini
11
12
1
a
y
a
b
x


tenglikdan topamiz. 
2) 
1

va 
2

determinantlardan hyech bo’lmaganda bittasi 0 dan farqli, masalan,
0
21
1
11
2
2




a
b
a
b
bo’lsin. U holda 
21
1
11
2
a
b
a
b

bo’ladi, demak 
1
2
b
b


. 
bu holda (3) sistemadan ma’lum bo’ladiki, 


2
12
11
b
y
a
x
a



tenglama birinchi 
1
12
11
b
y
a
x
a


tenglamaga qarama-qarshidir. Demak, berilgan sistema yechimga 
ega emas, ya’ni birgalikda emas.
Endi uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemasini qaraymiz: 

---

179 














3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
(4) 
tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Bu sistema noma’lumlari koeffisiyentlaridan 
ushbu determinantni tuzamiz: 
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a


bunga (4) 
sistemaning determinanti
yoki aniqlovchisi deyiladi. 
0


bo’lsa, (4) 
sistema yagona









3
3
2
2
1
1
,
,
x
x
x
x
x
x
(5) 
yechimga ega bo’ladi, bunda 
3
32
31
2
22
21
1
12
11
3
33
3
31
23
2
21
13
1
11
2
33
32
3
23
22
2
13
12
1
1
,
,
b
a
a
b
a
a
b
a
a
x
a
b
a
a
b
a
a
b
a
x
a
a
b
a
a
b
a
a
b
x






(5) formulaga ham ikki noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasidagidek 
 
Kramer 
formulalari 
deyiladi
. Kramer formulalari 
n
noma’lumli
n
ta tenglamalar sistemasi 
uchun ham umumlashtiriladi. 
Endi misollar qaraymiz: 
1-misol. Ushbu







18
3
,
1
3
2
2
1
2
1
x
x
x
x
tenglamalar sistemasining yechimini toping. 

---

180 
Yechish
. 
Bu 
sistemaning 
determinanti
0
11
9
2
3
)
3
(
1
2
1
3
3
2












.
Demak, berilgan tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega. 
33
3
36
18
3
1
2
,
55
3
18
1
1
18
3
1
2
1












x
x
. 
Shunday qilib, 
3
11
33
,
5
11
55
2
2
1
1










x
x
x
x
. 
2-misol. Ushbu
























5
2
3
4
,
1
4
3
2
,
2
2
2
,
3
2
4
3
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tenglamalar sistemasini yeching. 
Yechish
. Sistema determinantini tuzib, uning uchinchi satri elementlarini (-
1)ga ko’paytirib, 1 satr mos elementlariga qo’shib, hosil bo’lgan determinantni 1-satr 
elementlari bo’yicha yoyib quyidagini hosil qilamiz: 

---

181 
3
4
1
4
3
2
2
2
1
)
1
(
1
2
3
4
1
1
4
3
2
1
2
2
1
1
0
0
0
2
3
4
1
1
4
3
2
1
2
2
1
2
4
3
2
4
1







Oxirgi 3-tartibli determinantda 1- ustun elementlarini (-2)ga ko’paytirib 3- ustun mos 
elementlariga qo’shib, hamda 3- ustun elementlari bo’yicha yoyib 
1
)
4
3
(
3
2
2
1
1
1
4
1
0
3
2
0
2
1
3
4
1
4
3
2
2
2
1












ni hosil qilamiz. 
1


, demak, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega. Endi 
boshqa determinantlarni hisoblaymiz: 
4
5
3
4
1
1
4
3
2
2
2
2
1
3
4
3
2
,
3
2
5
4
1
1
1
3
2
1
2
2
1
2
3
3
2
,
1
2
3
5
1
1
4
1
2
1
2
2
1
2
4
3
2
,
2
2
3
4
5
1
4
3
1
1
2
2
2
2
4
3
3
4
3
2
1

















x
x
x
x
. 
(Bu determinantlarni hisoblab ko’rishni o’quvchiga havola etamiz). 
Shunday qilib, Kramer formulalariga asosan, 
4
1
4
,
3
1
3
,
1
1
1
,
2
1
2
4
3
2
1
1













x
x
x
x
x

---

182 
bo’ladi. 
Topilgan yechimni tenglamalar sistemasiga bevosita qo’yib uning to’g’riligiga 
ishonamiz. 
3-misol. Ushbu















1
2
3
,
6
2
6
4
,
3
3
3
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tenglamalar sistemasining yechimini toping.
Yechish. Oldin sistemaning determinantini hisoblaymiz: 
.
0
4
24
18
4
18
24
2
1
3
2
6
4
1
3
2












Sistema determinanti 0 ga teng, bunda ikki hol bo’lishi mumkin. Tenglamalar 
sistemasi yechimga ega bo’lmasligi yoki cheksiz ko’p yechimga ega bo’lishi 
mumkin. Buni aniqlash uchun 
3
2
1
,
,



yordamchi determinantlarni 
hisoblaymiz: 
0
1
1
3
6
6
4
3
3
2
,
0
2
1
3
2
6
4
1
3
2
,
0
2
1
1
2
6
6
1
3
3
3
2
1


















Ikkinchi va birinchi tenglamalarni solishtirib, ikkinchi tenglama birinchi tenglamadan 
ikkiga ko’paytirish bilan hosil bo’lganligini payqaymiz. Demak, berilgan sistema

---

183 












1
2
3
,
3
3
3
2
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
(6) 
tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo’ladi. Bu sistemaning birorta noma’lumiga 
ixtiyoriy qiymatlar berish bilan cheksiz ko’p yechimlar to’plamiga ega bo’lamiz, 
masalan,
1
3

x
bo’lsin, uni oxirgi sistemaga qo’ysak,
sistema hosil bo’lib,
11
18
,
11
5
2
1



x
x
bo’ladi. Bu holda 





 
1
,
11
18
,
11
5
yechim hosil bo’ladi.
2
3


x
bo’lsin, buni (6) sistemaga qo’yib, quyidagi 
sistemani hosil qilamiz: 







3
3
,
1
3
2
2
1
2
1
x
x
x
x
bundan,
11
3
,
11
10
2
1



x
x
bo’lib, 








2
,
11
3
,
11
10
yechimni olamiz.
Shunday qilib, noma’lumlarning biriga ixtiyoriy qiymatlar berib, cheksiz ko’p 
yechimlarni olamiz. 
4-misol. Ushbu














3
6
3
3
,
4
4
2
2
,
2
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
tenglamalar sistemasini yeching. 
Yechish. Berilgan sistema determinantini hisoblaymiz: 








3
3
4
3
2
2
1
2
1
x
x
x
x

---

184 
0
6
3
3
4
2
2
2
1
1
6
3
3
4
2
2
2
1
1








bo’lib, yordamchi determinantlar ham
0
3
2
1






bo’ladi. Bu tenglamalar 
sistemasi yechimga ega emas, chunki 1-tenglama bilan 3-tenglama o’zaro ziddir, 
ya’ni 1-tenglamani -3 ga ko’paytirib 3- tenglamaga hadma-had qo’shsak, 0=-3 tenglik 
hosil bo’lib, bu tenglamalar sistemasining birgalikda bo’lmasligini bildiradi.
3.