|
Teorema.
Agar biror
S
= {
x
:
x
–
x
0
} nuqtalar to‘plamida
(
x
) funksiya
ushbu
(
x
) –
(
x
)
<
q
x
–
x
,
x
,
x
S
,
q
< 1,
Lipshits shartini
va
x
0
–
(
x
0
)
(1 –
q
)
shartni qanoatlantirsa, u holda
x
=
(
x
) tenglama
S
kesmada yagona
ildizga ega bo‘ladi.
Iteratsion jarayonning yaqinlashish tezligi
ushbu
x
n
–
m q
n
/ (1 –
q
)
tengsizlikdan aniqlanadi, bunda
m
=
x
0
–
(
x
0
)
.
Agar
(
x
) funksiya
S
kesmada uzluksiz
(
x
) hosilaga ega bo‘lsa, u hoda
Lipshits shartini
sodda qilib
(
x
)
q
< 1 kabi yozish mumkin.
Bular oddiy iteratsiya usuli maxraji
q
ga teng bo‘lgan
geometrik progressiya
tezligi bilan yaqinlashadi
degani.
Shuni ta’kidlaymizki,
(
x
) funksiyani tanlashda juda ehtiyotkorlik talab qilinadi.
Masalan,
f
(
x
) =
x
2
–
c
tenglamani
x
=
x
2
–
c
+
x
yoki
x
=
c
/
x
yoki
x
= 0,5(
x
+
c
/
x
)
ko‘rinishga keltirish mumkin. Shulardan
(
x
) =
x
2
–
c
+
x
ko‘rinishni tanlasak, –1<
x
<0
oraliqdagina
1
)
(
x
shart bajariladi va iteratsion jarayon –
c
ildizga
yaqinlashadi. Agar
(
x
) =
c
/
x
desak, u holda
(
x
)= –
c
/
x
2
va iteratsion jarayon
uzoqlashuvchi bo‘lib chiqadi.
Oddiy iteratsiyalar usulining blok-sxemasi 2.37-rasmda tasvirlangan.
Namunaviy mashqlar va ularning yechimlari
1-misol.
Ushbu
a
)
f
(
x
)=
x
3
–
x
–1=0;
b
)
f
(
x
)=
x
3
–
x
+1=0 tenglamaning ildizini oddiy
iteratsiyalar usuli yordamida
=0,01 aniqlik bilan toping.
91
Yechish.
a
) Ushbu
f
(
x
)=
x
3
–
x
–1=0 tenglama [1;2] kesmada yagona ildizga ega,
chunki
f
(1) = –1 < 0 va
f
(2) = 5 > 0. Agar berilgan tenglamani
x
=
x
3
–1 ko‘rinishda
yozib olsak,
(
x
)=
x
3
–1 va
(
x
)=3
x
2
. Bunda
x
[1;2] lar uchun
(
x
)
3, demak ite-
ratsion jarayon uzoqlashuvchi. Agar berilgan tenglamani
3
1
x
x
deb
o‘zgartirsak,
u
holda
(
x
)=
3
1
x
va
)
)
1
(
3
/(
1
)
(
3
2
x
x
.
Bunda
4
/
1
)
4
3
/(
1
)
(
0
3
x
tengsizlik barcha
x
[1;2] lar uchun o‘rinli, demak
iteratsion jarayon yaqinlashuvchi. Shunga ko‘ra
3
1
1
n
n
x
x
iteratsion formuladan
foydalanib ildizni topamiz. Topilgan qiymatlar: 1,0; 1,260; 1,312; 1,322; 1,3243
ekanligidan izlangan yechim
=0,01 aniqlik bilan
=1,324 ga tengligi kelib chiqadi.
Xususan,
f
(
x
)=3
x
2
–1;
11
)
(
max
]
2
,
1
[
x
f
Q
;
k
Q
/2
6;
(
x
) =
x
–
f
(
x
)/
k
=
x
–(
x
3
–
x
–1)/6;
)
(
1
n
n
x
x
munosabatlarga ko‘ra 1,0; 1,1667; 1,2631; 1,3044; 1,3186; 1,3229;
1,3242 natijalarni olamiz. Demak,
=1,324 berilgan tenglamaning taqribiy ildizi.
2.37-rasm. Oddiy iteratsiyalar usulining blok-sxemasi.
b
) Ushbu
f
(
x
)=
x
3
–
x
+1=0 tenglama [-2;-1] kesmada yagona ildizga ega. Agar
berilgan tenglamani
3
1
x
x
deb o‘zgartirsak, u holda
(
x
)=
3
1
x
va
)
)
1
(
3
/(
1
)
(
3
2
x
x
. Bunda
4
/
1
)
4
3
/(
1
)
(
0
3
x
tengsizlik barcha
x
[-2;-1]
lar uchun o‘rinli, demak iteratsion jarayon yaqinlashuvchi. Shunga ko‘ra
3
1
1
n
n
x
x
iteratsion formuladan foydalanib ildizni topamiz. Topilgan qiymatlar: -
1,000; -1,2599; -1,3123; -1,3223; -1,3243; -1,3246 ekanligidan izlangan yechim
92
=0,001 aniqlik bilan
=-1,3246 ga tengligi kelib chiqadi. Xususan,
f
(
x
)=3
x
2
–1;
11
)
(
max
]
1
,
2
[
x
f
Q
;
k
Q
/2
6;
(
x
) =
x
–
f
(
x
)/
k
=
x
–(
x
3
–
x
+1)/6;
)
(
1
n
n
x
x
muno-
sabatlarga ko‘ra -1,0; -1,1667; -1,2631; -1,3044; -1,3186; -1,3229; -,3242 natijalarni
olamiz. Demak,
=-1,324 berilgan tenglamaning taqribiy ildizi.
2-misol.
Ushbu
0
sin
)
/
1
(
cos
x
x
x
tenglamaning eng kichik musbat ildizini
oddiy iteratsiyalar usuli bilan beshta ishonchi raqam bilan aniqlang.
Yechish.
Berilgan tenglamani
x
x
tg
ko‘rinishda yozib olaylik.
y
=
x
va
y
=tg
x
funksiyalarning grafiklarini chizib, dastlabki yaqinlashishni
x
0
= 1,5
4,7 deb
olishimiz mumkin, ammo bu hol uchun
(
x
) = (tg
x
)
= 1/cos
2
x
1 ekanligidan
tanlangan iteratsion jarayonning uzoqlashuvchanligi kelib chiqadi. Shuning uchun
bunda
x
= arctg
x
deb olish maqsadga muvofiq, chunki
x
≠ 0 da
(
x
) = (arctg
x
)
=
=1/(1+
x
2
)<1. Demak
x
n+
1
= arctg
x
n
formuladan
x
0
4,7 uchun
x
4,4934 yechimga
kelamiz.
3-misol.
Ushbu sin
x
– 2
x
+ 0,5 = 0 tenglamaning [0;
/2] kesmadagi ildizini
oddiy iteratsiya usuli yordamida
=0,001 aniqlik bilan toping.
Yechish.
Berilgan tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan
x
= 0,25 + 0,5sin
x
=
(
x
) tenglamaga almashtirib olamiz. Buning uchun
x
[0;
/2] qiymatlarda
(
x
)=0,5cos
x
va
(
x
)
0,5<1 o‘rinli. Demak
x
n
= 0,25 + 0,5sin
x
n
iteratsion
jarayon
x
0
= 0,5 boshlang‘ich qiymat uchun ketma-ket 0,4897; 0,4852; 0,4832;
0,4823; 0,4819; 0,48175; 0,48165; 0,4816 qiymatlarni beradi. Bu yerdan berilgan
tenglamaning talab qilingan aniqlikdagi yechimi
x
0,4816 degan xulosaga kelamiz.
4-misol.
Ushbu
f
(
x
) =
x
– cos(
x
) = 0, tenglamani
x
0
= 1 boshlang‘ich yaqinla-
shishda oddiy iteratsiyalar usuli yordamida
=10
-10
aniqlik bilan Maple dasturi
paketidan foydalanib yeching (kesuvchilar usuli mavzusidagi 2-misolga qarang).
Yechish.
Misolni Maple dasturi paketidan foydalanib yechish (2.38-rasm):
# Dastur paketini ishga tushirish, funksiyaning berlishi va yechimni topish
with
(
Student
[NumericalAnalysis]):
f
:=
x
–cos(
x
);
fsolve
(
f
);
0.7390851332
# Dastur paketidan foydalanib yechimni topish
FixedPointIteration(f, x
=1
,
tolerance=10
−10
);
0.7390851332
# Iteratsiyalar natijalarini chop qilish
FixedPointIteration(f, x
=0.739
, tolerance
=10
−5
,output=sequence, maxiterations
=20);
0.739, 0.7391424773, 0.7390465043, 0.7391111536, 0.7390676053, 0.7390969401,
0.7390771799, 0.7390904906, 0.7390815244, 0.7390875642
# Natijalarni grafikda ifodalash
FixedPointIteration(f, x
= 1
, toleranc
e =10
−5
, output = plot, stoppingcriterion = func-
tion_value, maxiterations
=20);
93
# Natijalarni grafikda ifodalashning animatsiyasi
FixedPointIteration(f, x
= 1
, toleranc
e =10
−5
, output = animation, stoppingcriterion
= absolyute, maxiterations
=20);
2.38-rasm. Tenglamaning haqiqiy ildizini oddiy iteratsiyalar usuli bilan
topish.
Mashqlar
Quyida berilgan tenglamalarni oddiy iteratsiyalar usuli bilan yeching (bunda
a
,
b
,
c
,
parametrlarni o‘zingiz har xil tanlash orqali turli variantlar hosil qiling):
1.
0
2
3
x
c
b
ax
;
a
= 1.11;
b
= –10.11;
c
= –2.02;
= 7
10
-5
.
2.
0
sin
x
bx
ax
;
a
= 2.01;
b
= –1;
= 10
-5
.
3.
0
)
cos(
3
cx
b
x
a
;
a
= 2.13;
b
= 3.62;
c
= –4.12;
= 2
10
-4
.
4.
0
)
(
)
ln(
5
b
x
a
x
,
a
= 2.11;
b
= 4.03;
= 3
10
-5
.
5.
0
cos
2
cx
bx
ax
;
a
= 2.93;
b
= 3.01;
c
= 2.1;
= 7
10
-5
.
6.
0
/
cx
be
x
a
;
a
= 2.37;
b
= –0.99;
c
= 0.56;
= 5
10
-4
.
Izoh:
Dastlab funksiyaning grafigini matematik paketlardan birida (Maple,
Matlab, Mathcad, Mathematica) yoki MS Excel dasturida chizing, haqiqiy ildizlar
yotgan oraliqlarni aniqlab oling, hisoblashlarni qo‘lda va dastur yordamida bajaring.
Do'stlaringiz bilan baham: |
