|
Steffensen (Eytken-Steffensen) usuli.
Urinmalar usulining yaqinlashish tezligini oshirish uchun uning ifodadagi
)
(
n
x
f
hosilaning approksimatsiyasi o‘rniga quyidagi ifodadan foydalalanish lozim:
n
n
n
n
n
x
x
x
f
x
f
x
f
1
1
)
(
)
(
)
(
. (2.4)
Agar kesuvchilar usulidagi hosila ifodasini chap ayirmali approksimatsiya de-
sak, u holda (2.4) ni o‘ng ayirmali approksimatsiya deb olish mumkin.
(2.4) dan ko‘rinadiki, unda hali aniqlanmagan
x
n
+1
noma’lum had qatnashmoqda
uni hisoblash uchin oddiy iteratsiyalar ifodasidan foydalanamiz:
)
(
)
(
1
n
n
n
n
x
f
x
x
g
x
.
Natijada biz quyidagi approksimatsiyaga ega bo‘lamiz:
)
(
)
(
))
(
(
)
(
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
.
Bu ifodadan Nyuton usulida foydalanish bilan yangi iteratsion algoritmga ega
bo‘lamiz:
)
(
)
(
))
(
(
)
(
1
n
n
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
x
. (2.5)
Bu iteratsion algoritm sonli usullarda
Steffensen usuli
deb ataladi.
Steffensen usuli kvadratik yaqinlashishga ega, ammo bu yerda qo‘shimcha
ravishda
))
(
(
n
n
x
f
x
f
ifodaning qiymatini hisoblash hisobiga yuqori yaqinlashish
95
tezligiga erishiladi. Bu usul har bir iteratsiyada funksiyaning qiymatini ikki marta
hisoblashni talab qiladi, bu jihatdan Steffensen usuli kesuvchilar usuliga qarahanda
kamroq samara beradi.
Yuqoridagi (2.5) iteratsion algoritmni Eytken tomonidan taklif etilgan chiziqli
yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning yaqinlashishini tezlashtirish uslubidan ham olish
mumkin.
Buning uchun quyidagi ketma-ketlikni qaraylik:
z
n
= z + Cq
n
. (2.6)
Bu ketma-ketlik
q
<1 da
z
limitga yaqinlashadi. Uncha qiyin bo‘lmagan
akslantirishlar yordamida
z
limitik qiymatni {
z
n
} ketma-ketlikning uchta
z
n
-1
,
z
n
va
z
n
+1
ketma-ket elementlari orqali ifodalash mumkin. Buning uchun bizga ko‘rinib
turgan
q
z
z
z
z
n
n
1
va
q
z
z
z
z
n
n
1
ikkita tenglikdan ushbu
2
1
1
)
(
)
)(
(
z
z
z
z
z
z
n
n
n
tenglikka kelinadi. Bu yerdan esa o‘z navbatida
z
ning quyidagi ifodasi kelib chiqadi:
1
1
2
1
1
2
n
n
n
n
n
n
z
z
z
z
z
z
z
.
Bu
natijaga
asoslanib,
{
z
n
}
ketma-ketlikni
boshqa
ketma-ketlikka
almashtirishning quyidagi Eytken taklifini qaraylik:
1
1
2
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
z
z
z
z
z
z
. (2.7)
Agar bu almashtirishni (2.6) ko‘rinishidagi ixtiyoriy ketma-ketlikka qo‘llasak, u
holda
n
ning ixtiyoriy qiymatida
n
n
n
z
z
lim
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Agar {
x
n
}
ketma-ketlikning yaqinlashish turi (2.6) nikiga yaqin bo‘lsa, u holda (2.7)
almashtirish (
n
ning ixtiyoriy qiymatida uning limitini bermasada)
z
ga dastlabkisiga
nisbatan tezroq yaqinlashuvchi yanqi ketma-ketlikni beradi.
1-misol.
Ushbu
x
3
–
x
2
–8
x
+12=0
tenglamaning ikki karrali
x
r
= 2 ildiziga taqribiy yaqinlashishni Nyuton usuli va unga
Eytken tezlatgichini qo‘llash bilan bajaring.
Yechish.
Hisoblashlar natijalari mos ketma-ketliklar elementlari bilan quyidagi
jadvalda keltirilgan (uchinchi va to‘rtinchi ustunlarga qarang).
n
x
n
x
n
-
x
r
/
x
n
-1
-
x
r
n
n
-
x
r
/
n
-1
-
x
r
0
0,5
-
-
-
1
1,454545
0,363636
-
-
2
1,745059
0,467381
1,872159
-
3
1,876049
0,486197
1,983607
0,128232
4
1,938822
0,493563
1,996588
1,208141
5
1,969602
0,496884
1,999213
1,230676
96
6
1,984847
0,498466
1,999811
0,240656
7
1,992425
0,499239
1,999954
0,245400
8
1,996221
0,499621
1,999988
0,247717
9
1,998111
0,499811
1,999997
0,248863
10
1,999056
0,499905
1,999999
0,249432
11
1,999528
0,499953
2,000000
0,249717
12
1,999764
0,499976
2,000000
0,249856
13
1,999882
0,499988
2,000000
0,249948
14
1,999941
0,499994
2,000000
0,250448
Bu jadvalning uchinchi ustunida yaqinlashish tezligi
= 1 deb faraz qilinib,
(2.6) tenglikdagi
C
o‘zgarmasning har bir iteratsiyadagi qiymatlari keltirilgan.
Jadvaldagi natijalardan ko‘rinadiki,
C
o‘zgarmas iteratsion jarayonda juda kam
o‘zgarib boradi va u
C
=0,5 qiymatga juda ham yaqin. Natijada Nyuton usulining
karrali ildizga yaqinlashish tezligi chiziqli ekanligi haqidagi faraz isbotlanadi.
Chiziqli yaqinlashuvchi {
x
n
} ketma-ketlikni (2.7) tezlashtirivchi formulaga
qo‘llab, jadvalning to‘rtinchi ustunidagi
n
larning qiymatlariga erishamiz. Jadvalning
ikkinchi va tortinchi ustunlaridagi qiymatlarni taqqoslash bilan yaqinlashish tezligiga
erishganligimizga ishonch hosil qilamiz. Haqiqatan ham, Nyuton usulining o‘n
to‘rtinchi iteratsiyasida erishiladigan natijaga Nyuton usuli va Eytken tezlatgichini
qo‘llab, uning yettinchi iteratsiyasida shu najijaga kelish mumkinligini ko‘rish
mumkin. Bu jadvalning beshinchi ustunidagi natijalar yaqinlashish tezligi
ko‘rsatgichi
ning oshishi hisobiga emas, balki
C
o‘zgarmasni 0,25 gacha
kamaytirish hisobiga bunday samarali natijaga erishilganligini ko‘rsatadi.
Endi oddiy iteratsiyalar usulida ildizga taqribiy yaqinlashishning tezligini
oshirishni tahlil qilaylik. Buning uchun avvalo
)
(
1
n
n
x
g
x
iteratsion formulaning
o‘ng tarafini Teylor qatoriga yoyaylik, ya’ni
)
)
((
)
)(
(
))
(
(
)
(
2
r
n
r
n
r
r
r
n
r
n
x
x
O
x
x
x
g
x
x
x
x
g
x
g
.
Bunga ko‘ra
)
)
((
)
)(
(
2
1
r
n
r
n
r
r
n
x
x
O
x
x
x
g
x
x
.
Shunday qilib,
r
n
n
x
x
e
kvadrat aniqlik bilan har bir iteratsiya uchun
quyidagi taqribiy tenglikni yozish mumkin:
)
)(
(
1
r
n
r
r
n
x
x
x
g
x
x
.
Bu yerdan {
x
n
} ketma-ketlikni quyidagi formula bilan ifodalash mumkin:
)
(
)]
(
[
0
r
n
r
r
n
x
x
x
g
x
x
.
Bu ketma-ketlikning ham yaqinlashishi turi (2.6) ketma-ketlikniki kabi. Demak,
oddiy iteratsiyalardagi ildizga yaqinlashish ketma-ketligi yaqinlashishni tezlashtirish
prosedurasini qo‘llash uchun mos ekan.
97
Yaqinlashishni tezlashtirish prosedurasini qo‘llashda hisoblangan har bir yaxshi-
lovchi qiymatning keyingi hisoblashlarda ham hisobga olinishini ta’minlash maqsa-
dida uni shu zahoti hisobga kiritish lozim. Bu iteratsiyaning har bir qadamida
quyidagicha bajariladi: faraz qilaylik, hisoblashlar
x
n
ning qiymatini hisoblashgacha
bajarildi; uning yordamida ikkita yordamchi
)
(
)
1
(
n
n
x
g
x
va
))
(
(
)
2
(
n
n
x
g
g
x
qiymatlarni hisoblaymiz. Uchta
x
,
)
1
(
n
x
va
)
2
(
n
x
qiymatlarga (2.7) tezlatgich formula-
ni qo‘llaymiz va uning natijasini navbatdagi
x
n
+1
yaqinlashish deb qabul qilamiz:
n
n
n
n
n
n
n
x
x
g
x
g
g
x
g
x
g
g
x
x
)
(
2
))
(
(
)
(
))
(
(
2
1
. (2.8)
Bu tenglik (2.5) Steffensen iteratsion formulasining yozilish shakllaridan biri
ekanligi ko‘rinib turibdi.
2-misol.
(2.8) formulani ushbu
x
3
–
x
2
– 8
x
+ 12 = 0
tenglamaning ikki karrali ildizini topishga qo‘llang.
Yechish.
Buning uchun Nyuton iteratsiyasiga mos
)
(
)
(
)
(
x
f
x
f
x
x
g
deb olib, (2.8) formula bo‘yicha hisoblashlardan
{0,5; 1,87215909; 1,99916211; 1,99999996; 2,00000000}
ketma-ketlikni hosil qilamiz. Bu qiymatlarni
n
ning yuqoridagi jadvalning to‘rtinchi
ustunidagi qiymatlari bilan taqqoslab, tezlatgichni ketma-ketlikka emas, balki hatija
olingan algoritmga kiritish bilan samaradorlik oshganligini ko‘rishimiz mumkin.
Ushbu misolni Maple dasturi-
ning paketidan foydalanib yechamiz
(2.39-rasm):
>with
(
Student
[
NumericalAnalysis
]):
>
f
:=
x
3
–
x
2
– 8
x
+ 12;
>
fsolve
(
f
);
–3,. 2., 2.
>
Steffensen
(
f
,
x
=–2,
tolerance
=10
-4
);
–3.000000000
>
plot
(
f
,
x
=–3.5..3)
Do'stlaringiz bilan baham: |
