O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi muqumiy nomidagi qo’qon davlat pedagogika instituti fizika-matematika fakulteti

FREDGOLM TEOREMALARI.

Bu yerda ham yuqorida ko’rilgan ushbu

(1)

tenglamani o’rganishni davom ettiramiz. Navbatdagi mulohazalarda T operatorning integral ko’rinishi emas, balki faqat uning to’la uzluksiz ekanligi rol o’ynaydi.Shuning uchun H Gilbert fazosida biron T to’la uzluksiz operatorni olib , (1) ko’rinishdagi tenglamani o’rganamiz. Buning uchun A=I-T operatorni kiritgan holda 9 I-birlik operator) (1) tenglamani ushbu

(2)

ko’rinishda yozamiz. (2) tenglama bilan bir qatorda bir jinsli bo’lgan

(3)

tenglamani bularga qo’shma bo’lgan ushbu

(2`) ; (3`)

tenglamalarni ko’ramiz (bu yerda A* operator a operatorga qo’shma, ya’ni A*=(I-T)*=I-T*.

Quyida isbotlanadigan Fredgolm teoremalari shu to’rt tenglamaning yechimlari orasidagi bog’lanishni ko’rsatadi.

1-Teorema. (2) tenglama yechimga ega bo’lishi uchun f vektor (3`) tenglamaning har bir yechimiga ortoganal bo’lishi zarur va kifoyadir.

Isbot. kerA va ImA lar A operatorning mos avishda yadrosi va qiymatlari sohasi, ya’ni

ekanligini eslatamiz. Ma’lumki, A uzluksiz bo’lgani uchun kerA to’plam H ning yopiq qism fazosi. ImA ham H ning yopiq qism fazosi ekanligini isbotlaymiz.

ketma – ketlik biron elementga yaqinlashuvchi bo’lsin, deb faraz qilaylik. Demak, ushbu

(4)

shartni qanoatlantiruvchi ketma – ketlik mavjud. vektorlarni kerA fazoga ortoganal deb hisoblash mumkin, aks holda o’rniga vektorlarni olish mumkin; bu yerda element vektorning kerA qism fazoga proeksiyasi. Bundan tashqari, ketma – ketlik chegaralangandir. Darhaqiqat, aks holda cheksiz deb hisoblash mumkin, demak, (4) ga asosan

(5)

munosabat o’rinli.

So’ng ketma- ketlik birlik sharga tegishli bo’lgani va T to’la uzluksiz ekanligi tufayli biror qism ketma – ketlik uchun biror z elementga yaqinlashuvchi bo’ladi. Bundan (5) ga asosan ketma – ketlik ham shu z limitga ega yaqinlashuvchi bo’ladi. Ravshanki, ya’ni

Ammo, har bir element kerA ga ortoganal edi, demak z┴kerA, bundan va kelib chiqadi, bu esa tenglikka zid. Bu ziddiyat ketma – ketlikning chegaralanganini ko’rsatadi. T operator to’la uzluksiz bo’lgani uchun ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi bo’lgan qism ketma-ketlik ajratish mumkin. (4) ga asosan ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo’ladi.

Endi biz quyidagi munosabatni isbotlaymiz.

(6)

(7)

Ravshanki, kerA va ImA o’zaro ortoganal qismfazolar. Haqiqatan, ixtiyoriy uchun

.

Demak, hech qanday vector bir vaqtda kerA va ImA* qism fazolarga ortoganal emasligini ko’rsatsak bas. Agar biror z vector ImA*ga ortoganal bo’lsa, u holda ixtiyoriy uchun

demak

Shunga, o’xshash (7) tenglikham isbotlandi. (7) munosabatdan 1-teorema bevosita kelib chiqadi, ya’ni bo’lishi uchun ┴kerA* zarur va kifoyadir.*

2-Teorema.(Fredgolm alternativasi). Yoki (2) tenglama ixtiyoriy uchun yagona yechimga ega, yoki (3) tenglamaning noldan farqli yechimi mavjud.

Isbot. k natural son uchun orqali fazoni belgilaymiz, xususan ning tuzilishidan ravshanki, va

1-teoremani isbotlash davomida ko’rsatilganidek, har bir yopiqdir.

Lemma. Shunday j natural son mavjudki, ushbu

tenglik ixtiyoriy k>j uchun bajariladi.

Lemmanining isboti. Aksini faraz qilsak, fazolar har xil bo’ladi. Bu holda shunday ortonormal Sistema mavjudki, Demak, ixtiyoriy l,k(l>k) sonlar uchun

Bu yerda bo’lgani uchun

ya’ni ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi bo’lgan qism ketma-ketlikni ajratish mumkin emas. Bu esa T operatorning to’la uzluksizligiga zid.

Teoremaning isbotini davom ettiramiz. Agar bo’lsa u holda A monomorfizmdir. Shuning uchun, agar deb faraz qilsak , u holda munosabatlar ixtiyoriy k uchun o’rinlidir. Bu esa lemmaga zid. Demak, ImA=H, ya’ni (2) tenglama ixtiyoriy f uchun yagona yechimga egadir.

Agar (2) tenglama ixtiyoriy f uchun yechimga ega bo’lsa, u holda ImA=H va 1-teoremadagi (7) munosabatga asosan . Bu tenglikdan yuqoridagidek ImA*=H munosabat kelib chiqadi. Endi (6) munosabatdan foydalansak, , ya’ni (3) tenglama faqat nolga teng yechimga ega ekanligi kelib chiqadi.

3-Teorema. (3) va (3`) tenglamalarning chiziqli erkli bo’lgan yechimlari soni chekli va o’zaro tengdir. Boshqacha qilib aytganda,

.

Isbot. kerA fazoning o’lchami cheksiz deb faraz qilaylik. Bu holda kerA da cheksiz ortonormal sistema mavjud. bo’lgani sababli va demak, . Ya’ni ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratish mumkin emas. Bu esa Tning to’la uzluksizligiga zid. Shunday qilib, . Ushbu

belgilash kiritamiz. Faraz qilaylik,

tengsizlik bajarilsin. So’ng kerA va kerA* fazolarda mos ravishda

ortonormal bazislar tanlab olamiz va ushbu

operatorni ko’ramiz. S operator A operatorga chekli o’lchamli operatorni qo’shish natijasida hosil bo’lgani sababli S operator uchun hamma yuqorida isbotlangan faktlar o’rinlidir. Bu operator uchun

tenglama faqat nol yechimga ega. Haqiqatdan,

bo’lsa 1-teoremadagi (7) munosabatga asosan (ixtiyoriy j uchun ) demak,

).

Shunday qilib, bir tomondan ya’ni x vektor vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidir, ikkinchi tomondan, x bu vektorlarga ortoganal, bundan . Demak, . 2-teoremani S operatorga qo’llagan holda deb olsak ushbu

tenglama biror y yechimga ega. Bu tenglikni vektorga skalyar ko’paytirsak, ushbu 0=1 ziddiyat hosil bo’ladi. Demak, deb faraz qilganimiz ziddiyatga keltiradi, ya’ni . Shunga o’xshash, A o’rniga A* operator olinsa, tengsizlik isbotlanadi. Demak, .

Yuqoridagi teoremalarda T-I operatorning teskari operatori mavjudlik shartlarini ko’rdik. Ravshanki, bu teoremalar operatorlar uchun ham o’rinlidir. Fredgolm teoremalaridan quyidagi natija kelib chiqadi.

Natija. To’la uzluksiz operatorning spektridan olingan ixtiyoriy noldan farqli son

bu operator uchun chekli karrali xos qiymatdir.

Misol sifatida o’zagi “ajralgan” integral tenglamalarni ko’ramiz. Ushbu

(8)

Fredgolm integral tenglamasining o’zagi

(9)

ko’rinishga ega bo’lsa, u holda K(s,t) ajralgan o’zak deyiladi. Bu yerda

funksiyalar fazodan olingan. Ravshanki, funksiyalarni chiziqli erkli

deb xisoblasak bo’ladi, aks holda K(s,t) o’zakni chiziqli erkli bo’lgan lar

orqali ifodalash mumkin. (9) tenglikdan foydalanib, (8) tenglamani quyidagi

ko’rinishga keltiramiz:

va ushbu

belgilashlarni kiritamiz. Natijada (8) tenglama ushbu

(10)

ko’rinishga keladi. funksiyaning bu ifodasini berilgan integral tenglamaga qo’ysak

ushbu

ya’ni

(11)

ko’rinishdagi tenglikka kelamiz; bu yerda

Biz funksiyalar chiziqli erkli deb faraz qilganimizni esga olsak, (11)

munosabatdan quyidagi tengliklar kelib chiqadi:

i=1,2,…,n. (12)

Agar biz bu chiziqli tenglamalar sistemasini larga nisbatan yechsak,u holda

(10) tenglikdan funksiya ham topiladi. Shunday qilib, ajralgan o’zakli integral

tenglamalar sistemasini yechish masalasiga teng kuchli. Bunday tenglamalar

yechimlarining xossalari bizga chiziqli algebra kursidan ma’lum. Ularni eslaymiz.

1.Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasi

yechimga ega bo’lishi uchun y vektor qo’shma bir jinsli ushbu

sistemaning har bir yechimiga ortoganal bo’lishi zarur va kifoyadir.

2. Yoki Ax=y sistema ixtiyoriy y uchun yagona yechimga ega yoki matritsaning determinanti nolga teng (ya’ni sistemaning noldan farqli yechimi mavjud).

3. matritsalarning ranglari o’zaro teng, ya’ni sistemalarning chiziqli erkli yechimlari soni o’zaro teng.

Ko’rinib turibdiki, ajralgan yadroli Fredgolm tenglamalari uchun Fredgolm teoremalari 1-3 iboralardan kelib chiqadi.