Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus ta’lim vazirligi fargʻona davlat universiteti Matematika kafedrasi

II. 1. Xarakteristik funksiyalar taqsimotni bir qiymatli aniqlash.
(,F,P) ehtimollik fazosida  tasodifiy miqdor berilgan bo`lsin.
Ta`rif: tasodifiy miqdorning matematik kutilmasiga  tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi deyiladi va kabi belgilanadi, bu yerda t haqiqiy son.
Agar tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo`lsa,

bo`ladi.
Agar zichlik funksiyaga ega bo`lgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo`lsa,

bo`ladi, bu esa funksiya uchun Fure almashtirishdir.
Agar diskret bo`lsa, .

ekanligidan ixtiyoriy  tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi mavjudligi kelib chiqadi. Bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlar yig`indisi taqsimotini o`rganishda xarakteristik funksiyalar usuli qulay usullardan hisoblanadi.
Xarakteristik funksiyasining xossalarini qarab chiqamiz.
1⁰ . Ixtiyoriy tasodifiy miqdor uchun va barcha lar uchun
Bu xossaning isboti quyidagilardan kelib chiqadi:
= ,

2⁰. Agar a va b lar o`zgarmaslar bo`lib bo`lsa, <sub></sub>(t) = e<sup>itb</sup> <sub></sub> (at).
Isboti: Ta`rifga asosan:
.
3⁰. Ikkita bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar yig`indisining xarakteristik funksiyasi qo`shiluvchilar xarakteristik funksiyalari ko`paytmasiga teng:

Isboti: va lar bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar bo`lsinlar, u holda va tasodifiy miqdorlar ham bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar bo`ladilar. Matematik kutilmaning xossasiga asosan

Natija: Agar va har bir qo`shiluvchi qolganlari yig`indisiga bog`liq bo`lmasa,

4⁰. xarakteristik funksiya da tekis uzluksiz.
Isboti:

Oldin berilgan uchun, A ni shunday tanlaymizki, so`ngra ni shunday tanlaymizki, bo`lsin, natijada

bo`ladi.
5<sup>o</sup>.
Bu yerda , ning kompleks qo`shmasi.
Bu xossaning isboti

tenglikdan kelib chiqadi.
Quyidagi Poya teoremasini isbotisiz keltiramiz.
6^o . Poya teoremasi, ,( ) quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya bo`lsin:
a) 0, (0)=1, va t da (t)0.
b) funksiya uzluksiz, juft va botiq.
Bundan funksiya biror taqsimot funksiyaning xarakteristik funksiyasi bo`ladi.
1- teorema. Agar  tasodifiy miqdor n-tartibli absolyut momentga ega bo`lsa, xarakteristik funksiya n marta diffyerenstiallanuvchi va k n uchun
(2)
va
(3)
bu yerda t0 da va barcha t lar uchun
Isboti: Xarakteristik funksiyasi k marta formal diffyerenstiallash quyidagiga olib keladi:
(4)

bo`lganligi uchun teorema shartidan (4) integralning mavjudligi va differensiallashning qonuniyligi kelib chiqadi.
(4) da deb olsak

kelib chiqadi.
(3) ni isbotlash uchun Teylor formulasidan foydalanamiz. Ma`lumki,

Shuning uchun bu yerda va - tasodifiy miqdorlar va .
(3) ga ega bo`lish uchun oxirgi tenglikning ikkala tomonidan matematik kutilma olish kyerak.

Endi ayrim muhim taqsimotlarning xarakteristik funksiyalarini qaraymiz.