O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi navoiy davlat pedagogika instituti

O‘q otish (otishmalar) usuliga oid misollar va ularni yechish uslubi

1. 
   misol. Quyidagi tenglama bilan berilgan to‘rtinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani yechish uchun o‘q otish (otishmalar) usuli algoritmini tuzing:
   

(x  1)u^IV

 (4  x)u ' '3u  6x  3 _,

x [0,1] _.

Chap chegara x = 0 dagi chegaraviy shart quyidagicha berilgan:

2u(0)  u ' ' ' (0)  2 _,

u(0)  2u ' ' ' (0)  1_;

O‘ng chegara x = 1 dagi chegaraviy shart quyidagicha berilgan:

u(1)  u ' ' (1)  3_,

u ' (1)  u ' ' (1)  2 _.

Yechish. Quyidagi yangi o‘zgaruvchilar kiritamiz:

u₁ (x)  u(x) _,

^{u2(x) u(x)} ,

u₃ (x)  u^ (x) _,

u₄ (x)  u^(x) _.

Bulardan foydalanib, berilgan chegaraviy masala quyidagi to‘rtinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan chegaraviy masalaga olib kelinadi:

^{u1(x)  u2(x)} ,

u₂^ (x)  u₃ (x) _,

u₃^ (x)  u₄ (x) _,

u₄^ (x)  3 /(x  1)  (4  x) /(x  1)u₃  3(2x 1) /(x 1) _.

Shuni ta’kidlaymizki, bu sistemaning yechimini topish uchun uning o‘ng tarafini hisoblashni ta’minlovchi prosedurani yaratishimiz lozim.

Bu sistemani vektor ko‘rinishida quyidagicha yozish mumkin:

Bu yerda

u ' (x)  A(x)u (x) 


^{f (x)} . (34)

 ^u₁ 

_ 0 1

0 0_

 ⁰ 

  ^

_  ₀ 

 ^u₂ 


_ 0 0 1 0_  

u (x)  _{ u } ,

A(x)  _{ 0 0}

0 1^{ ,}

f (x)  ^ ₀ ^ _.

 ³ 

^ 3

4  x ^

 

6x  3

u
 

 4 

^ x  1 <sup>0

</sup> x  1 ^0

 




^ x  1 ^




Yangi o‘zgaruvchila uchun chegaraviy shartlar quyidagicha yoziladi:

2u₁ (0)  u₄ 0 2,

u₁ (0)  2u₄ 0 1,

u₁ (1)  u₃ 1 3,

u₂ (1)  u₄ 1 2.

Chap chegaraviy shartlardan quyidagilarga ega bo‘lamiz:

(35)
(36)

u₁ (0)  0,6, u₄ 0 0,8.

Endi o‘q otish usulining algoritmini tuzsak bo‘ladi.

1. 
   Dastlab quyidagi birjinsli bo‘lmagan Koshi masalasi yechiladi:
   

u ' (x)  A(x)u (x)  f (x) _,

^{u (0)  (0.6, 0.0, 0.0,  0.8)} .

Bu masalaning yechimini

u ⁰ (x)

deb belgilaylik.

2. 
   Endi quyidagi birjinsli differensial tenglamalar sistemasi uchun ikkita Koshi masalasi yechiladi:
   

u ' (x)  A(x)u (x) _.

u ¹ (x)

- vektor-funksiya yoki yechim quyidagi boshlng‘ich shartlarni

qanoatlantiradi:
u (0)  (0.0, 1.0, 0.0, 0.0) _.

u ¹ (x)

- vektor-funksiya yoki yechim esa quyidagi boshlng‘ich shartlarni

qanoatlantiradi:

^{u (0)  (0.0, 0.0, 1.0, 0.0)} .

3. 
   Quyidagi vektor-funksiyani quramiz:
   

^{u (x)  u 0(x)  p u1 (x)  p u 2 (x)} .

2 3

Tuzilgan masalaning chiziqlilik shartidan

u (x)

yechim (34)

differensial tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi. x=0 nuqtada quyidagiga ega bo‘lamiz:

u (0)  (0.6,

p₂ ,

p₃ ,  0.8) _,

ya’ni

u (x)

yechim (35) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.

_4. p₂ , p₃

parametrlarni shunday tanlaymizki,

u (x)

yechim (36)

chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin, ya’ni

1
u (1)  u

(1)  3

 ^{u 0 (1)  p u 1 (1)  p u 2 (1) u 0 (1)  p u 1 (1)  p u 2 (1) 3} ,

3

1

2

1

3

1

3

2

3

3

3
^{u (1)  u (1)  2}  ^{u 0 (1)  p u 1 (1)  p u 2 (1) u 0 (1)  p u 1 (1)  p u 2 (1) 2} .

2 4 2 2 2 3 2

4 2 4 3 4

Bu shuni bildiradiki,

p₂ , p₃

paramatrlar quyidagi chiziqli algebraik

tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lishi zarur.


2

1

3

3

1

3

1

3
p u ¹ (1)  u ¹ (1) p u ² (1)  u ² (1) 3  u ⁰ (1)  u ⁰ (1) _,


2

2

4

3

2

4

2

4
^{p u 1 (1)  u 1 (1) p u 2 (1)  u 2 (1) 2  u 0 (1)  u 0 (1)} .
Shuni ta’kidlaymizki, koeffitsiyentlarning qiymatlarini va chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining o‘ng tomonini hisoblash uchun Koshining uchta masalasini yechish talab qilinadi, bunda bu masalalar yechimlarining faqat x=1 chegaradagi qiymatinigina topish talab etiladi

_5. p₂ , p₃

parametrlar hisoblab bo‘lingandan so‘ng quyidagi Koshi

masalasining

u (x, p₂ , p₃ )

yechimi topiladi:

u ' (x)  A(x)u (x) 




f (x) _,

u (0)  (0.6,

p₂ ,

p₃ ,  0.8) _.

u (x, p₂ , p₃ )

- vektor-funksiyaning birinchi komponentasi dastlabki

chegaraviy masalaning yechimi.

2. 
   misol. Quyidagi tenglama bilan berilgan to‘rtinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani yechish uchun o‘q otish (otishmalar) usuli algoritmini tuzing:
   

(x  1)u^IV  (4  x)u ' '3u  6x  3 _, x [0,1] _.

Chap chegara x = 0 dagi chegaraviy shart quyidagicha berilgan:

2u(0)  3u ' (0)  u ' ' ' (0)  2

_,

- ^{u(0)  2u'(0)  3u''(0)  3u ' ' ' (0)  1} ;

O‘ng chegara x = 1 dagi chegaraviy shart quyidagicha berilgan:

u(1)  u ' ' (1)  3_,

u ' (1)  u ' ' ' (1)  2 _.

Yechish. Bu chegaraviy masalaning oldingisidan farqi shundaki, bunda x = 0 chegaradagi shart umumiyroq qilib berilgan. Xuddi 1- misoldagi kabi yangi o‘zgaruvchilar kiritamiz. Natijada oddiy differensial tenglamalar sistemasi (34) uchun (36) chegaraviy shartlar va quyidagi chegaraviy shartlarga ega bo‘lamiz:

2u₁ (0)  3u₂ 0 u₄ 0 2,

u₁ (0)  2u₂ 0 3u₃ 0 3u₄ 0 1 _{. (37)}

Bu chegaraviy masalaning yechimini quyidagi vektor-funksiya ko‘rinishida izlaymiz:

u (x)  u (x)  _ p u (x)
4


,
0 i

i

i1

bu yerda p_i – hozircha noma’lum parametrlar.

Bu yerdagi yechimi:

u ⁰ (x)

quyidagi birjinsli bo‘lmagan Koshi masalasining

u ' (x)  A(x)u (x)  f (x) _,

u ⁱ (x)

u (0)  (0.0, 0.0, 0.0, 0.0) _.

• 
  vektor-funksiya ushbu
  

u ' (x)  A(x)u (x) _.

birjinsli oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasi- ning yechim bo‘lib, quyidagi boshlng‘ich shartlarni qanoatlantiradi:

u ¹ (0)  (1.0, 0.0, 0.0, 0.0) _,

u ² (0)  (0.0, 1.0, 0.0, 0.0) _,

u ³ (0)  (0.0, 0.0, 1.0, 0.0) _,

u ⁴ (0)  (0.0, 0.0, 0.0, 1.0) _,

Masalaning chiziqli ekanligidan

u (x)

yechim yuqoridagi differensial

tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi. p_i (i=1,2,3,4) parametrlarning qiymatini shunday tanlaymizki, (36) va (37) chegaraviy shartlar bajarilsin, u holda p_i (i=1,2,3,4) parametrlar quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi bo‘ladi:

2 p₁  3p₂  p₄  2 _,

p₁  2 p₂  3 p₃  3 p₄  1 _,


⁴ i i _ 0 0

 ^pi

i1

u₁ (1)  u₃ (1)

 3  u₁

(1)  u₃ (1) _,


⁴ i i _ 0 0

 ^pi

i1

u₂ (1)  u₄ (1)

 2  u₂ (1)  u₄ (1) _.

Bu yerda mos Koshi masalasini yechishdagi uchinchi va to‘rtinchi tenglamalar sistemasidan koeffisiyentlarning qiymatlari ularni sonli yechishdan topiladi.

p_i (i=1,2,3,4) parametrlar hisoblab bo‘lingandan so‘ng (34), (36), (37) chegaraviy masalaning yechimi ushbu

u ' (x)  A(x)u (x)  f (x) _,

u (0)  ( p₁,p₂ ,p₃ ,p₄ ) _.
Koshi masalasining yechimi deb topiladi. Shuni ta’kidlaymizki, algortmlarni yozishda vektor shakldan foydalanildi. Chiziqli tenglamalar sistemasini ShEHMda yechishda A(x) matritsani hisoblash o‘rniga bu sistemaning o‘ng tarafini hisoblash prosedurasini yozish kerak.

3. 
   misol. Quyidagi tenglama bilan berilgan uchinchi tartibli nochiziqli chegaraviy masalani yechish uchun o‘q otish (otishmalar) usuli algoritmini tuzing:
   

u'''u''u'u²e^x  sin 2x(sin 2x 15)e^x _, ^{x [0,1]} _.

Chap chegara x = 0 dagi chegaraviy shart quyidagicha berilgan:

^{u(0)  2u ' (0)  4} ,

2u'(0)  u''(0)  0 _;

O‘ng chegara x = 1 dagi chegaraviy shart quyidagicha berilgan:

^{u' (1)  u (1)  2.262}.

Yechish. Bu chegaraviy masalani yechish uchun quyidagi yangi o‘zgaruvchilarni kiritamiz^{u1(x)  u(x)} ,

u₂ (x) u^(x) _,

u₃ (x)  u^ (x) _,

^{u4(x)  u(x)} .Natijada berilgan chegaraviy masalaning o‘rniga quyidagi uchinchi tartibli normal nochiziqli differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan chegaraviy masalaga kelamiz:

u₁' u_{2 ;}

u₂ ' u_{3 ;}

^{u '  u2ex  u  u sin 2x(sin2x 15)ex} .

3 1 2 3

Bu sistemani vektor shaklida yozaylik:

u ' F (x,u ) _,

bu yerda

^{ u}1 ^  ^u₂ 


u  ^ u



₂  _,

 

F (x)  _ u_{3  .}

 _u 

^ u²e^x  u

• 
  u  sin 2x(sin 2x 15)e^{x }
  

 ³   ^{1 2 3} 

Yangi o‘zgaruvchilarga nisbatan chegaraviy shartlar quyidagicha yoziladi:

Bu yerda bo‘lamiz:

u₂ (0)  p₂

u₁(0)  2u₂ (0)  4 _;

2u₂ (0)  u₃ (0)  0 _{; (38)}

^{u2(1)  u 1(1)  2.262}. (39)

deb faraz qilib, x = 0 shartdan quyidagiga ega

^{u1(0)  4  2 p2} ;

u₃ (0)  2 p_{2 .}

Endi quyidagi Koshi masalasining

u (x, p₂ )

yechimini izlaymiz:

u '  F (x, u ) _{, (38)}

u₁(0)  4  2 p_{2 ;}

u₂ (0)  p_{2 ;}

u₃ (0)  2 p_{2 .}

Hosil qilingan

u (x, p₂ )

yechim p₂ parametrdan nochiziqli bog‘langan,

shuning uchun uni chiziqli masaladagidek izlab bo‘lmaydi.

u (x, p₂ )

vektor-funksiyani chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimi bo‘lishi uchun u quyidagi chegaraviy shartni qanoatlantirishi lozim:

u₂ (1)  u ₁(1)  2.262_.

Shunday qilib, p₂ parametrni qiymatini quyidagi nochiziqli tenglamadan topamiz:

f₁( p₂ )  u₂ (1, p₂ )  u ₁(1, p₂ )  2.262  0 _.

Bu tenglamaning yechimini sonli usullardan biri yordamida izlaymiz.

^{f1( p2)} ning berilgan p₂ dagi qiymatini hisoblash uchun (38) Koshi

masalasining x = 1 dagi yechimi komponentasidan foydalaniladi. p₂ ning taqribiy qiymati topilgach (38) masala yana yechiladi va uning birinchi

komponentasining yechimi bo‘ladi.

u (x, p₂ )

yechimi berilgan chegaraviy masalaning

4. 
   misol. Quyidagi to‘rtinchi tartibli nochiziqli chegaraviy masalani yechish uchun o‘q otish (otishmalar) usuli algoritmini tuzing:
   

u^IV  2xu''0.25x²u''0.125e^{x/ 2}uu'  e^{x/ 2}(2.625x²  0.75x  3.125) _, ^{x [0,1]} _.

u(0)  2u ' (0)  0 _,

2u(0)  u'(0)  2.5 _,

u(1)  2u ' ' (1)  18.136_,

2u(1)  u ' ' (1)  0.824 _.

Yechish. Bu chegaraviy masalani yechish uchun quyidagi yangi o‘zgaruvchilarni kiritamiz:

^{u1(x)  u(x)} ,

^{u2(x) u(x)} ,

u₃ (x)  u^ (x) _,

^{u4(x)  u(x)} .

Natijada berilgan nochiziqli chegaraviy masalaning o‘rniga quyidagi normal nochiziqli differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan chegaraviy masalaga kelamiz:

^{u1' u2} ; u₂ ' u_{3 ;} u₃ '  u_{4 ;}

u ' 0.125e^{x/ 2}u u  0.25x²u  2xu

^{ ex/ 2(2.625x2  0.75x  3.125)} . (39)

4 1 2 3 4

Chegaraviy shartlar yangi belgilashlarga nisbatan quyidagicha yoziladi:

^{u1(0)  2u 2(0)  0} ,

^{2u1(0)  u2(0)  2.5} ,

^{u1(1)  2u3(1)  18.136} ,

2u₁(1)  u ₃(1)  0.824 _.

x = 0 chegaradagi shartlardan quydagiga ega bo‘lamiz:

u₁(0) 1 _,

^{u2(0)  0.5} .

Endi (39) sistemaning quyidagi boshlang‘ich shartlarni

qanoatlantiruvchi

u (x, p₃ , p₄ )

yechimini izlaymiz:

^{u1(0) 1} ,

^{u2(0)  0.5} ,

u₃ (0)  p_{3 ,}

^{u4(0)  p4} . (40)

Hosil bo‘lgan yechim chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimi bo‘ladi, agar u x=1 da p₃, p₄ larga nisbatan quyidagi nochiziqli tenglamalar sistemasiga keluvchi chegaraviy shartlarni qanoatlantirsa:

f₁( p₃ , p₄ )  u₁(1, p₃ , p₄ )  2u ₃(1, p₃ , p₄ ) 18.136  0 _,

f₂ ( p₃ , p₄ )  2u₁(1, p₃ , p₄ )  u ₃(1, p₃ , p₄ )  0.824  0 _.


p

p
Bu algebraik tenglamalar sistemasining yechimini Nyuton usuli bilan

izlaymiz. Faraz qilaylik,

⁰ va

⁰ boshlang‘ich yaqinlashishlar ma’lum

3

4
bo‘lsin. Keyingi yaqinlashishlarni quyidagi tartibda hisoblaymiz:

_pn 1 _

pⁿ   ⁿ _,

3 3 3

_pn1 _

pⁿ   ⁿ _,




4 4 4

3

4
bu yerda yechimi:

ⁿ va

ⁿ - quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining

f₁

( pⁿ, pⁿ )  ⁿ 

₃ 4

₃

_

f₁

( pⁿ, pⁿ )  ⁿ   f ( pⁿ, pⁿ ) _,

₃ 4

p₃p₄

f₂

( pⁿ, pⁿ )   ⁿ   f

( pⁿ, pⁿ ) _.p₃3 _p 3 4 4

₄

p

p
2 3 4Yakob matritsasining birinchi ustunini hisoblah algoritmini tuzaylik.

Bunda n=0 da

p₃ 

ⁿ va

p₄ 

ⁿ deb boshlab, (39)-(40) Koshi masalasini

3

4
yechamiz va olingan yechim yordamida quyidagilarni hisoblaymiz:

f  f ( pⁿ, pⁿ)  u (1, pⁿ, pⁿ)  2u (1, pⁿ, pⁿ) 18.136  0 _,

1 1 3 4

1 3 4

3 3 4

f  f ( pⁿ, pⁿ)  2u (1, pⁿ, pⁿ)  u

(1, pⁿ, pⁿ)  0.824  0_.

2 2 3 4

1 3 4

3 3 4

Endi

p  pⁿ  h

va ^p

 pⁿ

deb olib, (39)-(40) masalani yana bir bor

^{3 3 3} 4 4

yechamiz va quyidagilarni hisoblaymiz:

^~ n n n n n n

f₁  f₁( p₃  h₃ , p₄ )  u₁(1, p₃  h₃ , p₄ )  2u ₃(1, p₃  h₃ , p₄ ) 18.136  0 _,

^~ n n

n n n n

f₂ 

f₂ ( p₃

 h₃ , p₄ )  2u₁(1, p₃

 h₃ , p₄ )  u ₃(1, p₃

 h₃ , p₄ )  0.824  0 _.

Endi quyidagilarni yozamiz:

^{f ~  ~n} f

~ _ ~_n

^{1 ( pn, pn)  f1 f1} _, ² ( pⁿ, pⁿ )  ^f2

₃ 4

₃ 4

f_{2 .}

p
p₃ h₃ p₃ h₃

p

3
Agar  - hisob aniqligi va

⁰  1

bo‘lsa, u holda

h₃ 

deb olamiz,

aksincha, agar

⁰  1

bo‘lsa, u holda

h₃ 

 p⁰

deb olamiz. Yakob

3

3
matritsasining ikkinchi ustunini hisoblash ham xuddi shu kabi bajariladi.

Shulardan keyin p₃ va p₄ taqribiy qiymatlar topilgach, (39)-(40)

masala yechiladi va uning yechimining

u (x, p₃ , p₄ )

- birinchi

komponentasi dastlabki chegaraviy masalaning yechimi bo‘ladi.

5. 
   misol. Quyidagi tenglamasi chiziqli, ammo chegaraviy shartlari nochiziqli bo‘lgan to‘rtinchi tartibli nochiziqli chegaraviy masalani yechish uchun o‘q otish (otishmalar) usuli algoritmini tuzing:
   

u^IV  4x²u''28xu'32u  4e^x2 (4x²  5) _, x [0,1] _.

^{2u(0)  u ' (0)  u'''(0)  2} ,

^{u(0)  2u'(0)  u''(0)  3u'''(0)  1},

u²(1)  u ''(1)  3 _,

^{u'(1)  u '''(1)3  2} .

Yechish. Bu chegaraviy masalani yechish uchun quyidagi yangi o‘zgaruvchilarni kiritamiz:

^{u1(x)  u(x)} ,

u₂ (x) u^(x) _,u₃ (x)  u^ (x) _,^{u4(x)  u(x)} .Natijada berilgan nochiziqli chegaraviy masalaning o‘rniga quyidagi normal nochiziqli to‘rtinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi bilan berilgan chegaraviy masalaga kelamiz:u ' u _; u ' u _; ^{u '  u} _; u '  32u  28xu  4x²u 4e^x2 (4x²  5) _{, (41)}1 2 ^{2 3 3 4 4 1 2 3}


1
uning chegarayiy shartlari quyidagicha:^{2u1(0)  u2(0)  u4(0)  2} ,u₁(0)  2u₂ (0)  u₃ (0)  3u₄ (0)  1_{, (42)}u² (1)  u


4

2
₃(1)  3_,u (1)  u³(1)  2 _{. (43)}Bu yerda chiziqli tenglamaning chegaraviy shartlari nochiziqli bo‘lganligi uchun unga o‘q otish (otishmalar) usulini algoritmini qo‘llab bo‘lmaydi. Shuning uchun x = 0 chegaradagi ikkita shartshartdan ^u vektorning ikkita komponentasini uning qolganlari orqali ifodalab olamiz.

Bu yerda

^{u1  p1} va

u₃  p₃

deb olish qulay, u holda u₂ va u₄ larni hisoblash

uchun quyidagi ikkita chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

^ u (0) 

p₁  7 _,

 ^2u1



 u₂

• 
  u₄
  

 2,

 ^{2 p1}




 u₂

• 
  u₄
  

 2, ^{ 2}

 _

2(3 p₁  p₃ )

u  2u  u  3u

 1,

2u  p  3u  p  1,

p  p²  2 p

 1 2 3 4

 2 3 4 1

^u (0)  ^{1 1 3} .

_ 4

3 p₁

• 
  p₃
  

Ushbu

u (x, p₁, p₃ )

• 
  quyidagi Koshi masalasining yechimi:
  

u ' A(x)u 


^{f (x)} , (44)

^ p  7 p  p²  2 p ^

u (0)  ^ p₁, ¹ ,

_p3 _, 1 1 3 _.

_ 2(3 p₁  p₃ ) 3 p₁  p_{3 }

Bu masalaning yechimi x = 0 dagi chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi lozim. Endi x = 1 dagi shartlarning bajarilishi uchun p₁ va p₃ parametrlar quyidagi nochiziqli tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lishi lozim:

f ( p , p )  u²(1, p , p )  u (1, p , p )  3  0 _,

1 1 3

1 1 3

3 1 3

f ( p , p )  u (1, p , p )  u ³(1, p , p )  2  0 _.2 1 3

2 1 3

4 1 3

Bu tenglamalar sistemasining yechimini, xuddi 4-misolda keltirilgan algoritm kabi, Nyuton usuli bilan topamiz.

Bu misolda ham p₁ va p₃ taqribiy qiymatlar topilgach, (44) masalayechiladi va uning yechimining

u (x, p₁, p₃ )

- birinchi komponentasidastlabki chegaraviy masalaning yechimi bo‘ladi.

6. 
   misol. Quyidagi funksionalni hisoblash algoritmini tuzing:
   

1

I  _(u  x²u' xu'')dx _,

0

bu yerda u(x) – quyidagi chegaraviy masalaning yechimi:

u^IV  xu'''4x³u'12u  2xe^x2 (26x²  36x  21) _{, x[0;1],}u''(0)  4 _,

u'''(0)  6 _,

u(1)  3e _,

u' (1)  7e _.Yechish. Otishmalar usuli yordamida shunday p₁ va p₂ qiymatlar hisoblanadiki, quyidagi Koshi masalasining yechimi berilgan chegaraviy masalaning yechimi bo‘lsin:

u^IV  xu'''4x³u'12u  2xe^x2 (26x²  36x  21) _,

^{u(0)  p1} ,

^{u'(0)  p2} ,

u''(0)  4 _,

^{u'''(0)  6} .

Izlanayotgan p₁ va p₂ qiymatlar topilgandan keyin funksionalning qiymati quyidagi Koshi masalasining yechimi yordamida hisoblanadi:

^{uIV  xu'''4x3u'12u  2xex}2 ^{(26x2  36x  21)} , x[0;1],

'  u  x²u'xu''_,

^{u(0)  p1} , Haqiqatan ham,

u'(0)  p_{2 ,}

^{I  (1)} .

u''(0)  4 _,

u' ' ' (0)  6 _,

^{(0)  0} .